基于第二类Chebyshev节点组的多元求积公式在布朗片测度下的平均误差

武文艳，赵华杰，许贵桥

（天津师范大学数学科学学院，天津 300387）

基于第二类Chebyshev节点组的多元求积公式在布朗片测度下的平均误差

武文艳，赵华杰，许贵桥

（天津师范大学数学科学学院，天津 300387）

在布朗片测度下研究基于扩展的第二类Chebyshev节点组的多元张量积数值求积公式的平均误差问题，得到了相应量的强渐近阶.本研究算法是构造性的，更加简单实用，平均误差的收敛速度为n-1，优于蒙持卡洛算法，且一元情形在阶的意义下是最优的.

第二类Chebyshev节点组；数值求积公式；布朗片测度；平均误差

1 引言和预备知识

在实际问题中，解往往是目标函数的某些算子，如函数的积分和逼近等.在很多情况下，目标函数是未知的，但可以得到目标函数的某些信息，如函数在某些点的值（称为标准信息）.利用目标函数的信息可以构造出问题的近似解，但在误差估计中，由于目标函数不能确切得知，所以只能对目标函数作某些假设，然后在此假设下探讨算法的误差.在平均框架下，假设目标函数为一个随机元素，算法的误差为这个集上个体函数逼近误差的期望值.

假设F是一个集合，G是一个范数为‖·‖的线性赋范空间；μ是定义在F的Borel子集上的概率测度，S是F到G的可测映照，称为解算子；N是F到Rn的一个可测映射，称为信息算子；φ是Rn到G的一个可测映射，称为算法.信息基逼近φN相应于测度μ的平均误差为[1]

在上述定义中，F通常为函数空间，S通常为恒等算子（此时称为逼近）或积分，信息算子通常为标准信息，而φ通常为线性算子[2].

积分问题在平均情形下的误差分析起始于Suldin[3-4]，之后许多学者进行了大量研究，有关一元函数的主要研究结果可见专著[2]，而多元函数的结果可见专著[5].注意到有关多元函数积分的构造公式主要集中在周期函数类（Korobov函数类）上[6-7]，而对一般Sobolev空间上的算法都是非构造性的[5，8]，本研究将利用基于扩展的第二类Chebyshev多项式零点的Lagrange求积公

式构造一种多元求积公式，并在布朗片测度下计算其平均误差.

下面引入多维布朗片测度的定义.记F1={f∈C[-1，1]:f（-1）=0}，对于任意f∈F1，定义

则（F1，‖·‖C）成为一个可分的Banach空间，将（F1，‖·‖C）上的Borel集记为B（F1），B（F1）上的Wiener测度记为ω.由文献[10]可知ω的协方差核为

记Fd为F1的d重张量积空间，由文献[11]知Fd上的d维布朗片测度ρd为F1上的Wiener测度ω的d阶张量积测度，其协方差核为：对任意x=（x1，…，xd）及y=（y1，…，yd），

本研究将考虑数值求积公式（5）在d维布朗片测度下的平均误差.

2 主要结论

定理 设S（f）和Td，n（f）如上定义，则有

这里，对于两个正数数列{an}和{bn}，an=o{bn}表示

证明 由式（1）、式（5）和式（6）可得

对于I2，由Fubini定理及式（7）可得

由sinx=Im（eix），cosx=Re（eix）及等比数列求和公式得

由式（8）、式（9）、式（14）和式（16）可得

由式（17）可得定理结果.

注 目前常见计算多元积分的方法是蒙特卡洛算法[12]和平移格算法[5].蒙特卡洛算法是随机的，其计算结果也是随机的，只是在概率的意义下有一定的可靠性，并且每次计算都需要使用不同的信息.而平移格算法需要的计算量非常大.本研究构造的算法公式简单，并且计算都使用同样的信息.在计算的精确性方面，该算法平均误差的收敛速度为n-1，优于蒙特卡洛算法平均误差的收敛速度n-1/2.特别地，同文献[2]的结果比较可知，当d=1时，此算法达到了使用标准信息的最优逼近速度n-1.

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[2]KLAUSR.Average-case Analysis of Numerical Problems[M].New York：Spring-Verlag，2000.

[3]SULDIN A V.Wiener measure and its applications to approximation methods I[J].Izv Vyssh Ucheb Zaved Mat，1959，13：145-158.

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[5]NOVAK E，WOZNIAKOWSKI H.Tractability of Multivarite Problems，Volume II：Standard Information for Functions[M].Zurich：European Mathematical Society Publish House，2010.

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[7]DICK J，KRITZER P，PILLICHSHAMMER F，et al.Approximation of analytic functions in Korobov spaces[J].J Complexity，2014，30（2）：2-28.

[8]C AISTLEITNER，HOFER M.Probabilistic discrepancy bounds for Monte Carlo point sets[J].Math Comp，2014，83：1373-1381.

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[10]XU G Q，DU Y F.The average errors for Hermite-Fejer interpolation on the Wiener space[J].Science in China：Series A，2010，53（6）：1841-1852.

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[12]ECUYER P L，OWEN A B.Monte Carlo and Quasi Monte Carlo Methods[M].Berlin：Spring-Verlag，2009.

（责任编校 马新光）

Average errors of multivariate quadrature formula based on the second Chebyshev nodes on the Brownian sheet measure

WU Wenyan，ZHAO Huajie，XU Guiqiao
（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

The average errors of multivariate tensor product quadrature formula based on the extended second Chebyshev nodes on the Brownian sheet measure are studied，and the corresponding stronger asymptotic order is obtained.The algorithm is constructive，which is simpler and more applicable.At the same time，this algorithm is optimal in the order sense for the univariate case setting.

the second Chebyshev nodes；quadrature formula；Brownian sheet measure；average error

O174.41

A

1671-1114（2016）05-0001-04

2016-04-20

国家自然科学基金资助项目(11471043).

武文艳（1990—），女，硕士研究生.

许贵桥（1963—），男，教授，主要从事函数逼近论方面的研究.