构造几何图形，巧解数学问题

江苏省射阳县第六中学(224300)

陈广州●



构造几何图形，巧解数学问题

江苏省射阳县第六中学(224300)

陈广州●

数学问题的解决有赖于数学方法的运用，一个好的数学方法可以帮助我们更快更顺利的解决问题.我们常见的数学方法有代数、算术等.图形可以直观地展示问题，因此，通过几何图形来解题，是不错的切入点，在很大程度上可以简化解题步骤.基于此，我将通过实例，探讨如何使用图形解决数学问题.

一、巧解角的度数问题

例1 在同一平面内，若∠AOB=70°,∠BOC=15°，求∠AOC的度数.

解析 下面是一位同学的解题过程，我们来看看是否正确.∠AOC=∠AOB-∠BOC=70°-15°=55°，则∠AOC=55°.答案正确，但用上述方法解题时造成了丢解的情形，此时图形法的优势显现了出来.

我们可以画出各个角的相对位置，那么在画图的时候我们会发现，会有两种情况，如图所示，第二种情况就是∠AOC=∠AOB+∠BOC=70°+15°=85°，则∠AOC=85°.

对于忽略第二种答案的思维定势，通过图形的构造打开了思维，得到问题的最终答案.图形法在解题的同时提供给学生一个新的思考方式，可以激发学生的探索兴趣.

二、巧证不等式问题

例2 已知六个正数A、B、C、a、b、c满足A+a=B+b=C+c=K,求证：aB+bC+cA

解析 如果只用代数或者算术知识很难解出此问题，但是我们可以根据题中的条件构造出一个边长为K的正三角形，然后再根据三角形的面积等关系解决此问题.设△DEF是一个边长为K的等边三角形，GHI各顶点分别为DE，EF，FD上的点，且DG=A，GE=a，EH=B，HF=b,FI=C，ID=c，如图所示.

题中所给的等式条件与等边三角形的三边正好符合，三角形的图形构建就随之而来，再运用面积关系求解，这种构造图形的思路正是解此类题目的精髓所在.

三、巧解比赛问题

例3 五人进行羽毛球单打比赛，已知A比赛4场，B比赛3场，C比赛2场，D比赛1场，那么E比赛几场？

解析 此题凭借列式求解会相当繁琐，但只要我们换个角度，将文字描述转化为二维图形，便可轻松求解.

如图所示只要我们画出这个图形，以平面内任意三点之间的连线来表示一场比赛，那么此图就是我们所求问题的解.

此题中构造图形方法的神奇之处在于并没有列式计算就得出了答案，在化繁为简的同时开拓学生的思维，提高解题效率.

四、巧解人数问题

例4 某班有50个人，会体操的有18人，会游泳的有27人，游泳体操都不会的有15人，那么即会体操又会游泳的有多少人.

解析 这是数学问题在实际生活中的应用，并不是所有的数学问题都需要代数运算，正如本文介绍的那样，巧妙的构造图形可以让计算更简便，思路更清晰.

画出三个圆圈，分别代表本班的全部人数，会游泳的人数和会体操的人数.这也是韦恩图的正确使用方法.游泳体操都不会的有15人，那么至少会一项运动的有35人，则由图可知两项都会的有27+18-35=10人.

本题本身没有几何图形，但是我们可以通过观察，从数形结合的角度出发，构造出一个图形，使题中已知的数量关系在图形上得到完美体现，用图形关系解题.

有些数学问题并不是非要用代数方法来解决的，通过转换思路，改变思维，在平面几何的领域构造出图形，在锻炼学生的创造力与想象力的同时加深对数量关系的理解，简化运算过程，让难以解决的问题峰回路转.

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1008-0333(2016)23-0009-01