PCR仪基座在脉冲热流下的非傅立叶温度场研究

许秀锋,周爱国,陆敏恂,殷俊锋,王金堂

(1.同济大学 机械与能源工程学院,上海 200092; 2.同济大学数学系,上海 200092)



PCR仪基座在脉冲热流下的非傅立叶温度场研究

许秀锋1,周爱国1,陆敏恂1,殷俊锋2,王金堂1

(1.同济大学 机械与能源工程学院,上海 200092; 2.同济大学数学系,上海 200092)

主要结合PCR(Polymerase Chain Reaction)仪中的具体模型研究了导热问题中的非傅立叶效应,列出了在该模型中的非傅立叶传热微分方程.从理论上分析讨论了不同传热边界条件下的温度场,给出了在不同边界条件下的一维温度场的解析解,并根据这些解析解画出了主要工作面的温度响应示意图.同时讨论了在脉冲热流条件加热下时,不同热流脉冲频率对该模型的工作面的温度场响应的影响.研究了非傅立叶效应对PCR仪基座传热的影响,为PCR仪加热试验提供部分理论上的参数设计基础.

非傅立叶效应; 脉冲加热; 温度场

对于热传导温度场的分析求解有着非常多的方法.首先对于稳态传热来说,温度场并不随时间的变化而变化,这时候对温度场影响最大的是空间因素,文献[1]和[2]就分别对二维以及三维空间下的稳态热传导温度场进行了分析求解.但是在实际的应用中,对非稳态传热的研究往往更具有意义,因为温度场会随着时间的变化而不断变化,并且由不稳定到稳定的这个过程将会对传热质量以及传热效率有着一定的影响,文献[3]和[4]就分别对一维和二维的瞬态非稳定温度场进行了研究.同时在问稳态过程中,传统的傅立叶定律是建立在热扰动传播速度是无限大的基础之上的,然而在实际过程中,强瞬态传热如激光加热等情况下,热扰动的传播速度不可能是无限大的,所以此时传统的傅里叶定律不适用,即此处存在有非傅立叶效应.文献[5]通过理论分析以及试验的方法证实了非傅立叶效应的存在.文献[6-11]在对不同情况下的非傅里叶传热进行了研究,主要是对一维温度场的研究,也取得一些理论上的成果.而本文的研究重点,是在脉冲加热时对二维温度场的非傅里叶效应的研究,通过加载脉冲边界条件,了解温度场的变化规律.

本文主要结合PCR仪具体模型,求解在半导体制冷器(Thermoelectric Cooler,TEC)的不同工作状态下的温度场.当TEC正常工作时,其热量是由下方传到上方,所以在同一高度处的温度是相等的,这时的温度场就相当于是一个一维温度场.

1 强瞬态导热微分方程的导出

对于一般的传热问题,我们通常使用傅立叶定律来建立数学模型：

q=-λgradT

(1)

式中:q为热流密度; λ为材料的导热系数;T为温度场温度; “-”表示热流方向是沿着温度降低的方向.

分析该模型的求解结果往往会发现当物体中的某一处发生热扰动的时候,其他的所有地方就会立刻产生温度的变化,即该热扰动的传播速度是无限的.也可以说傅里叶定律是建立于热传播速度是无限大的假设之上的.

在实际过程中,热量的传播肯定是具有一定的速度的,所以需要对傅立叶经典方程进行一定的修正.在这种情况下,Cattaneo-Vernotte方程得到的广泛的应用,它可以表示为

(2)

式中:τ0为弛豫时间;τ代表时间; ∂q/∂τ是在温度梯度的截面上热流密度对时间的导数,只有当热播恰好传至该截面的时候,该导数才具有一定的值.引入该项是因为温度场和温度梯度的改变在时间上要滞后于热扰动,所以在弛豫时间间隔内的截面上的热流密度会产生τ0∂q/∂τ的改变.

根据能量方程(无内热源)

(3)

式中:ρ为材料密度；c为材料的质量比热熔；x,y,z分别表示直角坐标下的空间坐标；qx,qy,qz分别为热流密度沿空间坐标轴方向的分量.

联立式(2)和(3),可得在非傅里叶型非稳态传热过程中(如脉冲传热等强瞬态传热过程)的导热微分方程为

(4)

式中:a为材料的扩散系统，a=λ/pc.

2 PCR基座导热模型的建立

2.1 PCR基座热力学模型

该对象的底部为TEC,即热源,顶部为铝制基座,由于TEC尺寸的限定,所以必须把TEC分为3块,在正常的情况下3块TEC同时工作,如图1所示此时热量自下而上传播,由于在同一高度处的温度相同,所以也就不存在热量的横向传播,所以是一个一维非稳态传热过程,温度场的分布仅与高度以及时间有关.

图1 TEC正常工作时传热模型

正常工作时,TEC会保持在控制温度的范围内,此时相当于在基座底部加载了一个第一类边界条件.在实际的控制过程中,有可能出现TEC以一种脉冲热量的输出形式在工作,这时候的边界条件便转化为了第二类边界条件.所以在接下来的数学模型的建立时,我们就由易到难,从简单到复杂地来分析在不同情况下的传热模型.

2.2 PCR基座导热方程的推导

根据PCR的工作原理,并结合控制系统的策略可以分别从如下3个方面进行分析.

(1) 阶跃边界条件

当时间τ>0时,在基座的底部加载一强度为q0的热流密度,如图2所示.

图2 阶跃热流

(5)

边界条件为

(6)

式中：x为响应点的高度坐标；d为基座的高度；q0为模型的热流密度参考值.

(2) 单脉冲边界条件

当时间τ>0时,在基座的底部加载一脉冲热流,如图3所示.

图3 单个脉冲热流

这种情况下的传热微分方程的边界条件为

(7)

式中：H(τ)为单位阶跃函数；τh为单脉冲热流持续时.

(8)

(3) 多脉冲边界条件

当时间τ>0时,在基座的底部加载多个脉冲热流,如图4所示.在这种情况下也可以将脉冲热流看做是一正弦函数,脉冲宽度的变化也就对应着正弦函数频率ω的变化.这种情况下的传热微分方程的边界条件为

图4 多个脉冲热流

(9)

3 PCR基座导热方程的求解

3.1 一维温度场求解

3.1.1 阶跃热流边界条件下的温度响应

(10)

式中:q0是热流密度.

可得关于高度x与时间τ的温度场T(x,τ):

(11)

(12)

式中：γni=-iγn，i为虚数单位。

(13)

由图5,6可见在阶跃热流的作用之下,基座的上下表面都呈不断上升的趋势.但是上表面温度的上升却比下表面存在一个时间的延迟,这也说明了热流的传递需要一定的时间,同时也反应了非傅里叶效应的作用.当弛豫时间增大时,其温度响应速度的延迟也会增加.这里选取不同的弛豫时间旨在说明不同的弛豫时间(使用不同的材料)对温度响应的影响.

3.1.2 连续脉冲热流边界条件下的温度响应

其传热微分方程式不变,但边界条件变为

图5 基座上下表面温度

图6 不同弛豫时间下的温度响应

(14)

式中:ω为频率.

进行如是无量纲转化：

(15)

则基于单位阶跃边界条件下的温度场,运用杜哈美尔定理[13-14],求出在连续脉冲边界条件下的温度响应Tω(Xω,τω)为

(16)

(17)

按照式(17)绘制出温度场如下.

从图7中可以看出,各处的温度是随着时间呈波形增长的,同时这也正反映出了连续脉冲热流加热的特点.取时间轴为横轴,温度为纵轴,绘出上下表面的温度变化图，如图8所示.不难看出上表面对于下表面的温度变化存在着一定的延迟,并且相较于图5可以发现由于热流由连续热流变为脉冲热流,上表面温度响应的延迟有了一定的增加.改变脉冲热流的周期,即改变ω的值,可绘制出不同频率热流下基座上下表面的温度响应图，如图9-12所示.(为合适显示其变化,适当调整了热流大小q0和弛豫时间τ0).

图7 连续脉冲热流下温度场

图8 连续脉冲热流下上下表面温度响应

从图9中可以看到,当正弦函数频率ω取值越大即热流频率高时,上表面的温度响应越接近直线；ω≥1000后,上表面温度随时间呈直线响应.从图12中可以看出,在不同时刻时,基座内部的温度也存在着一定的梯度,这反映了热量是自下而上的传播的.并且也可以看到,在最初的时间里,基座上面部分的温度是没有变化的,这说明了热播还没有传到此处,这也是传热过程中非傅立叶效应的一种具体的体现.

图9 ω=500 Hz时上下表面的温度响应

图10 ω=1 000 Hz时上下表面的温度响应

图11 ω=2 000 Hz时上下表面的温度响应

4 总结

文章就传热中的非傅立叶效应展开讨论,建立了PCR仪基座传热中的具体模型,随后根据修正之后的传热微分方程建立了具体的数学模型,对PCR仪基座对于脉冲热流的温度响应进行了描述.

图12 不同时刻基座内温度场

通过对函数图形的绘制,可以清晰地反应非傅立叶效应在传热过程中具体体现,也可以看出热播传播具有一定的速度,即离热源远的地方得温度变化会比离热源近的地方存在着一定的延迟.还可以看到,在脉冲热流作用时,当脉冲热流频率较高时基座上表面的温度响应近似为直线响应.通过本文的研究,可以对非傅立叶效应有一个更加具体化的了解,也对PCR仪基座内部的温度场有了更加全面的掌握.

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Study of non-Fourier temperature field on PCR instrument base under pulse heat flux

XU Xiu-feng1,ZHOU Ai-guo1,LU Min-xun1,YIN Jun-feng2,WANG Jin-tang1

(1 College of Mechanical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China；2 College of Mathmatics, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Based on the non-Fourier effect on heat conductions via a specific model of PCR instrument, the non-Fourier heat transfer differential equation is provided.By theoretically analyzing the temperature field under different heat transfer boundary conditions, an analytical solution for one dimensional temperature field under different boundary conditions is presented.According to the analytical solution, the temperature response to the main working surfaces is diagramed.Meanwhile, the temperature response to the working surfaces is obtaiuned under different frequency pulse heat fluxes.In addition, the impact of non-Fourier effect on polymerase chain reaction (PCR) instrument heat transfer provides partially-theoretical base for parametric design on PCR heating devices.

non-Fourier effect; pulse heat flux; temperature field

许秀锋(1977-)，男，博士.Email：xuxiufeng@tongji.edu.cn

TK 01

A

1672-5581(2016)03-0216-05