分裂四元数矩阵方程-XB=C的解*

赵琨,张兆忠，王茂香

(1.山东师范大学 数学科学学院，山东济南 250014；2.临沂大学 理学院，山东临沂 276005；3.曲阜师范大学 管理学院，山东日照 276826)



赵琨1,2,张兆忠2，王茂香3

(1.山东师范大学 数学科学学院，山东济南 250014；2.临沂大学 理学院，山东临沂 276005；3.曲阜师范大学 管理学院，山东日照 276826)

分裂四元数；矩阵方程；解析解；实表示

引言

对于复矩阵方程

AX-XB=C,

(1)

其中A∈Cm×m, B∈Cn×n, C∈Cm×n.

引理1[1,5]令A∈Cm×m,B∈Cn×n以及C∈Cm×n.

2)矩阵方程(1)有唯一解当且仅当fA(λ)和fB(λ)互素, 即fA(B)非奇异.

引理 2[5]令A∈Cm×m,B∈Cn×n以及C∈Cm×n.

2)如果X是(1)的唯一解, 那么

(2)

1 分裂四元数矩阵的实表示

(3)

命题1

(4)

(5)

(6)

由此可得以下结果.

证明 由命题2, (6)中特征多项式的系数a2k-1(k=1,…,2m)为零, 所以1)成立. 由命题1, 可得

2 分裂四元数矩阵方程

本节使用实表示方法讨论分裂四元数矩阵方程

(7)

AσY-YBσ=Cσ.

(8)

由命题1, 方程(7)等价于AσXσPn-XσPnBσ=Cσ. 所以方程(7)有解X当且仅当方程(8)有实矩阵解Y=XσPn. 如果实矩阵

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

其中，

由(13)构造如下分裂四元数矩阵

(14)

(15)

是方程(7)的一个解.

1)如果分裂四元数矩阵方程(7)有一个解X, 那么

(16)

2)如果分裂四元数矩阵方程(7)有一个解X, 并且fAσ(λ)与fBσ(λ)互素, 那么方程(7)有唯一解

(17)

证明 1)如果方程(7)有一个解X, 那么方程(8)有一个解Y=XσPn. 由引理2和命题3, 可得

再由命题1与命题3, 可得

(18)

故1)成立.

(19)

由(3)可知

(20)

(21)

由命题1, 原方程等价于AσY-YBσ=Cσ. 解此实矩阵方程, 可以得到解

(22)

注 定理2给出了相似于Roth定理形式的分裂四元数矩阵方程(7)解的存在性定理, 而定理1给出在实矩阵方程(8)的解已知的情况下, 求分裂四元数矩阵方程(7)解的代数方法. 如果方程(7)有一个解X并且fAσ(λ)与fBσ(λ)互素, 那么定理3通过借助实矩阵方程的特征多项式给出了方程(7)的解析解.

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ZHAO Kun1,2, ZHANG Zhao-zhong2, WANG Mao-xiang3

(1.School of Mathematical Sciences, Shandong Normal University, Jinan Shandong 250014, China;2. Department of Mathematics, Linyi University, Linyi Shandong 276005, China;3. Department of Management, Qufu Normal University, Rizhao Shandong 276826, China)

split quaternion; matrix equation; closed-form solution; real representation

1673-2103(2016)05-0018-06

2016-10-01

国家自然科学基金(NSFC) 11301252;山东省自然科学基金(BS2015DX012)

赵琨(1992-)，女，山东淄博人，在读硕士研究生，研究方向：物理学中的数学方法.

O151.2

A