浅谈在探究规律性问题教学中培养学生学习数学的兴趣

【摘要】随着高职院校招生规模的不断扩大，入学门坎降低，学生数学基础普遍较薄弱，加之数学非专业课，又较抽象难学，学生怕学厌学现象明显、突出，如何培养他们学习数学的兴趣，调动他们主动学习的积极性，已成为数学教学成败的关键。本文从探究规律性问题教学的三个方面，谈谈如何培养学生学习数学的兴趣。

【关键词】规律性教学 培养学生 数学 学习兴趣

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）22-0163-03

美国著名数学教育家波利亚依据数学学习规律，提出教学的第一条原则就是：让学生主动学习。如何让学生主动学习？笔者认为，培养他们学习数学的兴趣是最行之有效的方法之一。孔子说“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”，爱因斯坦说“兴趣是最好的老师”。陈景润为摘取数学皇冠上的明珠，勇攀“哥德巴赫猜想的高峰”，除了胸怀报效祖国的远大理想，更主要的还是他在福州英华中学读书时有幸聆听了沈元教授的数学课对数学产生了浓厚的兴趣，特别是研究证明“1+1”：任何一个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和这神奇奥秘的规律，使他如痴如醉。培养学生学习数学兴趣的方式方法多种多样，如让学生懂得学习数学的重要意义，激发学习动机，了解数学应用的广泛性，介绍数学发展史，讲数学家的故事等，但探究发现规律性问题的教学，更易激发学生的学习兴趣。在探究规律性问题的教学中，会发现许多蕴含着的数学美，许多有一定规律性的记忆方法和解题方法，会使学生产生比较强烈持久的学习兴趣。

1、在探究规律性问题教学中用数学美培养学生学习数学的兴趣

根据美国芝加哥大学心理系研究，全世界大约每5个人中就有1个数学恐惧症患者。在不少学生看来，数学就是“一个又一个公式、符号、定理、习题的堆积，它们是如此的抽象、散乱，遥远，不可琢磨，”毫无美感可言。但数学本身就是一门系统性和规律性很强的学科，它的本质是美的，“在冰冷的逻辑推理中，有一大堆生动的故事，冰冷美丽的外表下，有着朴素而火热的思考”。著名数学家庞加莱说：数学中的美，“那就是各部分之间的和谐，对称，恰到好处的平衡···，一句话说就是秩序井然，统一协调····”。教学中，教师要挖掘出数学中蕴含的美，有意识的展现出这些美来，让学生感受到数学的美，拉近数学与学生的距离，引起他们学习数学的兴趣。在探究规律性问题的教学中，数学的美不胜枚举。如，在探究二项展开式中的二项式系数之间的变化规律时，用杨辉三角表示： 1

立即给人一种对称协调美的感受。 1 2 1

如，在探索指数函数与三角函数这两种截然不同函数

1 3 3 1

之间的联系时，大数学家欧拉发现了联系它们的被称为

1 4 6 4 1

数学中的“天桥”：eiθ=cosθ+sinθ，当θ= 时，得公式：eiθ+1=0 ，被伟大近代数学家F.克莱因称为“整个数学中最卓越的公式之一”，它将数学中最重要的五个数0、1、 、i、e联系起来，让人看了简单、统一之美油然而生。如，重要基本初等函数y=ex的麦克劳林级数ex= + + + +···+ +···（x∈R，x≠0）【1】每一项的分子分母显得是那样的秩序井然，极有规律性，让人看了不能说不美。如，在探究斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，··· 的通项公式时，让学生观察前几项后不难发现从第3项起，后1项总是前两项之和，即an+2=an+1+an（n∈N+，下同），它是那么有规律，它的通项公式中含黄金分割值φ= =0.6180339887···，φ的渐近分数是： ， ， ， ， ， ， ， ， ···【2】 这一串渐近分数的分子分母依次为1，1，2，3，5，8，13，21，34···，它恰好是一个斐波那契数列，这个性质使得斐波那契数列在优选法中得到了应用（0.618法）。在美学中，黄金分割有着不可估量的意义，那些最伟大的美术作品中每一个细节的构图都充分展示了黄金分割之美（如达芬奇名画《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸符合“黄金矩形”）。在人体中黄金分割也无处不在，肘关节、膝关节、肚脐分别是整只手臂、整条腿和整个人的黄金分割点处。又如，讲完教材第5页例11【3】 后，不妨引导学生探究一下集合交、并、补三种运算之间的关系，不难发现： = ， = ，（ 分别表示全集U的补集），事实上这两个等式都具有一般性，就是德.摩根定理，它们把集合的三种重要运算之间的关系用简单，谐调之美的形式呈现在学生面前。再如，很有趣味的外观数列虽然教材上没有涉及，也不妨给学生做简单介绍：

1，11，21，1211，111221，312211，13112221，1113213211···它从数字1开始，第n+1项是对第n项的描述（比如，第2项是11，描述是2个1，第3项就是21，第5项是111221，描述是3个1，2个2，1个1，第6项就是312211） ，让学生通过描述写出前几项。它有许多有趣的性质：数列中除1、2、3其它数字永远不会出现；第n项L（n）随着n的增大越来越长，而

=λ=1.303577···（λ叫康威常数，是一个重要的无理数），λ是一个71次方程的唯一实数解，学生了解后会倍感数学的神奇美妙。

2、在探究规律性记忆方法的教学中培养学生的学习兴趣

记忆是人类积累知识增加智慧的基本条件。我国古代著名学者张载说“不记则思不起”。数学中的定义、定理、公式和性质等是反映数学本质属性和属性之间关系的，它们的应用非常广泛，能否牢固记忆并灵活应用是学好数学的重要前提。不少学生对定理、公式和一些必须牢固记住的重要知识，只会死记硬背，效果很不好，严重影响着他们学习成绩的提高。教学中，要注重引导学生探究一些常用定理、公式、重要性质和知识的变化规律、特点和联系，在帮助他们提高记忆效果的同时，也培养了他们的学习兴趣。如，对几个特殊锐角00，300，450，600，900的三角函数值，在三角函数、平面向量、解析几何及微积分学等的学习中常常用到，但不少学生总是不能熟练记住。其实，只要先记住正弦的值，并且分子都改成用根式表示，分母都用2表示，即为： ， ， ， ， ，变化很有规律性，只要将上述五个值颠倒一下顺序即得余弦的值，据商数关系得正切的值，又据倒数关系就得余切的值。如，三角函数的诱导公式共54个，在求值、化简、证明中随时用到，死记硬背是很难记住的。教学中，可引导学生观察，这些公式左右两边的三角函数名称为何有的相同有的不相同，右边符号有的有“-”号，有的没有“-”号，通过观察不难发现：将 （*）的三角函数化为 的三角函数时名称都要改变，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切，正割变余割，余割变正割；而将2k + 、 ± ，2 - ，- （**）（k∈Z，下同）的三角函数化为 的三角函数时名称都保持不变，因为 中n取奇数1和3得（*）组角，n取偶数4k、2、4、0得（**）组角，因此可将上述变化规律总结为一句话“奇变偶不变”；当把 看成锐角时，2k + 与 ， 与 - ， ， 及- 分别可看成一、二、三、四象限的角，据左边三角函数值符号，为正时右边无“-”号，为负时右边有“-”号，可总结为一句话“符号看象限”。这样，在理解的基础上，记住上述两句话54个诱导公式就永远记住了。又如，用高斯倒序相加法推导出等差数列的前n项和公式后，可以提示学生，若把首项a1、第n项an和求和项数n分别看成梯形的上底、下底和高，那么此公式就可以用他们很熟悉的梯形面积公式记忆。再如，求函数导数是微积分学的核心知识，用复合函数的求导法则（链式法则）求复合函数的导数是一个教学难点，学生常常犯“遗漏”的错误。如果将几个重要初等函数的求导公式稍加变形，在后面多乘一个xˊ，（xˊ=1）即如原来的（xα）ˊ=αxα-1，（lnx）ˊ= ，（sinx）ˊ=cosx···分别变成

（xα）ˊ=（αxα-1）xˊ，（lnx）ˊ= xˊ，（sinx）ˊ=（cosx） xˊ···，学生只要理解了左边的x变成什么样右边的x跟着变成什么样，那么求复合函数的导数就是上述变形后公式的反复运用。如求复合函数y=ln 的导数：yˊ= （ ）ˊ= [（sin2x） ]ˊ= （sin2x） -1（sin2x）ˊ= （cos2x）（2x）ˊ= =cot2x。

3、在探究规律性解题方法教学中培养学生的学习兴趣

波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。1976年国际数学管理者协会把解题能力列于十项基本技能之首。为帮助学生提高解题能力，教师不能局限于教材，对一些带有一定规律性的解题方法应该引导学生从简单到一般逐步深入地进行探究，一旦被学生掌握，不仅帮助学生提高了解题能力，也会增强他们学习的兴趣。如，求下列数列的通项公式：（1）0，1，0，1，···，（2）3，-7，3，-7···，【4】（3）0.7，0.77，0.777，0.7777···，（4）设数列{an}中a1=2，an+1= an+n（2008年高考四川卷文科数学试题16题）。（1）题学生经过思考可以“凑出” an= ，（2）题就很难“凑出”了，它至少有三种解法，（1）、（2）题其实是都是周期数列；（3）题可以用不完全归纳法求出，但技巧性较强；（4）题就基本没有学生能够解出来了。求上述这些数列的通项公式是否有一种统一的又较容易掌握的解题方法呢？答案是肯定的，就是“逐差与迭加法”。先做差a2-a1=f（1）， a3-a2=f（2）， a4-a3=f（3），···an-an-1=f（n-1），然后将这些等式左右两边相加得an-a1= f（1）+ f（2）+ f（3）+···+f（n-1），而f（1），f（2），f（3），···，f（n-1）是一个等差数列或等比数列，据等差数列或等比数列的前n项和公式可求出它们的和，从而就可求出an。“逐差与迭加法”还有其它一些应用，如求重要数列12，22，32，···n2与 13，23，33，···n3等的前n项的和。又如，多数学生都会用图像法解一元二次不等式，但对一元三次以上的不等式一般都不会解，如解下列不等式：（1）x3-2x2-15x<0，（2）（x+1）（x-1）（x+2）（x-2）>0，教师可以教会学生用图像法解：设不等式左边=f（x），解方程f（x）=0得实数根x1 x2， x3···，将它们在x轴上标出来，然后从最大一个根的x轴上方从右至左画一条曲线穿过所有的根（见图1、图2），据图即可得到所求（1）的解和（2）的解分别为{x∣x<-3或02}。可以引导学生进一步思考此种解题方法（俗称“穿根法”），能否解更难的无理分式不等式吗？答案是肯定的，如解不等式： >0（2010年高考全国卷二理科数学试题一、5），只要将使分子分母分别为0的两个方程的所有实数根都在x轴上标出来，用“穿根法”立即就可得正确的解，比教材上介绍的化为不等式组或列表法求解，要迅速简捷的多。一般而言，一元高次不等式和无理分式不等式都可以用“穿根法”求解。学生对学习这些具有一定规律性能解决较多难题又容易掌握的解题方法是很感兴趣的。

诺贝尔奖获得者杨振宁博士说：“成功真正的秘密就是兴趣”。学生若被动学习，久必生厌，要让学生主动学习，首先就得让学生对所学的课程感兴趣。因此，作为一线教师应依据数学的教学规律，结合学生实际，不断改进教学方法，有所创新，在日常教学中要想方设法激发和培养学生的学习兴趣才能取得事半功倍的教学效果。

参考文献：

[1]盛祥耀《高等数学》[M]，高等教育出版社·北京，2008年2月第4版，第276页。

[2]陈通鑫 刘嘉琨 王占元 方金秋《数学小词典》[M]，测绘出版社，1982年5月，第242页。

[3]张爱芹《数学》[M]，人民卫生出版社·北京，2004年1月，第5页。

[4]唐雨生 谢廷津 李才等《高中数学复习105讲》[M]，云南大学出版社，1993年5月，第133页。

作者简介：

杨星光，云南德宏职业学院教授，男，汉族，云南腾冲县人1958年9月生。1982年1月云南大学数学系数学专业本科毕业，学士。2010年12月西南大学教育与心理管理方向在职研究生班毕业。从事高中、中专和大学数学教学35年。现研究方向：微积分教学及应用。