微波负载电热耦合的无源互调分析

江 洁,李团结,梅宇健,王鸿钧

(1.红河学院工学院,云南蒙自 661100; 2.西安电子科技大学机电工程学院,陕西西安 710071)

微波负载电热耦合的无源互调分析

江 洁1,2,李团结2,梅宇健2,王鸿钧1

(1.红河学院工学院,云南蒙自 661100; 2.西安电子科技大学机电工程学院,陕西西安 710071)

微波负载可改善电路的匹配性能,吸收微波能量.消耗微波能量产生的焦耳热对微波负载的电阻率产生影响,从而产生无源互调.针对热场与电磁场耦合时导致时间尺度上的差异引起的微波负载无源互调问题,首先利用分数阶微分方法建立了微波负载分数阶热传导模型;然后建立分数阶热传导的电路模型;最后结合热阻效应,推导出微波负载电热耦合引起的无源互调功率电平表达式.分析了材料的电阻温度系数、热阻、热容对无源互调的影响,为微波负载降低电热耦合引起的无源互调提供了参考.

微波负载;无源互调;互调失真;分数阶微分;电热耦合;热阻

无源互调是由无源部件的固有非线性引起的.当电流通过非线性部件时,非线性的电压-电流特性会导致一个单频传输系统中出现谐波信号传输,双频或多频传输系统中出现谐波信号及其他不希望有的交调信号频谱.产生无源互调的原因众多,例如,金属-氧化物-金属接触、金属-金属接触、磁滞材料的非线性特性和接触处的接触污染等[1-4].通常情况下,因为热变化和电磁波的频率相差很大,在时间尺度上相差了几个量级,使得电热耦合引起的无源互调被严重忽视.但是,当输入多载波的频率比较接近时,会有功率信号频率落入材料的热带宽中,从而产生电热耦合过程,使得元件的电阻率随时间变化,呈现非线性的电压-电流关系,最终导致无源互调的产生[5-6].

当输入载波流经微波负载时,微波负载吸收微波能量,产生焦耳热效应,导致金属材料电阻率发生时变,电阻率的变化又会影响焦耳热效应,形成电热耦合现象.

分数阶微分能简洁、准确描述具有历史记忆性和空间全域相关性等物理过程,而且分数阶导数建模简单、参数物理意义清楚、描述准确,是复杂物理过程数学建模的重要工具之一[7-8].在微波负载的电热耦合过程中,热传导过程具有明显的记忆性和遗传性.相较于热传导方程的经验表达式指数函数[9],应用分数阶微分方法能简洁地表达热传导过程,将简化电热耦合模型的无源互调(Passive Inter Modulation,PIM)计算.

笔者研究了微波负载电热耦合产生的PIM问题,首先,用分数阶微分简化热传导方程,得到分数阶热传导方程.再根据分数阶热传导方程,建立分数阶热传导电路模型,推导热传导结果.最后,结合热阻效应、耦合电场和热场,推导出由微波负载电热耦合产生各阶PIM的表达式.对微波终端负载进行仿真,分析电阻温度系数、热阻和热容对PIM的影响.并提出降低微波负载电热耦合引起无源互调的方法,为其他微波器件的低PIM设计提供理论依据和参考方法.

1　热传导和电热耦合模型

无源器件自热将导致电阻率变化.研究证明,在多载波下,输入的功率信号会出现新的频谱分离,若有功率信号频谱分量落入热带宽时,会产生电热耦合,使无源器件的电阻率发生时变,产生PIM.其中输入载波的频率差与热变化频率接近,将产生电热耦合和PIM;而输入载波的频率和比热变化频率高很多时,将不产生电热耦合效应[10].文中研究在双载波情况下,载波的频率差功率信号对微波负载电热耦合PIM的影响.

1.1电热耦合模型

根据热电阻效应[11-12]和热传导理论,推导得出电热耦合方程为

其中,T是温度,单位为K;Rth是热阻,单位为K·W-1;Cv是热容,单位为J·K-1·kg-1;J是电流密度,单位为A·m-2;ρe0是电阻率,是常数;α和β是电阻温度系数.实际上,对于大多数金属,热电阻表达式中的一阶系数比二阶及以上系数要大好几个量级,故一阶系数是产生非线性的主要原因.

1.2热传导模型

热传导方程描述在一个实体中,热能会从高温区域流向低温区域的一个现象.通过分析半无穷大矩形结构的热传导方程,可得到该结构的热扩散特性.一个半无穷大矩形结构的热传导方程为

假设在x=-∞处的温度是零度,在x=0处的温度是T0,温度响应会有一个含有误差函数的解析解,其表达式[13]为

该解析解能较好地描述热过程,但由于含有误差函数,而且热响应表达式中的空间和时间变量没有分离,若直接进行电热耦合的PIM分析,计算过程则会很复杂.

热响应特征还可描述为如下多阶的指数型函数[9,14]:

其中,τi是时间常量,τi=RiCi;Ri和Ci是热阻和热容.该高阶热响应表达式,不仅使电热耦合模型复杂,而且在实际应用中,该表达式的热阻、热容值不能简单计算,因此,不适于分析电热耦合的PIM问题.

1.3分数阶热传导模型

分数阶微分的定义主要有3种形式,包括Grunwald-Letnikov定义、Riemann-Liouville定义和Caputo定义,其中,Caputo定义的分数阶微分所描述问题的初始条件与整数阶微分方程的初始条件是一致的,因而能解释相关现象,适合实际工程中的建模计算问题.引入分数阶微分方法,将精确、简洁的对热传导过程建模,简化温度场的计算,为更好地分析电热耦合的PIM问题奠定了基础.

Caputo定义的分数阶微分如下[7]:

其中,C是Caputo分数阶微分算子;a是积分下限;q是导数的阶数;t是时间变量;Γ是gamma函数,为确定积分区域;变量τ→t.

分数阶微分的拉普拉斯变化及其逆变换为

从而构造了分数阶热传导模型,简化了电热耦合PIM问题的分析.

1.4微波负载电热耦合分析

图1所示电阻是常用的一种微波负载,电阻元件上边界是隔离层,下边界与热传导介质相连,热传导介质装配在一个散热器上.当电阻元件被划分为无穷小的单元时,因为热传导介质的尺寸远大于每个电阻单元,所以可将每个电阻单元的热传导过程简单处理为一维的热传导,用一维热传导方程表示.考虑到热扩散的速率,可认为同一时刻每个电阻单元的温度场是一致的,因此,电阻单元间是串联的,每个无穷小单元的热效应可等效为一个集总元件电阻的热效应.利用分数阶微分,将该电阻元件的一维热传导方程推导为分数阶热传导模型.

图1　电阻元件示意图

根据图1所示的热系统,给出如下边界条件:

其中,TH(t)是电阻元件的表面稳态温度,其表达式为

环境温度可直接线性叠加到上面的解.为简化计算,假设外界温度为零度.因为一维热传导方程是基于时间和空间变量建立的,首先通过拉普拉斯变换分离时间和空间变量.

对式(2)进行拉普拉斯变化,可得到

其中,x是空间位置,s是拉式变量.由于边界条件是在位置x=0和x=-∞处的温度为零度,式(11)的解为

由于式(13)中存在s-1/2,因此,可用Caputo定义分数阶微分和分数阶微分的拉式变换进行简化.整理得

即电阻元件表面(x=0)温度的分数阶形式.式(14)的解,即是电阻表面的热响应表达式.

通过拉普拉斯变换分离了空间和时间变量,结合分数阶微分得到电阻表面的热响应方程,而不用求解整个空间的温度场.同时解决了热变化和电磁波时间尺度上不同所带来的计算量膨胀的问题[10],在实际应用中具有重要的意义.通过分数阶微分建立的分数阶热传导方程,简化了热传导的计算,为分数阶电热耦合电路模型和电热耦合PIM表达式的推导奠定了基础.

2　分数阶热传导方程的电路模型及PIM推导

2.1分数阶热传导方程的电路模型

分数阶热传导方程的解通常分为解析解和数值解.由于引入了分数阶微分,使得热传导方程的解析解非常复杂[13],不适合进一步分析微波负载的电热耦合PIM问题.而用数值方法计算,虽然边界元、有限元、有限差分等方法可精确计算出热场,但是计算量很大,影响计算效率.为此,文中根据分数阶热传导方程,以电路为基础,构造描述热传导特性的电路模型,计算简单高效.

热响应表达式与串联的低通滤波器一致.RC电路是基本的低通滤波器,用电路来仿真热响应过程.相对于传统的RC低通滤波电路,根据分数阶热传导方程,分数阶电路模型如图2所示,表示电阻元件的热响应特征.图2中的电容根据微波负载的热容和热阻重新定义为(jωCth)1/2,其中,ω为双载波的频差,Cth的表达式如下:

图2中的激励源Q来自于负载自热消耗的电功率Pdis,外界温度Ta作为一个电压源加载到等效电路模型中.若一个阶跃功率信号作为等效电路的激励源时,该电路的阶跃响应具有与一个实体某位置处温度与时间的曲线相同的“长尾记忆”效应,故该等效电路可以表征热传导特征.

图2　分数阶热传导方程的电路模型

2.2电热耦合PIM表达式推导

根据上面的分数阶热传导方程和热阻效应,可重新定义电热耦合方程,并以此推导出PIM表达式.器件的热阻效应[10]耦合了电场和热场,由于α≫β,故用线性表达式来描述热阻:

其中,R0是热阻在273 K温度下测得的参考电阻,Ta是外界温度,α是一阶热电系数.瞬态温度可定义为

其中,等效热阻是分数阶简化模型的频域等效电阻,表达式为

微波负载产生的热量,可定义为

电压和电流的关系服从欧姆定律,即

考虑到温度是由产生的热量决定的,而产生的热量又是由通过的电流和电阻决定的,可得温度的频域表达式为

频域下的电流、电压、热量、温度和等效热阻在式(17)～(21)中被定义.将这几个表达式代入欧姆定律中,可得到一个递推公式为

因此,得到电热PIM表达式为

其中,R是当前温度下的电阻.

电热耦合的PIM表达式包括了材料和环境温度参数、输入信号频率和功率,已知输入信号参数和微波负载材料的电阻温度系数、热阻和热容,就可计算得到微波负载电热耦合产生的PIM.该表达式可方便简单计算出微波负载电热耦合引起的PIM,为微波负载的材料选择提供了理论依据,以此降低微波负载电热耦合引起的PIM,从而保证整个通信系统低PIM的需求.

3　实例仿真

在微波系统中,微波电阻是很常用的有损实验元件来匹配端口阻抗的.大功率信号通过微波电阻会产生热量,产生的热量会使微波电阻的阻值发生变化,从而产生PIM.分析电热耦合需要知道材料的电阻温度系数、热容和热阻.

当输入信号为20 W双载波时,用输入频率差为1～1000 Hz的载波扫频微波终端,根据上面建立的电热耦合PIM表达式来计算电热非线性引起的PIM.

(1)当Rth和Cth一定,电阻温度系数分别是α1=3.8×10-3/℃和α2=1.6×10-6/℃时,计算三阶PIM,如图3所示.

图3　不同温度系数得到的三阶PIM

(2)当电阻温度系数α和Cth一定,热阻分别是Rth1=30 K·W-1和Rth2=200 K·W-1时,计算三阶PIM,如图4所示.

图4　不同热阻得到的三阶PIM

(3)当电阻温度系数α和Rth一定,热容分别是Cth1=0.022 J·K-1和Cth2=7×10-5J·K-1时,计算三阶PIM,如图5所示.

图5　不同热容得到的三阶PIM

由图3～5可以看出:①随着双载波频率差的增大,PIM会随之下降,双载波频率越接近,电热耦合程度越强,PIM越大;②电阻温度系数对PIM影响很大,电阻温度系数越大,PIM越大;③热阻大小对PIM影响相对较小,对于PIM的影响基本可以忽略;④热容对PIM影响较大,热容越大,PIM越小.综合以上分析可得,设计器件时尽量选择电阻温度系数小的材料,合理增大无源器件的尺寸,增大热容,这样将降低PIM影响.

4　结束语

当输入多载波的频率比较接近时,会有功率信号频率落入材料的热带宽中,产生电热耦合过程,使得微波负载的电阻率随时间变化,呈现非线性的电压-电流关系,导致电热耦合PIM的产生.笔者针对微波负载电热耦合产生PIM问题,利用分数阶微分降阶具有“长尾效应”的热传导方程,结合分数阶热传导电路模型,用等效电路来表征微波负载热传导特征,简化分数阶热传导方程的数值计算,得出以下结论:双载波频率差增大,PIM值下降,双载波频率差越小,PIM越大;电阻温度系数越大,PIM越大;热阻基本不影响PIM值;热容越大,PIM越小.仿真结果证明了分析方法的有效性.

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(编辑:齐淑娟)

简 讯

我校两项成果获2015年度国家科技二等奖.其中,“雷达目标分类技术”,发明了目标分类新方法,解决了目标分类重大技术难题,提升了我国现有装备的信息获取能力.“氮化镓基紫外与深紫外LED关键技术”,提出创新的表面增强脉冲反应生长方法、脉冲超晶格p型掺杂方法和纳米微腔器件结构,解决了材料生长、掺杂和紫外光提取效率等重大难题,获得中国和美国发明专利授权22项,在信息产业、装备制造、国家安全、医疗健康等领域具有广泛应用前景.

摘自《西电科大报》2016.1.22

Passive intermodulation analysis of coupled electro-thermal microwave loads

JIANG Jie1,2,LI Tuanjie2,MEI Yujian2,WANG Hongjun1
(1.Engineering College,Honghe Univ.,Mengzi 661100,China; 2.School of Mechano-electronic Engineering,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China)

Microwave loads are used to improve the matching performance of circuits and absorb the microwave energy.The microwave loads generate the joule heat to affect the electrical resistivity after consuming microwave energy which may produce the passive intermodulation(PIM).Electro-thermal compling leads to the difference of the time scale which produces PIM.In order to address the problem,the fractional heat conduction model of microwave loads is created by the fractional calculus firstly.Then the circuit model of the fractional heat conduction is established.Eventually,the thermal resistance effect is considered.The expression for the PIM power level caused by the coupled electro-thermal microwave loads is derived.The influences of the material’s temperature coefficient of resistance,thermal resistance and thermal capacity to PIM are revealed,which provides the fundamental basis for reducing the PIM from the coupled electro-thermal microwave loads.

microwave load;passive intermodulation;intermodulation distortion;fractional calculus; thermal-electric coupling;thermal resistance

TN972

A

1001-2400(2016)03-0179-06

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.03.031

2015-10-20

国家自然科学基金资助项目(51375360);红河学院科研资助项目(XJ15Y20)

江 洁(1981-),女,讲师,西安电子科技大学博士研究生,E-mail:jiang123456jie@126.com.

王鸿钧(1965-),男,教授,E-mail:wanghj302@163.com.