皮亚诺公理与自然数的序数意义（一）

张新春

皮亚诺公理与自然数的序数意义（一）

张新春

1.皮亚诺公理

有一个不可考的说法，说爱迪生小时候遇到什么事情都要打破沙锅问到底，常常提出一些稀奇古怪的问题。这些问题中就包括这样一个问题：为什么2+2=4？据说老师因此认为他是一个不折不扣的糊涂虫，十足的低能儿。老实说，遇到一个小孩问这样一个问题，即使是今天的老师也很难作出好的回答。除了对一个小孩来说，要理解这样的问题的确很难之外，更重要的是这个问题问到了数学中最基础的内容。为什么2+2=4？要回答这个问题，我们得回答2是什么，+是什么意思，+2又是什么意思，4又是什么。只有有了这些定义，我们再根据这些定义得到2+2，看2+2与4是不是表示同一个东西。应该说明的是，以下的做法不能算作对2加2为什么等于4的回答：左手拿2枚棋子，右手也拿2枚棋子，然后把这些棋子合在一起，说：你看，这是不是4枚？给幼儿园和一年级的小朋友这样讲可以。但这里问题还很多，比如：拿棋子来说事，好像是这样的，只能用棋子吗？你肯定回答：别的东西也可以啊，比如苹果。那有没有什么东西不是这样的呢？你肯定回答：当然没有啊，用什么东西都是这样的。是吗？为什么是这样？你肯定回答……慢点，你肯定觉得有点不太好回答了。我们这里要玩另一个路子，要避免棋子这一类具体的东西，要玩概念，要抽象。就像人家跟你讨论“白马非马1”的命题，你不能牵一匹白马来问人家：你看这是不是马？这不是同一个问题，也不是同一种思考方式。

要讨论2加2为什么等于4的问题，涉及两个定义：一是自然数，二是自然数运算（这里是加法）。而这些定义都可由皮亚诺公理规定。

皮亚诺（Giuseppe Peano，1858～1932），意大利数学家。1858年8月27日生于皮埃蒙特的库内奥附近的斯皮内塔村；1932年4月20日卒于都灵。他由未定义的概念零、数及后继数出发建立起自然数的公理系统。1890年，他任都灵大学的数学教授。为了使自己的推理干净利落，皮亚诺使用了许多符号，比如用∈表示属于，用a+表示后继于a的下一个自然数。皮亚诺在他的所有数学表述中都采用这些符号。他的《数学公式》一书就是显著的例子。他在讲课时也使用这些符号，因而学生们造了反。他试着用全部及格的办法去满足他们，但没起作用，因而他被迫辞去他在都灵大学的教授职位2。

我们将用皮亚诺的公理体系回答为什么2+2=4的问题。当然，按我们上面的分析，首先得回答2是什么、4是什么的问题，即什么是自然数的问题。

（提醒你一下，接下来要讨论的是数学最基础部分的问题，要寻找数学的起点，也就是从什么都没有开始讨论，因此，请你忘记你现在所知道的所有数学知识）

公理1.0是自然数。

有了这条公理，我们终于有了一个自然数了，它就是0。它有什么性质？它与现实世界有什么联系？对不起，我们现在都不知道。如果只有0这一个自然数，当然没什么意思。我们还得想办法保证有其他的自然数，即一个自然数后面得跟着另一个自然数。用皮亚诺的话说，就是一个自然数后面有一个后继数。于是，皮亚诺给出：

公理2.若n是自然数，则n有一个后继数，也是一个自然数，记作n+。

（注意：后继数在这里是不加定义的，什么是后继数，暂时不知道，我们只说每一个自然数都有一个后继数。后继数有什么性质暂时也没说。当然，接下来肯定要说几条来明确后继数的性质）

公理1告诉我们，0是自然数，公理2告诉我们，如果你有了一个自然数，那么这个自然数后面一定会跟一个尾巴，并且这个尾巴也是自然数。

有了以上两条公理，我们就可以有很多自然数啦：根据公理1，0是自然数；根据公理2，0的后继数——记作0+——也是自然数。根据0+是自然数，再次根据公理2，0+的后继数——记作0++——也是自然数，这样继续下去，0+++、0++++、0+++++、……都是自然数。你可能已经发现了一个问题：这样下去，记录很不方便。于是需要约定一些符号分别表示这些自然数。0+用1表示，而0++（也就是1+）用2表示，0+++（也就是1++或者2+）用3表示，而3+就用4表示……当然，如此下去，需要的符号也会很多，甚至没完没了。好在我们有办法用有限几个符号记录无限多个自然数，那就是位值原则，这些是后话了。你应该已经意识到了，到现在为止，我们已经说清楚了2是什么，4是什么啦：2是0的后继数的后继数，也就是1的后继数；而4则是0的后继数的后继数的后继数的后继数。

如上所知，有了公理1，我们就有了一个自然数“0”，而再加上公理2，我们可以有很多自然数。但仅仅有这两条，还不足以说明有无限多个自然数。极端地讲，可以只有两个自然数，但完全符合公理1和公理2：按公理1，0是一个自然数，按公理2，它得有一个后继数0+，0+也是一个自然数，再按公理2：0+也得有一个后继数，那就让它是0吧，你看看，蛇咬住了自己的尾巴。只用两个数就符合了公理1和2。（当然，你可以更极端：0是自然数，它的后继数就是它自己……）你还可以考虑一下钟表上的数，0是钟面上的一个数（不妨把钟面上的12点当成0），而钟面上的每一个数都有一个后继数，也就是说钟面上的数符合前面提到的关于自然数的公理1和公理2。但我们知道，钟面上只有12个数。如果只有两个自然数，或者12个自然数，抑或有限个自然数，都不是我们所希望的。我们希望有足够多的自然数——要多少有多少——事实上就是无限多个。问题在哪呢？如何解决呢？看来，皮亚诺还要准备一条公理。您能想象出皮亚诺会准备一条什么公理来避免这一问题，从而使得自然数变得无限多吗？下期我们接着讲。

1.“白马非马”是中国哲学史上一个有名的辩论，由春秋战国时期名家公孙龙提出，详见冯友兰.中国哲学史新编（上）[M].北京：人民出版社，2004.3.

2.[美]M.克莱因.古今数学思想（第四册）[M].上海：上海科学技术出版社，2002.8.

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