特种起重机伸缩臂振动特性建模分析与试验

杜文正， 张金星， 姚晓光， 谢 政， 马长林

(第二炮兵工程大学二系，西安 710025)



特种起重机伸缩臂振动特性建模分析与试验

杜文正， 张金星， 姚晓光， 谢 政， 马长林

(第二炮兵工程大学二系，西安 710025)

为研究某新型特种起重机作业过程中伸缩臂带载伸展时的振动特性，将伸缩臂等效为固定支撑的阶梯式变截面悬臂梁和进行伸展运动的变长度悬臂梁。基于梁振动的微分方程与模态叠加理论建立了伸缩臂带载伸展时臂架振动的数学模型。采用Rayleigh-Ritz法，结合梁的边界条件得到了各级臂振动的固有频率和在等效冲击载荷作用下臂端的坐标响应，进而得到振动位移曲线。对理论结果分析可知，伸缩臂的自身臂架结构和伸展速度是影响臂节振动的主要因素，臂节刚度越小、伸展速度越快，臂架振动位移越大。依托改装后的HIAB-033T型起重臂为试验平台进行试验研究，试验结果与理论结果基本一致，验证了理论分析的正确性。

起重机伸缩臂;振动特性;数学模型;试验

某新型特种装备将两个起重臂安装于车厢前后，作业时，双机协同工作将大尺寸的吊重水平移动至平行放置的平台上，如图1所示。

图1 双机协同工作水平转载吊重Fig.1 Two cooperative cranes transport a load

为实现水平转载，在起重臂回转动作的同时，其伸缩臂需协同进行伸展，由于伸缩臂采用箱型结构的多节臂嵌套而成，具有明显的柔性特征，所以在带载伸展的过程中，伸缩臂在冲击载荷的作用下各级臂振动较为剧烈，严重影响了臂节末端的精确定位，并且对臂节自身的稳定性造成一定的影响，因此需要对起重机伸缩臂带载伸缩作业时的振动特性进行研究。

目前，工程机械领域对于起重机伸缩臂等类似结构的研究主要集中在稳定性分析及结构的优化设计[1-3]，主要采用有限元法对具有不同结构形式臂节的伸缩臂的应力分布进行分析以确定容易发生失稳的截面[4-5]；另有一部分学者针对该类机械臂存在的柔性特征，基于Hamilton原理或者Lagrange方程建立动力学方程对机械臂在刚柔耦合状态下的运动特性进行了分析研究[6-7]，但其更多的关注在柔性变形下臂架大范围刚性运动所受的影响，且对机械臂柔性变形的形式仅作简单的假设，忽略了机械臂自身结构形式不同对其柔性变形带来的影响[8]。

对于伸缩臂振动特性的研究，当前更多的集中在对伸缩臂固有频率的分析与求解上。刘锦阳等[9]采用频谱分析的方法对带中心刚体的悬臂梁进行了动力学分析，得到了柔性梁固有频率随刚性梁变化的一般趋势，为柔性梁的固有频率求解提供了理论依据；韩旭炤等[10]采用边界元法对梁元件弯曲振动公式进行了推导，并提出了对梁固有频率进行局部区间细化的快速求解方法。但以上分析多侧重于频率分析，对振动响应关注不多。CEKUS[11]针对液压驱动的伸缩臂系统存在的振动，将其垂直于轴线的振动和轴向振动等效为刚性杆与具有一定刚度的弹簧连接发生振动，建立伸缩臂的振动模型，对其振动特性进行研究，但该模型推导和运算过程复杂，且模型简化方法缺少相应的理论依据。RAFTOYIANNIS等[12]通过建立起重机伸缩臂的简化模型对其振动特性进行了研究，主要考虑了速度因素对特定工况下的伸缩臂振动产生的影响，但是对其他因素的影响并未予以探讨。

为深入研究更具一般性的与伸缩臂结构相类似臂架的振动特性，分析影响其振动特性的具体因素，为伸缩臂的振动特性的应用或者振动抑制提供理论依据和具体参考，本文对伸缩臂的结构进行简化，建立伸缩臂伸展运动模型，基于Euler-Bernoulli梁理论及Rayleigh-Ritz法对其振动特性进行分析，并结合经过改装的HIAB-033T型折叠臂对理论分析结果进行试验验证。

1 伸缩臂模型简化

在作业过程中，伸缩臂顺序伸出，当一节臂伸展到位后，臂架内挡块将其固定，其余臂节继续伸出；已伸出臂节和前几级臂节共同构成阶梯式的变截面悬臂梁。考虑伸缩臂结构特点，对伸缩臂做如下简化：

(1)对各级臂进行受力分析时，仅考虑横向变形影响，不考虑轴向变形和剪切效应，各级臂视为Bernoulli-Euler梁；

(2)臂节之间的配合间隙较小，对臂架振动的影响忽略不计；

(3)各级臂以固定规律伸出，伸展到位后与已伸出部分等效为阶梯形变截面梁;

(4)伸缩运动的臂节视为变长度的悬臂梁。

2 伸缩臂固有频率与振型分析

根据对伸缩臂模型所进行的简化，将正在作业的伸缩臂分为固定不动的固支臂节和进行伸展运动的运动臂节两部分。

2.1 固支臂节固有频率求解与振型分析

根据伸缩臂模型的简化，固支部分为阶梯形变截面悬臂梁。如图2所示，设其共有m段，wi(x,t)为第i段臂在点x处垂直于轴线方向的弯曲变形，则其无阻尼自由振动方程为:

(1)

式中,(EI)i为第i段梁的刚度,mi为第i段梁单位长度质量。由Rayleigh-Ritz[13]法，将wi(x,t)写成如下形式:

(2)

式中,qin(t)为广义模态坐标,Win(x)为第i节臂振型函数。

图2 阶梯形变截面悬臂梁Fig.2 Cantilevered beam with multiple steps

由振动方程解的一般形式，第i段梁的振型函数可以表示为:

Wi(x)=Aicos(λi(x-xi-1))+Bisin(λi(x-xi-1))+

Cicosh(λi(x-xi-1))+Disinh(λi(x-xi-1))

(3)

式中，xi-1≤x≤xi，x0=0，xm=L，Ai、Bi、Ci、Di为常数，其值由梁振动的边界条件确定。

相邻的两段梁在连接处变形量、转角、弯矩及剪力满足连续性条件，由此可得：

(EI)i+1w″i+1(xi)=(EI)iw″i(xi)

(EI)i+1w‴i+1(xi)=(EI)iw‴i(xi)

(4)

将相邻两段梁的待定系数写成矩阵形式：

(5)

则由式(4)连续性条件可知：

Zi+1=MiZi

(6)

式中,

式中，li为第i段梁的长度，γ1=sin(λili)；

γ2=cos(λili)；γ3=sinh(λili)；γ4=cosh(λili)；

α1,2=λi(c±1)/(2λi+1)，α3,4=(c±1)/2，

c=(EI)iλi2/[(EI)i+1λ2i+1]，i=1,2…m-1。

由式(6)递推可得：

Zm=MZ1

(7)

式中,M=Mm-1Mm-2…M2M1。

由阶梯形悬臂梁两端的边界条件可得：

(8a)

(EI)mW″m(L)=0,((EI)mW″m(L))′=0

(8b)

由式(8a)可得：

C1=-A1,D1=-B1

(9)

将式(8b)写成矩阵形式：

ΛZm=ΛMZ1=ΨZ1=0

(10)

式中,

将式(9)代入式(10)中并整理可得：

由于A1、B1不全为0，系数行列式必为0：

(11)

上式即为伸缩臂固支臂节的频率方程，其解即为伸缩臂振动的固有频率，并由此可得阶梯形变截面悬臂梁的振型函数。

2.2 运动臂节固有频率求解与振型分析

将进行伸展运动的最外端臂看做长度可变的悬臂梁，对于长度为l(t)、单位长度质量为m2的悬臂梁的振型函数为:

(12)

悬臂梁的特征频率由如下的超越方程给出：

(13)

该方程具有如下的近似解：

(14)

3 伸缩臂振动响应分析

如图3所示为伸缩臂带载伸展运动示意图，A、B分别为固支臂节的铰接点，C、D为运动臂节在固支臂节内部的支撑点，C跟随臂节一起运动，D固定于固支臂节末端。固支臂节长度为L1，运动臂节长度为L2，初始伸出长度为a0，运动臂节以速度v伸出，臂架末端施加载荷P。

图3 伸缩臂带载伸展运动示意图Fig.3 Telescopic boom crane stretching with payload

运动臂节在C、D两点施加的载荷分别为PC、PD，则[14]：

PC=P+m2gL2-PD

(15)

3.1 固支臂节振动响应分析

固支臂节在移动的集中载荷作用下的振动方程为:

PD·δ(x-L)

(16)

式中，L=L0+L1。

根据Rayleigh-Ritz法及式(2)又可得下式：

PC·δ(x-vt)+PD·δ(x-L)

(17)

方程两侧同时乘以Wn(x)，并对其每一项从0到L进行积分，变换后得下式：

方程(18)的解以Duhamel积分形式给出[15]：

(19)

3.2 运动臂节振动响应分析

对于运动臂节，设其根部平动和转动引起的附加载荷的影响函数分别为g1(x)、g2(x)，则[16]：

g1(x)=1，g2(x)=x

(20)

令w1(x,t)表示固定臂节的弯曲变形，由Rayleigh-Ritz法，运动臂节的弯曲变形可以写为：

式中,Yn(x)为运动臂节的振型函数;Φn(t)为与时间相关的广义模态坐标。

同理，对振动方程进行同3.1类似的变换，可得式(21)：

(21)

将运动臂节视为等截面的悬臂梁，根据悬臂梁函数的正交性[17]，可知在式(21)中:

(22)

式中,

(23)

式(21)具有如下形式的通解：

Φn(t)0=K1φ1n(x)+K2φ2n(x)

(24)

式中,

由式(24)，可以设式(21)具有如下形式的特解：

Φn(t)p=d1n(t)·φ1n(t)+d2n(t)φ2n(t)

(25)

将式(25)代入方程中进行求解可得：

(26)

式中,

由φ1n、φ2n的表达式易知：

(27)

由式(22)～(27)可得方程(21)的解为：

(28)

K1=1，K2=-1

(29)

4 仿真与试验

4.1 仿真结果分析

根据2、3节理论分析结果，结合该新型特种起重机伸缩臂的结构尺寸，对不同条件下伸缩臂伸展过程的振动特性及影响臂节振动的因素进行分析研究。

根据伸缩臂简化模型，对伸缩臂一级臂节伸展到位与基本臂构成固支臂节，二级臂正在进行伸展的工况进行分析研究。伸缩臂结构参数见表1。

表1 特种起重机伸缩臂结构参数Tab.1 Structural parameter of the special telescopic boom

取a0=0.5 m，E=209 GPa，v=0.05 m/s，在吊臂末端施加的集中载荷为P=3 kN，改变臂节伸展规律，使其分别以0.05 m/s、0.1 m/s、0.2 m/s的速度进行伸展，得到臂节端部振动曲线见图4～图8。

图4 v=0.05 m/s时臂节端部振动响应曲线Fig.4 The vibration curves of the beams with a speed of 0.05 m/s

图5 v=0.1 m/s时臂节端部振动响应曲线Fig.5 The vibration curves of the beams with a speed of 0.1 m/s

图6 v=0.2 m/s时臂节端部振动响应曲线Fig.6 The vibration curves of the beams with a speed of 0.2 m/s

改变伸缩臂运动臂节的结构尺寸，令I1=4.15、I2=3.88、I3=3.64，使其刚度减小后分别以0.1 m/s、0.2 m/s的速度伸展，得到伸缩臂振动曲线，与未减小刚度之前对比进行分析。

图7 伸缩臂减小刚度以0.1 m/s速度伸展时的振动曲线Fig.7 The boom’s vibration curves with a speed of 0.1m/s and a smaller stiffness

图8 伸缩臂减小刚度以0.2 m/s伸展时的振动曲线Fig.8 The boom’s vibration curves with a speed of 0.2 m/s and a smaller stiffness

对仿真结果进行分析可知，随着臂节的逐渐伸出，伸缩臂发生高频振动，且振动位移随着运动臂节的伸出逐渐增大。同时，伸缩臂各级臂的振动特性受伸展规律的影响，对比图4～图6可知，增加伸臂速度，臂节的振动幅度增加，伸臂速度越快，臂节的振动位移越大越剧烈。同时也可以看出，随着运动臂节的伸出，其振动频率具有减小的趋势。

将图7、图8与未减小刚度时伸缩臂臂端的振动曲线对比分析可知，当伸缩臂的运动臂节以相同的速度伸展时，刚度小的臂节的振动幅度越大，由此也表明伸缩臂的振动位移同样受刚度因素的影响。

4.2 试验验证

图9 伸缩臂带载伸展试验Fig.9 The experiment of the boom stretching with payload

如图9所示，选取以高强度钢制成的截面矩较小且柔性特征明显的HIAB-033T型折叠式起重臂为试验对象，对其机械和液压系统加以改装，使起重臂在比例阀的控制下作业，并在臂端等相应位置安装加速度计、位移和倾角传感器，对理论分析结果进行试验验证。

给起重臂液压驱动系统控制伸臂动作的电磁阀分别施加10 mA、8 mA、4 mA的电流，使伸缩臂一级臂作为运动臂节分别以0.05 m/s、0.1 m/s、0.2 m/s的速度伸展，得到其端部的振动加速度，进行积分得到相应的振动曲线，通过与运动臂节在三种速度下的振动曲线进行对比对仿真结果进行验证。振动位移曲线如下。

图10 一级臂以不同速度伸展时端部振动曲线Fig.10 The vibration curves of the second beam with different speed

将伸缩臂一级臂以不同速度进行伸展时臂端的振动曲线与仿真结果对比分析可知，试验过程中伸缩臂的振动位移随着臂节的伸出有逐渐增大的趋势，且随着运动臂节速度的增加，伸缩臂的振动幅度随之增大，试验结果与仿真分析相一致，验证了速度因素对伸缩臂振动的影响。同时振动曲线的频率也具有减小的趋势。另外，对比可知，试验所测结果比仿真结果略大，这是由于伸缩臂各级臂之间存在配合间隙且臂节之间的导向滑块存在一定弹性，从而造成伸缩臂的振动位移更大。

为验证刚度因素对伸缩臂振动的影响，将伸缩臂的一级臂完全伸出并将其根部固定支撑，使具有更小截面矩的二级臂分别以不同的速度伸展测得臂端振动曲线作为对比试验。

图11 小刚度臂节以不同速度伸展时端部的振动曲线Fig.11 The vibration curves of the beam with different speeds and smaller stiffness

对图11所测结果进行分析可知，当具有更小刚度的伸缩臂二级臂在相同载荷作用下以两种速度向外伸展时，与相同条件下一级臂端部振动曲线相比，二级臂端部的振动位移更大，由此表明刚度因素同样能够影响伸缩臂振动，进一步验证了仿真结果的正确性。

5 结 论

本文通过建立起重机伸缩臂更具一般性的简化模型，根据梁振动理论，采用Rayleigh-Ritz法分析推导了伸缩臂各臂节固有频率和坐标响应，通过理论分析和试验可以得出以下结论：

(1)影响臂节振动的主要因素为伸缩臂自身结构和伸展运动速度，臂节结构对应的刚度越小，伸展速度越快，振动越剧烈。

(2)随着运动臂节的逐渐伸出，其高频振动的频率有逐渐降低的趋势。

(3)试验结果与理论分析结果基本一致，验证了理论分析结果的正确性。

研究结果对于起重机伸缩臂带载伸展的动力学分析提供了一定的参考，对于伸缩臂伸展过程的稳定性及安全性能分析具有借鉴意义。

[1] 纪爱敏,张培强,彭铎,等. 起重机伸缩吊臂局部稳定性的有限元分析[J]. 农业机械学报, 2004, 35(6): 48-51. JI Aimin, ZHANG Peiqiang, PENG Duo, et al. Finite element analysis for local stability of telescopic boom of truck crane[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2004, 35(6): 48-51.

[2] 徐圣, 刘锦阳, 余征跃. 几何非线性空间梁的动力学建模与实验研究[J]. 振动与冲击, 2014, 33(21): 108-113. XU Sheng, LIU Jinyang, YU Zhengyue. Dynamic modeling and tests for a geometric nonlinear spatial beam[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(21): 108-113.

[3] DU Liang, LU Nianli, LAN Peng. Analysis of flexibility and stability of crane telescopic boom with elastic restraint and secon-order effect[J]. Advanced Materials Research, 2013(774/775/776):109-113.

[4] 陈红永, 陈海波, 张培强. 轴向受压运动梁横向振动特性的数值分析[J]. 振动与冲击, 2014, 33(24): 101-105. CHEN Hongyong, CHEN Haibo, ZHANG Peiqiang. Numerical analysis of free vibration of an axially moving beam under compressive load[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(24): 101-105.

[5] TRABKA A. Dynamics of telescopic cranes with flexible structural components[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2014, 88(88): 162-174.

[6] 王斌锐,方水光,金英连. 综合关节和杆件柔性的机械臂刚柔耦合建模与仿真[J]. 农业机械学报, 2012, 43(2): 211-216. WANG Binrui, FANG Shuiguang, JIN Yinglian. Dynamics and simulation of rigid-flexible coupling robot arm with flexible joint and link[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2012, 43(2): 211-216.

[7] 张泉,周丽平,金家楣,等. 高速柔性并联平台的动力学分析[J]. 振动工程学报, 2015, 28(1): 27-37. ZHANG Quan, ZHOU Liping, JIN Jiamei, et al. Dynamic analysis of a high speed flexible parallel manipulator[J]. Journal of Vibration Engineering, 2015, 28(1): 27-37.

[8] 梁捷, 陈力. 柔性空间机械臂末端运动及柔性振动的模糊自适应补偿控制[J]. 兵工学报, 2011, 32(1): 45-57. LIANG Jie, CHEN Li. Fuzzy logic adaptive compensation control of end-effect movtion and flexible vibration for spaced-based flexible manipulator[J]. Acta Armamentarii, 2011, 32(1): 45-57.

[9] 刘锦阳,洪嘉振. 柔性梁的刚柔耦合动力学特性研究[J]. 振动工程学报, 2002, 15(2): 194-198. LIU Jinyang, HONG Jiazhen. Study on rigid-flexible coupling dynamic behavior of flexible beam[J]. Journal of Vibration Engineering, 2002, 15(2): 194-198.

[10] 韩旭炤,黄玉美,张永贵,等. 梁结构振动问题的边界元法解析[J]. 农业机械学报, 2008, 39(7): 178-182. HAN Xuzhao, HUANG Yumei, ZHANG Yonggui, et al. Analysis of beam structure vibration by boundary element method[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2008, 39(7): 178-182.

[11] CEKUS D, POSIADALA B. Vibration model and analysis of three-member telescopic boom with hydraulic cylinder for its radius change[J]. Journal of Bifurcation and Chaos, 2011,21(10):2883-2892.

[12] RAFTOYIANNIS I G, MICHALTSOS G. Dynamic behavior of telescopic cranes boom[J]. Structural Stability and Dynamics, 2013, 13(1): 1-13.

[13] JAWORSKI J W, DOWELL E H. Free vibration of a cantilevered beam with multiple steps: comprason of several theoretical methods with experiment[J]. Journal of Sound and Vibration, 2008，312(4/5): 713-725.

[14] 姚倡仁，唐国梁. 火箭导弹发射动力学[M]. 北京：北京工业学院出版社, 1987: 308-317.

[15] 黄日龙，田常录，谢家学. 擦窗机伸缩臂的振动响应分析[J]. 江南大学学报, 2014, 13(2): 184-188. HUANG Rilong, TIAN Changlu, XIE Jiaxue. Vibration response analysis of Gondola telescopic boom[J]. Journal of Jiangnan University, 2014, 13(2): 184-188.

[16] 克拉夫, 彭津. 结构动力学[M]. 北京：高等教育出版社, 2013: 299-301.

[17] DUAN Guohui, WANG Xinwei. Free vibration analysis of multiple-stepped beams by the discrete singular convolution[J]. Applied Mathematics and Compution, 2013, 219(24): 11096-11109.

Mathematical vibration model and experiments of special telescopic crane boom

DU Wenzheng, ZHANG Jinxing, YAO Xiaoguang, XIE Zheng, MA Changlin

(The Second department of The Second Artillery Engineering University, Xi’an 710025, China)

To analyse the vibration of a special telescopic crane boom stretching with payload，the telescopic boom was equivalent to a fixed cantilevered beam with multiple steps and a stretching beam with varying length. Based on the equation of the beam’s vibration and the theory of modal superposition, the mathematical vibration model of the special telescopic crane boom was established. Using the Rayleigh-Ritz method, the natural frequency of the transverse vibration was calculated according to the boundary conditions, the responses at the generalized coordinates of each joint arm were derived, and the deformation curve was then obtained. The analysis of the theoretical results shows that the stiffness of the beam and the stretching speed are the main factors influencing the vibration of the beam. The smaller the stiffness and the faster the speed, the larger the deformations. The experiments were done on a remoulded HIAB-033T boom, and the experiment results were consistent with the theoretical results, which verifies the correctness of the mathematical vibration model.

telescopic crane boom; transverse vibration; mathematical model; experiment

国家自然科学基金(51505485)；军内科研项目(133053)

2015-05-29 修改稿收到日期：2015-11-06

杜文正 男，博士，副教授，1974年6月生

张金星 男，硕士，1991年7月生

TH213.5

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.22.025