《最短路径问题》的反思及应用

甘肃省环县第四中学(745700)

贾学粉●



《最短路径问题》的反思及应用

甘肃省环县第四中学(745700)

贾学粉●

我们知道，有效地开发和利用课本，对于学生的学习具有重要的意义.学生对于课本上例题或习题能否吃透,直接影响着学生的学习效果.因此教师要引导学生挖掘教材，引导学生进行反思，从中领悟问题解决过程的数学内涵.

人教版(2013)数学八年级上册13.4课题学习《最短路径问题》中有这样一个问题：

如图1所示，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?

分析 我们把河边近似看做一条直线l(如图2)，P为直线l上的一个动点，那么,上面的问题可以转化为:当点P在直线l的什么位置时,AP与PB的和最小.

如图3所示，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，交直线l于点P，则点P就是牧马人到河边饮马的位置.事实上，点B′与点A的线段AB′最短，由对称性质知，PB=PB′，因为PA+PB=PA+PB′=AB′，即点P到点A、B的距离之和最小.

上述路径问题，是利用轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离，基本思路是运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长.从解题过程不难看出，本题蕴含着三个数学思想方法:数学模型思想,转化思想，对称思想.如果学生一旦认识或明白这些思想方法,就能举一反三，再复杂的问题也会迎刃而解.

一、基本应用

如图4，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为多少？

二、拓展应用

如图5两条公路BA、BC相交于点B，在两条公路之间的P点有一个油库，若要在公路BA、BC上各设置一个加油站Q和R，设置在何处，可使油车从油库出发经过一个加油站Q(或R)，再到另一个加油站R(或Q)，最后回到油库所走的路程最短，即PQ+QR+RP最小.

分析 要比较封闭曲线间的长度大小是有些困难的，我们仍然利用轴对称的方法，找到P关于BA、BC的对称点P′、P＂,连接P′P＂，由对称性易知：PQ=P′Q，PR=P＂R,此时PQ+QR+RP=P′Q+RQ+P＂R，欲使PQ+QR+RP最小，应在P′P＂上取Q，R点为P′P＂分别与AB、CB的交点，此时PQR的周长最小.

三、灵活运用

如图6，一只蚂蚁欲从圆柱形的桶外点A爬到桶内点B去寻找食物，已知点A到桶口的距离AC为12cm，点B到桶口的距离BD为8cm，CD弧长为15cm，若蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎样走？

分析 将圆柱侧面展开得如图7，这样所求问题可化为在CD上求一点P，使得PA+PB最小，因此，作点B关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于点P，线段AB′就是最短的路线长，即蚂蚁应该沿AP到PB的路线走最短.过B′作B′E⊥AC交AC的延长线于E，则AE=20cm，B′E=15cm，根据勾股定理得AB′=25.故蚂蚁爬行的最短路线为25cm.

本题将该模型思想迁移到空间几何问题中运用，其解决问题的基本思路是“化曲为平”，把立体几何问题转化为平面几何问题来思考.

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1008-0333(2016)23-0005-01