局部连续Domain的特征与浓度

张则则，姜广浩

（淮北师范大学数学科学学院，安徽 淮北 235000）

局部连续Domain的特征与浓度

张则则，姜广浩

（淮北师范大学数学科学学院，安徽 淮北 235000）

引入局部连续Domain的局部基和稠密子集的概念，在此基础上定义了局部连续Domain的特征与浓度.给出了局部基的刻画，并讨论局部连续Domain的特征、浓度与局部连续Domain带上Scott拓扑或局部Lawson拓扑时的拓扑空间的特征、浓度之间的关系.

局部连续Domain；局部基；稠密子集；特征；浓度；Scott拓扑；局部Lawson拓扑

1 引言与预备知识

连续Domain结构作为计算机程序设计语言的指称语义学的数学模型，受到很多理论计算机专家和格上拓扑学方面的学者的关注[1-2].作为这种趋势的一个标志，Abramsky等[3]以连续Domain为主要对象系统阐述了经典Domain的数学理论.文献[4]提出了连续Domain的特征与浓度.文献[5]提出了局部连续Domain的定义.文献[6]给出了局部连续Domain的权的定义及性质.本研究在局部连续Domain中给出局部基的刻画，引入局部连续Domain的特征与浓度的概念，并讨论局部连续Domain的特征、浓度与局部连续Domain带上Scott拓扑或局部Lawson拓扑时的拓扑空间的特征、浓度之间的关系.

定义1[1-2]设（D，≤）为偏序集，S⊆D，若S≠○，并且S中的任意2个元在S中都有上界，即∀a、b∈S，有c∈S，使得a≤c，b≤c，则称S是定向的或为D的定向子集.

定义2[5]设（D，≤）为偏序集，∀d∈D，规定↓d= {x∈D：x≤d}.若对每个d∈D，↓d为dcpo，则称D是局部定向完备集，简称D是局部dcpo.记为定向集A⊆↓d在↓d中的上确界.

定义3[5]设D为局部dcpo，x、y∈D.若对D中任意一个有上界的定向集B与它的任一上界d，当时，存在b∈B，使得x≤b，则称x双小于y，简记为x≪y.记d={x∈D：x≪d}，⇑d={x∈D：d≪x}.

定义4[6]设D为偏序集，若对任意x∈D，⇑x是定向的，则称D是局部定向集.

注1 定向集一定是局部定向集,反之不一定成

立.如图1中的偏序集P={a，b，c，d，e，m}.

定义5[5]设D为局部dcpo，若对每个d∈D，⇑d为定向集并且，则称D是连续的局部dcpo，简称局部连续Domain.

命题1[5]设P是局部dcpo，∀x、y、u、v∈P，下列结论成立

（1）若x≪y，则x≤y.

（2）若x≤y≪u≤v，则x≪v.

（3）若x≪z，且P为局部连续Domain，则存在y∈P，使得x≪y≪z.

（4）若x≪z，y≪z，且x∨y在P中存在，则x∨y≪z.

（5）若P中含有最小元素0，则0≪x.

定义6[5]设P为局部dcpo，U⊆P是Scott开的当且仅当以下条件成立

（1）U={x∈P：∃u∈U，u≤x}，即U是上集；

P中所有Scott开集构成的集族称为P的Scott拓扑，记为σl（P）.Scott拓扑空间（P，σl（P））简记为Σl（P）.

注2图1中的U={a，d，e，m}为P的Scott开集.

定义7[6]设P为局部dcpo，B⊆P，称B是P的一个基，若∀x∈P，存在局部定向子集Bx，使得Bx⊆B∩x且∨Bx=x.

定理1[6]设P是局部连续Domain，则以下结论成立

（1）{⇑x：x∈P}是（P，σl（P））的基.

（2）x≪y当且仅当↑x是y的局部邻域.

（3）U⊆P是Scott开的，当且仅当↑U=U⊆P，y∈U时，存在x∈U，使得x≪y.

定义8 设P是局部dcpo，定义λl（P）=σl（P）∨ω（P），其中ω（P）是以{P↑x：x∈P}为子基的上区间拓扑，则λl（P）是以σl（P）∨ω（P）为子基生成的拓扑.称λl（P）为P上的局部Lawson拓扑.拓扑空间（P，λl（P））简记为Λl（P）.

由局部Lawson拓扑的定义知，{U↑F：U∈σl（P），F是P的有限子集}是Λl（P）的一个基.

命题2 若P是局部连续Domain，B是P的基，则﹛⇑x↑F：x∈B，F是P的有限子集﹜是Λl（P）的一个基.

证明 由于⇑x∈σl（P），由局部Lawson拓扑的定义知﹛U↑F：U∈σl（P），F是P的有限子集﹜是Λl（P）的一个基，从而﹛⇑x↑F：x∈B，F是P的有限子集﹜是Λl（P）的一个基.

定理2 设P是局部dcpo，若P满足下列条件

（1）P有插值性质:若a、b∈P，a≪b，则存在c∈P，使得a≪c≪b；

（2）集族{⇑a：a∈P}构成Σl（P）的基；

（3）∀a∈P，↑a=∩{U：U∈Σl（P），a∈U}.

则P是局部连续Domain.

当a∈U，U∈Σl（P）时，由（2）有b∈P，使得a∈⇑b⊆U.从而x∈⇑b⊆U.因此x∈∩{U：U∈Σl（P），a∈U}=↑a，即a≤x.故P是局部连续Domain.

2 局部连续Domain的特征

定义9 设P为局部dcpo，∀x∈P，若Dx⊆⇑x且∨Dx=x（其中Dx是局部定向集），则称Dx是x的局部基.

定义10 设P为局部连续Domain，∀x∈P，令χl（x，P）=min{|Dx|：Dx是x的局部基}，则称χl（x，P）为局部连续Domain P中x点的特征.令χl（P）=sup{χl（x，P）：x∈P}，称χl（P）为局部连续Domain P的特征.

记χl（x，Σl（P））为拓扑空间Σl（P）中点x的特征，χl（Σl（P））为拓扑空间Σl（P）的特征.

定义11 设P为局部连续Domain，若χl（x，P）≤ω（正整数集的基数），则称P为第一可数的局部连续

Domain.

命题3 设P是局部连续Domain，∀a∈P，有下列结论成立

（2）若a≪a，且Da是a的局部基，则a∈↓Da.

（3）若b≤a，且Da、Db分别是a、b的局部基，则Db⊆↓Da.

证明 （1）由定义9易得.

（2）因为Da是a的局部基，所以∨Da=a且Da⊆⇑a（其中Da是局部定向集）.由a≪a的定义知，对于定向集↓Da，当a≤∨Da=↓Da时，有a∈↓Da.

（3）因为Da、Db分别是a、b的局部基，所以Da⊆a，Db⊆b，且∨Da=a，∨Db=b（其中Da、Db为局部定向集）.∀y∈Db，有y≪b.又因为b≤a，故y≪a.而a=∨Da=∨↓Da，由y≪a的定义知y∈↓Da.因此Db⊆↓Da.

定理3 设P是局部连续Domain，∀a∈P且D⊆⇑a，则D是a的局部基当且仅当∀c∈⇑a，存在d∈↓D，使得c≪d.

证明 充分性 首先证明D是局部定向集，即∀d∈D，⇑d是定向集.∀d1、d2∈d，则d∈⇑d1∩⇑d2.由于P是局部连续Domain，故{⇑x：x∈P}是（P，σl（P））的基，从而存在d3∈P，使得d∈⇑d3⊆⇑d1∩⇑d2.于是d3≪d.由命题1知，∃c∈P使得d3≪c≪d.从而c∈⇑d3⊆⇑d1∩⇑d2.因此c∈d且d1≤c，d2≤c，即d是定向的.显然a=∨a≤∨D≤a，从而a=∨D.因此D是a的局部基.

证明 充分性 要证明D是a的局部基，只需证明a=∨D.显然∨D≤a.下证a≤∨D.假设则存在d∈D，使得则由条件知，存在d∈D，使得，矛盾.因此a=∨D.故D是a的局部基.

证明 充分性 由定理3充分性的证明知D是局部定向集.易得a≤∨D=∨↓D≤a.因此∨D=a.从而D是a的局部基.

必要性 由定理3易得.

定理6 设P是局部dcpo，则P是局部连续Domain当且仅当∀x∈P，x有局部基.

证明 由定义1及定义9易得.

定理7 设P是局部连续Domain，wl（P）=min{|B|：B是P的基}，则χl（P）≤wl（P）.

证明 设B是局部连续Domain P的基，且|B|= wl（P）.∀x∈P，令Bx=B∩x，则x=∨Bx.故Bx是x的局部基.从而χl（x，P）≤|Bx|≤|B|=wl（P）.由x的任意性知χl（P）≤wl（P）.

定理8 设P是局部连续Domain，则

证明 先证明χl（Σl（P））≤χl（P）.∀x∈P，存在x的局部基Dx，使得|Dx|≤χl（P）.

令β={⇑y：y∈Dx}.显然β⊆σl（P）.∀U∈σl（P），若x∈U，则∨Dx∈U，从而存在d∈U∩Dx，使得x∈⇑d⊆U.故β是x的邻域基.因此χl（x，Σl（P））≤|Dx|≤χl（P）.

再证明χl（P）≤χl（Σl（P））.∀x∈P，存在Σl（P）中x的一个邻域基β，使得|β|≤χl（Σl（P））.∀U∈β，由于x∈U，且U是Scott开集，故存在y∈U，使得x∈⇑y⊆↑y⊆U.取这样的y记作yU.设D={yU：U∈β}.下证D是x的一个局部基.显然D⊆⇑x.∀z∈P，若z≪x，即x∈⇑z，由β是x的邻域基知，存在U∈β，使得x∈U⊆⇑z.又因为U是Scott开集，则存在y∈U，使得x∈⇑y⊆↑y⊆U⊆⇑z.从而存在yU∈U，使得z≪yU.由定理3知D是局部连续Domain P中x点的一个局部基.故χl（x，P）≤|D|≤χl（Σl（P））.由x的任意性知，χl（P）≤χl（Σl（P））.从而在局部连续Domain P中，有χl（P）≤χl（Σl（P））.

推论1 设P为局部连续Domain，则P是第一可数的局部连续Domain当且仅当Σl（P）是第一可数的拓扑空间.

证明 由定义11及定理8易得.

3 局部连续Domain的浓度

定义12 设P为局部连续Domain，A⊆P.若∀x∈P及∀y∈⇑x，存在a∈A，使得y≪a，则称A为P的稠密子集.

定理9 设P是局部连续Domain，A⊆P，则A为

P的稠密子集当且仅当∀x、y∈P，当x≪y时，存在a∈A，使得x≪a.

证明 由定义12易得.

定义13 设P为局部连续Domain，令dl（P）= min{|A|：A是P的稠密子集}，称dl（P）为局部连续Domain的浓度.特别地，若dl（P）≤ω，则称局部连续Domain P是可分的.

记dl（Σl（P））、dl（Λl（P））分别为拓扑空间（P，σl（P））、（P，λl（P））的浓度.

定理10 设P是局部连续Domain，则

证明 设B是P的基，∀x∈P，y∈⇑x，则存在b∈B，使得x≪b≪y.由定理9知，B是P的稠密子集.故dl（P）≤wl（P）.

定理11 设P是局部连续Domain，则dl（Σl（P））= dl（P）≤dl（Λl（P））.

证明 设A为P的稠密子集，且d（lP）=|A|.∀U∈σ（lP），且U≠○.由定理1知，存在x、y∈U，使得x≪y.由定理9知，存在a∈A，使得x≪a.又U是上集，则a∈U，即A∩U≠○，所以A在Σ（lP）中稠密，且d（lΣ（lP））≤d（lP）.

设A在Σ（lP）中稠密，且d（lΣ（lP））=|A|.∀x∈P，y∈⇑x，因为⇑x是Scott开集，所以A∩⇑x≠○，即存在a∈A，使得x≪a.由定理9知，A为P的稠密子集.从而d（lP）≤|A|≤d（lΣ（lP））.

因为σl（P）⊆λl（P），所以dl（Σl（P））≤dl（Λl（P））.因此dl（Σl（P））=dl（P）≤dl（Λl（P））.

推论2 设P是局部连续Domain，则

推论3 设P是局部连续Domain，则P是可分的当且仅当Σl（P）是可分的.

定理12 设P是含有最小元的局部连续Domain，则dl（Λl（P））≤wl（P）.

证明 令0为P中的最小元，B是P的一个基，且|B|=wl（P），则必有0∈B.显然B是P的稠密子集，且也是Σ（lP）的稠密子集.

下面只需证明B在Λ（lP）中稠密.因为P↑F≠○（其中F是P的有限子集且是下集），所以0∈P↑F，从而B∩（P↑F）≠○.故B在Λ（lP）中稠密.因此d（lΛ（lP））≤w（lP）.

推论4 设P是含最小元的局部连续Domain，则dl（Λl（P））≤dl（P）+1.

证明 由定理11的证明过程可知，A在P中稠密当且仅当A在Σl（P）中稠密.故若A在P中稠密且dl（P）=|A|，则A在Σl（P）中稠密，从而A∪{0}也在Σl（P）中稠密.又0∈A∪{0}，且由定理12的证明可知，A∪{0}在下拓扑中稠密，从而A∪{0}也在Λl（P）中稠密.故dl（Λl（P））≤|A∪{0}|≤|A|+1≤dl（P）+1.

推论5 设P有最小元，则P是可分的局部连续Domain当且仅当Λl（P）是可分的空间.

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（责任编校 马新光）

Character and density on locally continuous Domains

ZHANG Zeze，JIANG Guanghao
（School of Mathematical Science，Huaibei Normal University，Huaibei 235000，Anhui Province，China）

The concepts of the local base and dense set of locally continuous Domains are introduced and examined.On the basis of this，the character and density on locally continuous Domains are defined.In addition，some characterizations about the local base are given.The relations between the character and density on a locally continuous domain and those on the related topological space with Scott topology or locally Lawson topology are discussed.

locally continuous Domains；local base；dense set；character；density；Scott topology；locally Lawson topology

O153.1

A

1671-1114（2016）05-0013-04

2016-02-05

国家自然科学基金资助项目（11361028）；安徽高等学校省级自然科学研究重点资助项目（KJ2013A236，KJ2016A648）.

张则则（1989—），女，硕士研究生.

姜广浩（1973—），男，副教授，主要从事一般拓扑学方面的研究.