基于Kriging模型的桥梁结构易损性分析

袁万城，王建国，庞于涛，贾丽君

(同济大学 土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092)



基于Kriging模型的桥梁结构易损性分析

袁万城，王建国，庞于涛，贾丽君

(同济大学 土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092)

地震易损性用来描述不同强度地震作用下超越某一极限状态或性能的概率，通常采用蒙特卡罗(MC)、拉丁超立方(LHS)方法来生成易损性曲线，但是，这两种方法计算量很大。本文通过引入Kriging模型代替计算量较大的增量动力分析方法(IDA)对某三跨连续梁桥进行易损性分析，发现该方法能够显著减小计算量。以LHS易损性曲线为参考，对该方法的准确性进行了研究，发现通过该方法计算得到的易损性曲线精度较好。最后，本文对比分析不同均匀设计样本得到的Kriging易损性曲线，发现文中所使用的U15(157)均匀设计样本已经具有能够收敛的结果。

易损性；Kriging模型；桥梁结构；数学计算方法；均匀设计；拉丁超立方

地震是一种随机性强、破坏严重的偶然荷载，桥梁结构遭受强震作用后将造成惨重的直接灾害以及次生灾害。国外在遭受了如Nothridge地震以及Kobe地震所带来的惨重损失后，开始提出基于性能的地震工程框架[1]。易损性分析为该工程框架的一个重要组成部分，用来描述桥梁结构在不同强度地震作用下超越某一极限状态或性能的概率[2]，并与地震危险性分析共同作为地震风险评估的依据[3]。

地震易损性的分析方法包括专家易损性方法、经验易损性方法和理论易损性方法。专家易损性方法不可避免受主观因素影响；经验易损性方法的获得和应用则受地震灾害记录及工程场地差异的影响而存在局限性；从而理论易损性方法被广泛应用。针对理论易损性分析，庞于涛等[4-5]利用增量动力分析(incremental dynamic analysis，IDA)，钟剑等[6-7]利用概率地震需求分析(probabilistic seismic demand model，PSDA)得到动力需求模型，冯清海及庞于涛等[4-5, 8]利用人工神经网络预测结构的概率能力，然后进行易损性分析。蒙特卡罗方法(Monte Carlo，MC)、拉丁超立方(Latin hypercube sampling，LHS)方法常用来对某一极限状态生成易损性曲线，但是当包含结构参数的不确定性时，特别是采用IDA方法时，计算量非常大，为易损性曲线求解带来极大的不便。

在过去30～40年间，随着数值方法的广泛应用，软计算方法开始在工程界使用。在保证一定计算精度的前提下，软计算方法将显著提高计算效率。Chouicha等[9-10]等将软计算引入到地震液化模拟中；Lagaros等[11-12]则在结构设计优化和结构可靠度分析中应用了人工神经网络。而软计算在易损性分析中应用却较少，目前的研究也仅在能力计算方面提高计算效率[13]。在软计算的各个模型中，Kriging[14]模型作为一种估计方差最小的无偏估计模型，具有全局近似与局部误差相结合的特点，它的有效性不依赖于随机误差的存在，对非线性程度较高和局部响应突变问题具有良好的拟合效果，因此Kriging模型可用来进行全局或局部的近似，并且，该模型已多次应用于复杂问题的近似计算[15-18]，并取得了较高计算精度。

本文采用训练成熟的Kriging模型代替易损性分析中计算量较大的IDA计算进行易损性分析，并以LHS易损性曲线检验该方法的计算精度；另外，通过对比不同均匀设计样本数的Kriging易损性曲线来分析其收敛性。

1 本文算法

1.1 Kriging模型理论

,...,q

(1)

f(x)为由文献[14]中多项式组成的回归函数向量，β:,l为相应的回归系数；zl(x)=r(x)Tγ*为均值为零方差为σl2的随机变量，r(x)为描述局部相关性的向量，γ*为局部相关系数。并且β:,l、γ*由下式求得

γ*=R-1(Y-Fβ)

β=(FTR-1F)-1FTR-1Y

(2)

式中：F为样本矩阵，R为描述随机变量之间相关性的矩阵。文献[11]中提供了指数型(EXP)、高斯型(GAUSS)、线性(LIN)、样条型(SPLIN)等7种相关系数模型，例如在采用高斯相关系数模型时，第i、j两随机变量间的相关系数为

(3)

同样的方法可以确定所有的相关系数，利用随机样本的输入变量与对应的响应确定回归系数β和相关系数θ后，整体Kriging模型即可确定，并且文献[19, 20]给出了求解β、θ的解析法和数值法。

1.2 均匀设计概述

在多参数、多水平的试验中均匀设计能够显著减小试验样本数，在桥梁易损性研究中涉及到材料以及结构等多个不确定因素，按照常规方法则需要大量的试验，而按照均匀设计可以大大减小试验次数，并能够充分反映参数的随机性。

本文采用均匀设计方法，U15(157)为7因素15水平数的实验设计，普通实验设计所需试验样本为715=4.75×1012，正交设计样本数减少为152=225而均匀设计仅需15个样本即可充分反映参数随机性。Un(nm)均匀设计表为一n行m列的矩阵。其中该矩阵的第一行为{1,2,…,n}的子集，并且该矩阵第j列的元素采用如下算法计算：

u1j=hj

i=1,2,...,n-1

(4)

1.3 本方法的计算流程

基于Kriging模型的易损性分析基本步骤如图 1所示，1)确定随机变量并根据均匀设计理论抽取随机样本；2)由随机样本及其对应的响应确定Kriging模型中的未知参数；3)根据Kriging模型确定相应于PGA=a的均值、标准差；4)利用MC方法抽取1×106个随机样本点并根据损伤级别及损伤指标确定损伤概率获得易损性曲线；5)LHS易损性曲线检验计算精度；6)改变均匀设计样本数检验Kriging易损性曲线的收敛性。

2 实例分析

2.1 桥梁有限元模型

本文以某三跨混凝土连续梁桥为例，进行基于Kriging模型的易损性分析。该桥跨径布置为50 m+50 m+50 m，桥墩墩高30 m，横截面为6.2 m×2.2 m的矩形截面。墩顶采用铅芯橡胶支座(leader rubber bearing, LRB)承台顶采用板式橡胶支座(sliding leader bearing, SLB)。桥墩采用C40混凝土，主梁采用C50预应力混凝土，采用HRB335钢筋。桥墩的纵向配筋率为0.75%，配箍率为0.6%，桥梁整体布置及细部构造如图 2所示。

使用Opensees建立桥梁结构的三维有限元模型。上部结构在地震作用下基本保持弹性，使用线弹性单元模拟；桥墩要承受较大的地震力，允许桥墩在强震作用下屈服，故采用纤维单元模拟；支座采用零长度单元模拟；并不考虑桥台的变形及移位。桥墩混凝土材料采用Kent-Scott-Park本构模型，钢筋采用双线性滞回本构模型。

图 1 Kriging易损性流程Fig.1 The procedure of fragility analysis using Kriging model

图 2 桥梁结构总体布置及细部构造图Fig.2 General configuration of reinforced concrete bridge and layout of the section

2.2 随机变量与损伤指标

桥梁结构易损性分析中涉及多种不确定性因素，本文选取核心混凝土的极限抗压强度(fc,core，fc,cover)及对应的压应变(εc,core，εc,cover)，钢筋的屈服强度fy及初始刚度Es为输入随机变量，表1列出了所考虑材料参数的统计特性。易损性分析时需要定义损伤级别以及损伤指标，本文选取支座位移及墩底曲率为输出变量，并根据文献[21]取四个损伤级别，损伤级别及相应的损伤指标由表 2列出，由于严重损伤和完全损伤不易定义，此处暂不讨论。

表1 随机变量及其分布

2.3 Kriging模型的建立

本文中的桥梁所在场地为中软场地土，场地类别为Ⅲ类，以从PEER强震数据平台中选取的30条Ⅲ类场地地震波来考虑地震动的随机性。根据《公路桥梁抗震规范》中的目标反应谱对30条地震记录进行调幅，以此作为激励进行非线性时程分析，并忽略地震动的空间变化效应，另外，依据文献[22, 23]选取PGA作为地震动强度(IM)的指标。

表2 损伤级别及损伤指标

Table 2 The definitions of the damage states and corresponding DI criteria

构件轻微损伤中等损伤墩底曲率μ/m-1μ>1μ>1.5LRB位移峰值s/mη>0.05η>0.15SLB位移峰值η/mη>0.10η>0.25

对表1中的随机变量抽取7因素15水平数的实验样本并以上述30条经过调幅的实际地震记录为激励进行非线性时程分析，求得相应于每个样本的均值与标准差，进而得出均值与标准差对于PGA的分布函数，最终根据下式建立整体Kriging模型：

y=exp(yμ+logN(0, yσ))

(5)

根据整体Kriging模型求解相应于某PGA的均值与标准差，利用蒙特卡罗(MC)方法抽取1×106个样本点，即可计算出对应损伤级别下该PGA的损伤概率，连接多个PGA的损伤概率得到易损性曲线，如图 3所示。

2.4 拉丁超立方(LHS)易损性曲线

为检验基于Kriging模型的易损性分析方法的有效性，以LHS方法对表1中随机变量抽样得到100个随机样本，并将上述30条调幅后的实际地震记录作归一化处理，分别调整其峰值为0.1g，0.3g，0.5g，0.7g，0.9g，然后进行非线性时程分析，从而得到某损伤级别下相应于某PGA的损伤概率，进而得到易损性曲线，与Kriging易损性曲线对比的结果如图3所示。

由图3可知，板式橡胶支座位移、铅芯橡胶支座位移以及墩底曲率的Kriging易损性曲线，在轻微损伤和中等损伤两损伤级别下均与LHS易损性曲线非常接近。铅芯橡胶支座表现出比板式橡胶支座更易损坏的特性，在所关注的三个易损部位中，墩底曲率是最不易破坏的部位，板式橡胶支座的易损性介于两者之间。

图 3 Kriging易损性曲线与LHS易损性曲线对比Fig.3 Fragility curves obtained using Kriging model and LHS in bridge model

2.5 均匀设计样本数对Kriging易损性收敛性的影响

为说明Kriging易损性曲线的收敛性，本文在上述易损性曲线的基础上，由均匀设计表格U20(207)抽取随机样本并求得Kriging易损性曲线，以LHS易损性曲线为参考，比较不同样本数得到的Kriging易损性曲线的收敛性，由表3中不同均匀设计样本数Kriging易损性曲线的均方根差可知，该方法的计算精度已经较高。图 4、5为不同均匀设计样本点数得到的易损性曲线的对比。

表3 不同均匀样本点数的均方根差

Table 3 Root-mean-square-error (RMSE) is calculated for different UD tables with respect to LHS

均匀样本轻微损伤SLBLRBpier中等损伤SLBLRBpierU15(157)0.0210.0270.0220.0290.0150.034U20(207)0.0220.0210.0170.0180.0090.043

基于Kriging模型的易损性分析中，在采用U15(157)均匀设计表格时，共抽取样本15个，利用30条地震波进行非线性时程分析共计算15×30=450次。在采用U20(207)均匀设计表格时，抽取样本20个，计算20×30=600次。而采用LHS方法进行计算时，要达到满意的计算精度需要抽取样本100个，并对地震波PGA作归一化处理并调整为5个不同的等级，需计算100×30×5=15 000次。由图 4、图 5可知，U15(157)，U20(207)和LHS易损性曲线非常接近，Kriging易损性计算中15个样本的计算已具有足够的计算精度，计算结果已收敛。

图 4 Kriging易损性曲线收敛性-轻微损伤Fig.4 Fragility curves using different UD tables (U15(157) and U20(207)) at slight limit states

图 5 Kriging易损性曲线收敛性-中等损伤Fig.5 Fragility curves using different UD tables (U15(157) and U20(207)) at moderate limit states

3 结论

本文通过结合均匀设计与Kriging模型来求解地震易损性曲线，并以某三跨连续梁桥为例进行基于Kriging模型的易损性分析，通过对比不同均匀设计样本数的Kriging易损性曲线和LHS易损性曲线，得出如下结论：

1)在易损性分析时，可以采用分别模拟响应的均值与标准差Kriging模型的方法生成相应与某损伤状态的易损性曲线。

2)与传统的LHS易损性方法相比，采用U15(157)和U20(207)均匀表格设计Kriging模型时，计算量分别减少97%和96%，显著提高了计算效率。

3)与LHS易损性曲线相比，本文Kriging易损性曲线的计算精度较高，轻微和中等两损伤级别下的均方根差(RMSE)均控制在理想范围内。

4)采用大约两倍随机变量数的设计样本数(如本文中7个随机变量的U15(157)均匀样本)计算得到的Kriging易损性曲线已经收敛。

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Seismic fragility analysis of reinforced concrete bridges using the Kriging model

YUAN Wancheng, WANG Jianguo, PANG Yutao, JIA Lijun

(State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Seismic fragility is used herein to describe the probability that the structure responses exceed the performance limit state for a given seismic intensity measure. The Monte Carlo simulation and Latin hypercube sampling (LHS) are generally used to develop fragility curves. However, a relatively large number of simulations are necessary when considering a series of uncertainty variables. In this paper, we replaced the extremely time-consuming process associated with the IDA methods by a Kriging model. Then the method was applied to a three-span continuous beam bridges. Compared with the LHS curves, the Kriging fragility curve has a satisfactory accuracy and saves much time for curve development. A comparison of the fragility curves developed by different uniform design tables with respect to the LHS curves shows that the U15(157) uniform design sample can obtain a necessary convergence.

seismic fragility; Kriging model; bridge; surrogate model; uniform design; Latin hypercube sampling

2015-09-12.

日期：2016-05-27.

土木工程防灾国家重点实验室基金项目(SLDRCE14-B-14)；国家自然科学基金项目(51478339,51278376，91315301)；江西省科技计划项目(20151BBG70064)；国家科技支撑计划课题(2015BAK17B04).

袁万城(1962-)男，教授，博士生导师，博士； 贾丽君(1967- )，女，副教授，博士.

贾丽君，E-mail：jialj@tongji.edu.cn.

10.11990/jheu.201509037

TU312.1

A

1006-7043(2016) 11-1504-06

袁万城，王建国，庞于涛，等. 基于Kriging模型的桥梁结构易损性分析[J]. 哈尔滨工程大学学报, 2016, 37(11): 1504-1509. YUAN Wancheng, WANG Jianguo, PANG Yutao, et al. Seismic fragility analysis of reinforced concrete bridges using the Kriging model[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2016, 37(11): 1504-1509.

网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20160527.1354.016.html