n维单形的体积比

英起志

（江苏商贸职业学院，江苏 南通 226011）

n维单形的体积比

英起志

（江苏商贸职业学院，江苏 南通 226011）

给出了单形体积比的计算公式，得出了其渐进性质，计算了部分单形的体积比。

n维；单形；John椭球；体积比

单形是凸体几何中最基本和最重要的凸体之一，n维空间中的单形是n+1个仿射无关点的凸包，它是2维欧式空间的三角形、3维欧式空间的四面体向任意维空间的推广。n维空间中，由向量v0，v1，…，vn确定的n维单形的体积为：

凸体的体积比是凸体的重要特征之一，Rn中凸体K的体积比vr（K）定义为：

其中ε是包含于K的椭球，Vn（K）和vn（ε）分别表示K和ε的体积。

1948年，Fritz John证明了对于Rn中的任意凸体都包含体积最大的椭球[1]，这就是著名的John椭球定理，其中的椭球被称为John椭球或Löwner-John椭球。John椭球定理解决了凸体内最大体积椭球的存在性问题，定理的结论和方法被广泛运用，成为凸体几何中一系列重要研究的基石。1997年，R Howard在文献[2]中证明了凸体的John椭球是唯一的，解决了John椭球的唯一性问题。如果一个凸体的John椭球是欧氏单位球，则称该凸体处于“John位置”，任何凸体都可以在仿射变换的作用下使之处于John位置。R Howard在文献[2]中还证明了对于任意凸体K，存在椭球E（John椭球），使得：

体积比就是在John椭球的基础上定义的，它对于解决逆等周不等式问题起到了重要作用。Rn中凸体K的体积比定义为：

其中εK为凸体K的John椭球.由定义可知，n维椭球的体积比最小，为1，其余凸体的体积比均大于1。凸体体积比的重要性质是仿射不变性。

下证当n增加时，vr（Tn）严格单调递增，即对任意正整数n，vr（Tn+1）＞vr（Tn）。

一个正值函数f（x）如果在区间I上满足

当x＞0时，(lnh(x))'＞0，h(x)＞0，因此h'(x)=h(x)(lnh(x))'＞0，则函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，从而关于n严格单调递增。

综合以上结论，可知vr（Tn）关于n严格单调递增。

部分n维正方体的体积比的值见表1。

表1 部分单形的体积比（保留3位小数）

[1]John F.Extremum problems with inequalities assubsidiary conditions[M].Courant Anniversary Volume.New York:Interscience,1948：187-204.

[2]R Howard.The John ellipsoid theorem[D].University of South Carolina,1997.

[3]Keith Ball.Volume ratios and a reverse isoperimetric inequality[J].Journal of the London Mathematical Society,1991, 4：351-359.

[4]张素玲,陈超平，等.关于伽玛函数的单调性质（英文）[J].大学数学，2006（4）：50-55.

[5]Keith Ball.Volumes of sections of cubes and related problem[J].Geometric AspectsofFunctionalAnalysis,1989,1376：251-260.

[6]Keith Ball.Ellipsoids of maximal volume in convex bodies [J].Geometriae Dedicata,1992，41（2）：241-250.

A calculation formula of simplex volume ratio was given,so that we can calculate its asymptotic property and some values of volume ratios.

dimension;simplex;John ellipsoid;volume ratio

O186.5

A

2096-000X（2016）23-0263-02

英起志（1983-），男，江苏连云港人，江苏商贸职业学院，数学教研室主任，讲师，硕士，研究方向为高职数学教学。