基于Coons曲面的似大地水准面精化算法研究

李 峰 张树宏 王鸿飞 全 伟

1 信息工程大学地理空间信息学院, 郑州市科学大道62号，450001 2 解放军61243部队，乌鲁木齐，830006



基于Coons曲面的似大地水准面精化算法研究

李 峰1张树宏2王鸿飞1全 伟1

1 信息工程大学地理空间信息学院, 郑州市科学大道62号，450001 2 解放军61243部队，乌鲁木齐，830006

针对线状或带状GPS水准点控制的似大地水准面，提出Coons曲面内插模型。先将GPS水准点拟合成曲线，再通过曲线构造曲面，尽可能减少传统拟合算法由点直接推面的精度消耗。分别运用最小二乘法、最小二乘配置法、移动内插法和Coons曲面法对线状GPS水准点控制的似大地水准面进行拟合，结果表明，基于Coons曲面的内插模型算法精度最高。

线状；GPS水准；似大地水准面；Coons曲面

传统的拟合方法如最小二乘法、最小二乘配置法、移动插值法大多假设理想的实验环境——分布均匀的GPS水准点拟合似大地水准面[1-2]。最小二乘法对整个区域的似大地水准面进行拟合，拟合的是趋势面；最小二乘配置法的关键在于信号间的协方差确定，但严格意义上讲，协方差阵通过实验数据统计得来，因此最小二乘配置法得到高精度结果的制约条件是在有限数据里确定较为准确的协方差阵[3-5]；移动插值法改进了最小二乘法拟合整个区域水准面的劣势，让拟合区域随待插值点的改变而移动，因此在相对较小的拟合区域里似大地水准面波动相对较小，同时移动插值法强化离待插值点近的点的作用，弱化远距离点的作用，是一种具有较高精度且非常稳定的方法[6]，但其拟合半径和定权函数也需要大量的实验数据统计得到。在地理环境因素对测量工作影响较大的区域，只能得到分布为线状或者带状的GPS水准点，以上各种拟合算法的精度难以保证。本文根据GPS水准点呈现的状况，提出利用Coons曲面内插模型，在格网化后的格网单元内根据格网单元与相邻单元的空间强关联性，先把格网边界上线状GPS水准点拟合成曲线，然后以曲线边界构建高程异常曲面模型[7]，待求点的高程异常通过内插得到。相对于由点推面的方法，该方法精度得到进一步提高。最后，根据特殊的地理地貌进行GPS水准点数据采集，然后分别运用最小二乘法、最小二乘配置法、移动插值法和Coons曲面内插模型对该数据进行处理，结果证实，Coons曲面内插模型精度高于其他各种算法。

1 Coons曲面模型

如图1，设有4条边界曲线fx1、fx2、fy1、fy2，其中曲线fx1、fx2和曲线fy1、fy2在水平面上的投影分别与x轴和y轴平行。为了构造一个连续的封闭曲面使其通过上述所有曲线，需要考虑插值算子，则沿着x轴方向的插值为：

(1)

同理，沿着y轴方向的插值为：

(2)

图1 基于3点的Coons曲面模型Fig.1 Coons surface model in is based on three points

曲线由拉格朗日多项式[8]求得：

(3)

插值算子Px、Py的布尔和为(Px⊕Py)f(x,y)=Pxf(x,y)+Pyf(x,y)-PxPyf(x,y)，其中PxPyf(x,y)为Pxf(x,y)、Pyf(x,y)的张量积[9]。

插值算子Px、Py的张量积和布尔和分别为：

Pyf(x,y)-PxPyf(x,y)=

由布尔和求得的点构成了Coons曲面。Coons曲面可以基于不同的边界曲线，本文根据具体的实验数据主要研究两种边界曲线构成的Coons曲面内插模型[10]。

1.1 基于3点的Coons曲面

假设曲线fx1、fx2分别过投影点E、A、B和C、D、U，曲线fy1、fy2是分别过投影点E、U和B、C的两条直线。点E、A、B、C、D、U对应的高程异常值分别为HE、HA、HB、HC、HD、HU，可知fx1(0)=HA，fx1(-d1)=HE，fx1(d1)=HB，fx2(0)=HD，fx2(-d2)=HU，fx2(d2)=HC。

曲线fx1可以由拉格朗日多项式求得：

(6)

同理可得fx2、fy1、fy2方程。根据布尔和可求得Coons曲面上任意一点P的高程异常值：

(7)

1.2 基于加权抛物线的Coons曲面

基于3点的Coons曲面的边界曲线大多为拉格朗日多项式拟合的抛物线，而基于加权抛物线的Coons曲面(图2)采用基于4点的Coons曲面的边界曲线，其中相邻3点组成抛物曲线，然后采用两者的平均加权抛物线作为边界曲线：

(8)

同理可以得到fx2、fy1、fy2的方程，然后利用边界为加权抛物线曲线，构造Coons高程异常曲面模型。

图2 加权抛物线曲线Fig.2 Weighted parabolic curve

2 实验分析

本实验区域位于我国西部某省的部分地区。该区域地势较为平坦，大部分为沙漠和戈壁滩，总面积约为594 km2，其高程异常值最大相差7.759 m。GPS水准数据通过GPS静态测量和EDM三等水准测量获取。测量沿3条线路进行，由于中间线路测量条件限制，只得到GPS数据和个别点的EDM高程数据；测区两侧的GPS数据和水准数据可以较为理想地获得。为得到中间线路未测点的EDM数据，分别通过成熟的拟合算法和Coons曲面进行内插或外推。为了检核这些算法的可靠性，在中间线路选取12个点作为检核点，测区内其余35个点作为拟合点，见图3。

图3 GPS水准点点位分布图Fig.3 GPS leveling points distribution

表1 检核点结果比较

从表 1可以看出，Coons-2精度最高，Coons-1精度次之，移动插值法和最小二乘配置法精度依次递减，最小二乘法精度最差。

通过以上实验说明，最小二乘法拟合的是整个拟合区域的趋势面，而最小二乘配置法考虑到了随机变量中的趋势性因素，拟合精度得到进一步提高；移动插值法把最小二乘整体拟合改为分区域拟合，同时强化离待插值点近的点的作用，弱化远距离点的作用，因此也具有较高的精度；基于3点的Coons曲面和基于加权抛物线的Coons曲面法在数据格网化后先把GPS水准点拟合成线，再由线构造面，减少了传统拟合方法由点推面的精度损耗。

3 结 语

在山区和丘陵地区，由于似大地水准面变化与地球内部质量分布密切相关，特别是短波项的影响更为复杂，为获取高精度似大地水准面，重力测量不可避免，但在地势较为平坦的地区，基于GPS水准高程拟合算法则是区域似大地水准面精化的重要方法。本文研究了基于Coons曲面的线状或带状区域似大地水准面拟合算法，结合实验进一步说明了Coons曲面内插模型在地势起伏平缓的区域对似大地水准面精化具有一定的补充和参考价值。

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About the first author:LI Feng, postgraduate,majors in GNSS data processing and quasi-geoid refinement, E-mail：1163467113@qq.com.

LIFeng1ZHANGShuhong2WANGHongfei1QUANWei1

1 School of Surveying and Mapping, Information Engineering University, 62 Kexue Road, Zhengzhou 450001, China 2 61243 Troops, Urumqi 830006, China

Aimed at solving the problem of quasi-geoid controlled by linear or strip of GPS-leveling points, Coons surface interpolation model is put forward. The first step is to synthesize GPS-leveling points fitting curve, and then the curve is used to construct the surface, as far as possible to reduce the traditional fitting method by point directly on the accuracy of consumption. Respectively, using the least squares method, least square collocation method, moving interpolation and Coons surface method to fit quasi-geoid controlled by linear or strip of GPS-leveling points, the result showed that the interpolation model based on Coons surface algorithm accuracy is the highest.

linear; GPS leveling; quasi-geoid; Coons surface

National High Technology Research and Development Program of China, No. 2013AA122502.

2016-01-09

项目来源：国家863计划 (2013AA122502)。

李峰，硕士生，主要研究方向为GNSS数据处理与似大地水准面精化，E-mail：1163467113@qq.com。

10.14075/j.jgg.2016.12.017

1671-5942(2016)012-1109-03

P228；P223

A