例谈数形结合在初中数学解题中的应用

四川省广安市特殊教育学校(638500)

文 斌●



例谈数形结合在初中数学解题中的应用

四川省广安市特殊教育学校(638500)

文 斌●

数形结合思想是初中数学的基本思想之一，数形结合主要是指数与形之间的对应关系，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，能使抽象问题具体化，复杂问题简单化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.它是数学的规律性与灵活性的有机结合.

初中数学;以数解形;以形解数

数学家华罗庚说过:“数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞;数无形时少直觉,形少数时难入微.”初中数学思想方法中的数形结合思想是一种很重要的方法，利用这种方法，可以实现代数问题与几何问题的相互转化，使抽象问题具体化，复杂问题简单化.本文举例说明运用数形结合思想解决数学问题可以达到事半功倍的效果.

一、以“数”解“形”

例1 如图，过正方形ABCD的顶点C，任作一直线与AB、AD的延长线分别交于E、F. 求证:AE+AF≥4AB.

证明 设正方形的边长为a,连AC.

因为S△AEF=S△ACF+S△ACE,所以有(AF·AE)/2=(AF·CD)/2+(AE·BC)/2=a(AE+AF)/2,即AE·AF=a(AE+AF).从而AE、AF可视为关于x的一元二次方程x2-(AE+AF)x+a(AE+AF)=0的两个实数根.所以该方程的判别式Δ=(AE+AF)2-4a(AE+AF)≥0,得AE+AF≥4a,即AE+AF≥4AB.

本例是“形”的问题，但直接从“形”入手较难解决，若将“形”转化为“数”，则结论变为(AE+AF)2-4AB(AE+AF)≥0.则可联想起一元二次方程根的判别式，从而把它转化为“数”的问题来解决.

一、以“形”解“数”

例3 不等式|x+2|+|x-3|>5的解集是____.

解 从数轴上看，-2到3的距离是5，所以x不能在-2和3 之间(包括-2和3)，x只能在-2的左侧或3的右侧，不等式才能成立，故原不等式的解集是x>3或x<-2.

当D在线段AF上时，AD+DF有最小值，就是线段AF的长度.

点评 此题由式子联想到两点之间直线最短以及勾股定理，构造几何图形，问题就迎刃而解了.

“数形结合”在解题中可使复杂问题简单化，有利于开阔学生的数学思维方式；有利于提高学生在数学问题中建立模型的能力；有利于增强学生探求知识的兴趣，感知数学中的美.

[1]周培喜. 初中数学教学中数形结合思想的价值体现与应用[J]. 数学大世界(教育导向)，2012(9)

[2]林巧燕.“数”形结合总相宜-谈“数形结合”思想在初中数学中的应用[J].试题与研究：新课程论坛,2015(12)

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