一个新三维分数阶动力系统

尹社会,皮小力

(河南工业职业技术学院,河南 南阳 473000)



一个新三维分数阶动力系统

尹社会,皮小力

(河南工业职业技术学院,河南 南阳 473000)

通过微分方程结构的变化给出了一个不同于以往的三维自治混沌系统和对应的新分数阶动力系统,其吸引子相图的拓扑结构与以往系统不同。首先给出了新构造整数阶动力系统的吸引子相图和Lyapunov维数等基本动力学特性;然后基于分数阶稳定性理论和数值计算对分数阶混沌系统平衡点进行了分析,得出在阶数qi<0.738,i=1,2,3时系统是稳定的,并进而给出了Caputo意义下阶数为q=0.92、q=0.93时的吸引子相图;最后讨论了在q=0.95时固定其他系统参数时,系统的动力学行为随参数a的变化。

分数阶动力系统;Caputo导数;Poincare截面;稳定性理论

混沌理论的发展日新月异,著名的Lorenz系统族成为混沌系统理论研究的典型,以Lorenz系统[1]为基础构造了大量的新混沌系统和新超混沌系统。除了以混沌反控制方法构造的Chen系统[2]、Lü系统[3]和统一混沌系统[4]外,还有很多类似的新混沌系统,比如T系统[5]、Liu系统[6]、Bao系统[7]、Qi系统[8]、Yang-Chen系统[9]等。新系统的提出促进了人们对混沌现象的深入研究和认识,提高了混沌理论在工程上的应用能力。关于混沌系统的复杂动力学行为的判定以及混沌控制和同步研究一直是热门课题[10]。我们根据新混沌系统的必要条件和混沌系统的验证方法,通过数学分析和数值计算不仅给出了平衡点类型,还给出了新混沌系统对应的奇怪吸引子相图、Lyapunov指数、Poincare截面、分岔图等结论。然后结合Caputo分数阶导数定义,对新分数阶混沌系统进行了数值仿真,给出了不同阶数下的吸引子相图以及单参数变化的动力学行为变化情况。

1 数学模型及新分数阶混沌系统

新构造一个三维自治混沌系统的方程:

(1)其中:(x,y,z)∈R2为状态变量;a,b,c,d为系统实参数。当a=8、b=0.05、c=2、d=4时,其初值取(2,1,0),系统(1)的吸引子轨线的相图如图1所示[11]。

由数值计算可得系统的3个Lyapunov指数分别为:λ1=0.362;λ2=0;λ3=-2.323,其中有1个Lyapunov指数大于0;1个Lyapunov指数等于0;1个Lyapunov指数小于0,且3个Lyapunov指数之和小于0。Lyapunov维数可以计算出DL=2.16,这说明系统在上述参数组合下处于混沌状态。

在Caputo意义下的新分数阶混沌系统为

(2)

2 系统的平衡点分析

令系统(2)中每个方程的右边等于0,当a=8、b=0.05、c=2,d=4时,经计算系统具有3个平衡点:O(0,0,0),S±(±0.2,±3.99,8)。在每个平衡点处局部线性化系统(1)可得其Jacobi矩阵,由方程|λI-J|=0可分别求得对应特征值,如表1所列。因此,在系统参数a=8、b=0.05、c=2、d=4下,系统能够产生混沌现象。

表1 系统(2)的平衡点及特征值

根据方程(2),可解得新分数阶混沌系统的平衡点与整数阶混沌系统相同,根据Routh-Hurwitz条件[13],系统平衡点O(0,0,0)对应的特征方程具有正负特征值,可知此平衡点为一个不稳定的鞍点。根据引理1和稳定性理论,因为

系统平衡点S±(±0.2,±3.99,8)对应的特征方程具有负的特征值和一对具有正实部的复特征值,可知此平衡点为不稳定的指标2鞍点。根据引理1和稳定性理论,因为要满足

|arg(λ1)|=π,

系统的初值取为(2,1,0),由Matlab进行数值仿真可得到系统(2)在不同阶数下的奇怪吸引子。按照分数阶数值计算表明,当a=8、b=0.05、c=2、d=4时,新混沌系统在阶数为q1=q2=q3=0.92时处于周期状态,其吸引子相图如图2所示。阶数为q1=q2=q3=0.93时处于混沌状态,其吸引子相图如图3所示。

图2 分数阶混沌系统吸引子相图q1=q2=q3=0.92Fig.2 Attractor phase diagram of fractional order chaoticsystems q1=q2=q3=0.92

图3 分数阶混沌系统吸引子相图q1=q2=q3=0.93Fig.3 Attractor phase diagram of fractional order chaoticsystems q1=q2=q3=0.93

3 分数阶系统单参数的动力学行为

分数阶混沌系统的动力学行为主要由系统阶数和系统参数决定,在系统阶数固定的情况下,随着系统参数的变化,系统表现出不同的非线性行为,即出现Hopf分岔和混沌现象。这里仅研究在阶数q1=q2=q3=0.95 时,其他系统参数保持不变,只改变参数a的情况,其分岔图如图4所示。可以看出在参数a变化时,系统的动力学行为发生了相当大的变化:在区间[0.1,3.5)内,系统表现出极限环运动状态;在区间[3.5,5]内,系统表现出混沌运动状态。q1=q2=q3=0.95时吸引子相图见图5。为了进一步说明此情况,从图5可以看出,吸引子的相图a=2时表现出稳定的周期轨,由于初始值原理周期轨,所以图5中开始阶段表现出快速趋近周期轨的螺旋轨线,随后即进入稳定的周期轨道;在a=5时则表现出明显的混沌情形,可以看出轨线的缠绕、拉伸和折叠等复杂的运动状态。

图4 分数阶混沌系统单参数变化的分岔图Fig.4 Bifurcation diagram of single parameter change offractional order chaotic system

图5 q1=q2=q3=0.95时吸引子相图Fig.5 Attractor phase diagram when q1=q2=q3=0.95

4 结论

研究了一种三维自治动力系统及对应的分数阶混沌系统,给出了整数阶动力系统的吸引子相图、Poincare截面、Lyapunov指数和Lyapunov维数等基本动力学特性。基于分数阶稳定性理论和数值计算对分数阶混沌系统平衡点进行了分析,得出在阶数qi<0.738,i=1,2,3时系统是稳定的,进而给出了q1=q2=q3=0.92,q1=q2=q3=0.93时的吸引子相图。并且讨论了在q1=q2=q3=0.95时固定其他系统参数时,系统的动力学行为随参数a的变化。这些结论为系统的模拟电子电路的实现和通信工程等应用提供了理论依据和参考。

[1] Lorenz E N.Deterministic Non-periods Flows[J].Journal of Atmosphere Science,1963,20(2):130-141.

[2] Chen Guanrong,Tetsushi UETA.Yet Another Chaotic Attractor[J].International Journal of Bifurcation and Chaos,1999,9(7):1 465-1 466.

[3] Lv Jinhu,Chen Guanrong.A New Chaotic Attractor Coined[J].International Journal of Bifurcation and Chaos,2002,12(3):659-661.

[4] Lv Jinhu,Chen Guanrong,Cheng Daizhan,etal.Bridge the Gap Between the Lorenz System and the Chen System[J].International Journal of Bifurcation and Chaos,2002,12(12):2 917-2 926.

[5] TIGAN G H.Analysis of a Dynamical System Derived from the Lorenz System[J].Sci Bull Poli-tehnica University of Timisoara,2005,50(64):61-72.

[6] Liu Chongxin,Liu Tao,Liu Ling,etal.A New Chaotic Attractor Chaos[J].Chaos,Solitons and Fractals,2004;22:1 031-1 038.

[7] Bao Bocheng,Liu Zhong,Xu Jianping.New Chaotic System and Its Hyperchaos Generation[J].Journal of Systems Engineering and Electrics,2009,20(6):1 179-1 187.

[8] Qi Guoyuan,Chen Guanrong,Du Shengzhi,etal.Analysis of a New Chaotic System[J].Physica A,2005,352(2-4):295-308.

[9] Yang Qigui,Chen Guanrong.A Chaotic System with One Saddle and Two Stable Node-foci[J].International Journal of Bifurcation and Chaos,2008,18(5):1 393-1 414.

[10] 尹社会,张勇,张付臣,等.基于Lorenz系统的强迫Lorenz混沌系统的动力学研究[J].东北师大学报:自然科学版,2014,46(1):42-47.

[11] 尹社会,张勇,舒永录.一个新三阶动力系统及其仿真[J].通化师范学院学报:自然科学版,2015,36(5):22-24.

[12] 胡建兵,韩焱,赵灵东.基于Lyapunov方程的分数阶混沌系统同步[J].物理学报,2008,57(12):7 522-7 526.

[13] 刘宗华.混沌动力学基础及其应用[M].北京:高等教育出版社,2006.A New Three Dimensional Fractional Order Dynamical System

Yin Shehui,Pi Xiaoli

(HenanPolytechnicInstitute,Nanyang473000,China)

Based on the change of differential equation structure to give out a three dimensional autonomous chaotic system which is different from past and corresponding new fractional order dynamical system and the topological structure of its attractor phase diagram is different from previous systems.First,give the attractor phase diagram and basic dynamic characteristics such as Lyapunov dimensionality of newly established integer order dynamical system;then based on the fractional order stability theory and numerical calculation to analyze the balance point of fractional order chaotic system,obtain that the system is stable when the orderqi<0.738,i=1,2,3,then give out the attractor phase diagram when the order isq=0.92,q=0.93 in the sense of Caputo;finally discuss the change of system dynamic behavior along with parameter when the other system parameters are fixed under the condition ofq=0.95.

Fractional order dynamical system;Caputo derivative;Poincare cross section;Stability theory

Yin Shehui,Pi Xiaoli.A New Three Dimensional Fractional Order Dynamical System[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(6):10-12,41.[尹社会,皮小力.一个新三维分数阶动力系统[J].甘肃科学学报,2016,28(6):10-12,41.]

10.16468/j.cnki.issn1004-0366.2016.06.003.

2015-11-27;

2016-03-10.

河南省基础与前沿技术计划项目(142300410416).

尹社会(1979-),男,河南沈丘人,硕士,讲师,研究方向为非线性动力系统和混沌控制.E-mail:hnzkny@126.com.

O357.1;O241.82

A

1004-0366(2016)06-0010-04