基于交通流模型的小区开放政策研究

南京邮电大学 殷越铭 包晓洁 黄雅纯

基于交通流模型的小区开放政策研究

南京邮电大学 殷越铭 包晓洁 黄雅纯

本文首先根据基本交通流模型定义车流量、车流密度、车速函数，探讨交通流基本规则得到平均流量以及平均车速与平均车流密度的关系；利用车流守恒方程推导车流密度基于道路位置、时间的一阶拟线性偏微分方程，然后对其求解得到特征线并给出车流密度函数及其图像，建立基于路段车辆通行的连续交通流模型，在此基础上推广得到基于交叉路口通行规则的间断交通流模型；最后选取高要广塘小区某一路段代入模型求解，并对连续交通流模型进行灵敏度分析。

微分方程 连续交通流 间断交通流模型

1 研究背景

随着我国经济的快速发展，城市规模的不断壮大，人口和汽车数量也日益增多，而城市空间和道路资源有限，致使城市交通问题日益突出。从2016年初国务院提出关于街区制小区和单位大院开放的意见以来，城市规划和交通管理部门就小区开放对周边道路通行的影响进行了研究。

2 问题分析

考虑到反映车辆通行状况的指标众多，我们选取其中的车流量作为研究对象，使用模拟近似法建立计算道路各点交通流的微分方程模型。通过查阅相关文献[1]，我们从高速公路上的基本交通流出发，引入车流量、车流密度、车速关于时间的三个函数来描述车流，并逐步得到连续交通流状态下以及间断交通流状态下的车流量微分方程，用以研究小区开放对周边道路车辆通行的影响。

3 交通流模型的建立

3.1 理想状态下的模型准备

我们首先考虑理想状态下高速公路上的交通流状况，此处假设理想状态为所有车辆沿同一方向的一条无穷长的单车道行驶，沿途没有岔路口以及其他出入口，且在单车道内不允许超车。

在直角坐标系中，以 轴表示公路，轴正向为车辆运行方向，针对每一时刻以及道路每一点 ，引入以下三个函数来描述车流状况。

(1)车流量q关于时间K(x,t)t、道路点的函数q(x,t)，表示时刻单位时间内通过点x的车辆数。

(2)车流密度函数，表示t时刻点x处单位长度内通过的车辆数。

(3)车速函数V(x,t)，表示t时刻通过点 的车流速度。

易知以上三个函数之间存在密切关系，也就是单位时间内通过点 处的车辆数等于车流速度与单位长度内车辆数的乘积。即

为了便于观察研究公路交通流的规律，我们作出如下假设：

(1)假设车速仅和车流密度有关，即V=V(K)，且随着车流密度的增加，车速减慢，从而有V'(P)=dv/dp≤0。

(2)假设当道路上车辆很少时，行车可以最大速度行驶，即存在临界车流密度pc，使得。

(3)假设当交通拥挤甚至发生堵塞时的车流密度为pmax，此时汽车几乎停止不动，有可能发生碰撞。即V(pmax)=0，且，l是汽车的平均长度。

图1 车流量关于车流密度的函数图像

3.2 基于非路口路段处连续交通流模型的建立

3.2.1 基本模型建立

为了描述交通流关于时间的动态情况，进一步研究q、p、v之间的关系，我们假设车流量函数q(x,t)、车流密度函数p(x,t)、车速函数v(x,t)关于x、t是连续可微的，可通过建立微分方程来描述交通流状况。

考虑任意时刻，单位时间内通过道路点a、b的车流量分别为q(a,t)和q(b,t)，即在x轴上任意区间[a,b]内通过的车辆数为，其单位时间内变化率为：

假设公路没有岔路口，故单位时间内任意区间[a,b]通过的车辆数守恒，于是我们建立如下的车辆守恒方程：

根据q(x,t)和p(x,t)的解析关系，我们对公式(6)进行如下变换：

假设f(x)为初始车流密度，于是根据公式(8)，可以将连续交通流方程化为：

上述方程描述了任意时刻公路上各处的车流分布状况，可根据车流量关于车流密度的函数得知任意时刻的车流量。

3.2.2 模型的进一步分析与完善

设道路点x是关于时刻t的函数x(t)，利用求解拟线性偏微分方程的相关方法求得公式(4)在t=0时的解如下：

公式(6)有明显的几何意义，其中第二个表达式在x-t坐标系中表示一簇直线，斜率，与x轴的交点为x0。若函数给定，则k随x0的变化而变化，这一簇直线称为方程(4)的特征线。而公式(6)中的第一个表达式表明在给定特征线下，车流密度为常数。

从公式5、公式6的形式上来看，只要q(p)和f(x)已知，公式(5)的解即为公式(6)。但若对公式(6)的特征线进行分析，发现只有当车流密度函数f(x)为减函数时，才能使得以上结论成立。因为当f(x)为减函数时，沿车辆行驶方向的车流密度不断减小，车辆可以加速行驶，即此时的交通流是连续的。而当f(x)为增函数时，则会发生交通堵塞，车辆行驶速度则为出现由快变慢的突变过程，从而导致车流密度函数p(x,t)和车流量函数q(x,t)出现间断的情况，因此公式(5)就不适用于反映此时的交通流状况，需要寻找其他方法进行描述。

3.3 基于交叉路口间断交通流模型的建立

由2.1可知，当f(x)为减函数时，车流密度函数p(x,t)和车流量函数q(x,t)会出现间断的情况。假定在任意时刻t，车流密度在x轴区间[a,b]上的间断点x=xd(t)(a

则车流密度p和车流量q在间断点xd处的跳跃值记为：

4 交通流微分方程的求解

为进一步分析上述模型，我们选取连续交通流状态作为研究对象。

(2)根据公式4可知，对q(p)函数进行求导，得到

式中，x0为初始点，l为路段长度。

(4)将公式9、10代入公式5中的x(t)函数，得到：

图2 不同x-t取值下的特征线图

通过观察图2，发现不同初始点取值下的特征线不相重合，且车流密度也不同，具体的初始点取值及其对应车流密度如表1所示。

表1 不同初始点取值及其对应车流密度

图3 车流密度关于车辆位置、时间的主视图

图4 车流密度关于车辆位置、时间的斜视图

通过观察图3和图4，我们发现车流密度以及车流量关于观测点与路段起点距离、时间的三维立体图都是由众多线段构成，这些线段投影到x-t平面上即为各条特征线。且在同一特征线上的车流密度以及车流量相同，也就是说这些线段皆是与x-t平面平行的线段。

5 灵敏度分析

我们采用灵敏度分析检验模型的稳定性，即通过改变部分参数的值，研究对道路车流量的影响。

(2)改变路段长度，分别取0.8km、0.9km、1.0km，得到其他参数不变只有l改变情况下的车流量变化图，如图6所示。

图5 Vmax改变对车流量影响的灵敏度分析

图6 l改变对车流量影响的灵敏度分析

6 结果分析

通过代入参数计算理论车流量，与肇庆高要广塘小区附近路段车流量实际统计数据进行对比，发现相对误差均在以下，充分说明了所建模型的准确性与合理性。本模型可应用于任意实际小区抽象简化出的二维道路交通流模型，通过开放前后对进出小区的干道交通影响的比较，能够较为准确地反映该小区是否适合开放。

[1] 施晓青.微分方程模型在交通领域的应用[J].交通科技,2006 (6).

[2] 郭跃华,陆志峰,王建宏.城市交叉路口汽车通行模型[J].科学与工程,2010(20).

F069

A

2096-0298(2016)10(c)-150-03