超可解群的一些新判别准则*

张 丽

(中国科技大学数学学院，安徽合肥 230026)



超可解群的一些新判别准则*

张 丽

(中国科技大学数学学院，安徽合肥 230026)

结合有限群G的所有-极大子群的交集Int(G)，定义了*-拟正规子群.有限群G的一个子群H称为*-拟正规的，如果存在G的一个拟正规子群T，使得HT在G中是S-拟正规的，且(H∩T)HG/HG≤Φ(H/HG)Int(G/HG).利用*-拟正规子群研究有限群的结构，得到了超可解群的一些新判别准则.

有限群；*-极大子群；*-拟正规子群；超可解群

引言

本文所提到的群均为有限群.G表示一个群，π(G)是|G|的所有素因子构成的集合，且是所有超可解群组成的群类.文中未提到的符号和术语可参看文献[2, 3, 5].

群G的一个子群H称为拟正规的(特别地，S-拟正规的)，如果H与G的任一子群P(特别地，Sylow-子群)置换，即HP=PH.另外，子群X称为在G中是-极大的(见[2, Chapter III, Definition 3.1])，如果满足

(1)X∈，

(2)若X≤V≤G且V∈，则X=V.

(1)若A≤G，且A∈，则AN∈；

(2)若T≤G，且T/N∈，则T∈.

定义1 令H是群G的一个子群，称H在G中是*-拟正规的，如果存在G的一个拟正规子群T，使得HT在G中是S-拟正规的，且

文献[9]中定义了SΦ-嵌入子群：G的子群H称为SΦ-嵌入的，如果存在G的一个正规子群T，使得HT在G中是S-拟正规的，且

(H∩T)HG/HG≤Φ(H/HG).

例：令p和q是满足q|(p-1)的素数. 令A=QCp， 其中Cp是一个p阶群，而Q是一个被Cp忠实作用的单FqCp-模.设G=PA，其中P是一个被A忠实作用的单FpA-模. 由[3, Chapter 1, Example 6.2]知，Int(G)=P，且Intp(G)=1.注意到Z). 则Z(G)=1，且|P|>p.设H是P的一个极大子群，取G的子群P，可知H是*-拟正规的.然而H既不是s-嵌入的，也不是SΦ-嵌入的. 如若不然，存在G的一个正规子群T，使得HT在G中是S-拟正规的，且H∩T=1. 但这是不可能的，因为G的任一非平凡正规子群包含P，进而包含H.

文章的主要结果如下：

定理1 设E是G的一个正规子群，且满足G/E是超可解的.对每个素因子p∈π(E)和E的每个非循环Sylowp-子群P，假设P的所有极大子群或者所有阶为p或4(若P是一个非交换2-群)的循环子群在G中是*-拟正规的. 则G是超可解的.

1 预备知识

引理1.1[3]令H和E是G的子群，且N正规于G.

(1) 如果H在G中是拟正规的，那么

HG/HG≤Z∞(G/HG).

(2) 如果H在G中是拟正规的(S-拟正规)，那么H∩E在E中是拟正规的(S-拟正规)，且HN/N在G/N中是拟正规的(S-拟正规).

(3) 设H是一个p-群. 则H在G中是拟正规的，当且仅当Op(G)≤NG(H).

(4)G的S-拟正规子群在G中是次正规的，且G的所有S-拟正规子群组成一个格.

引理1.2[8]令H和E是G的子群，且N正规于G.

证明： 设T是G的一个拟正规子群，使得HT在G中是S-拟正规的，且

由引理1.1(2)知，T∩K和H(T∩K)=HT∩K分别是K的拟正规子群和S-拟正规子群. 且由引理1.2(1)知，

(H∩T∩K)HG/HG≤

因为HG≤HK，所以根据引理1.2(1)和[2,ChapterA,Theorem9.2]得

由引理1.1(2)知，TN/N和HN/H·TN/N=HTN/N分别是G/N的拟正规子群和S-拟正规子群.

若N≤H，则H∩TN=(H∩T)N.

设(|N|, |H|)=1. 于是

(|HN∩T: H∩T|, |HN∩T: N∩T|)=

(|N∩HT|, |H∩NT|)=1，

所以由[2,ChapterA,Lemma1.6]知：

HN∩T=(H∩T)(N∩T)，

进而HN∩TN=(H∩T)N. 注意到

(H∩T)(HN)G/(HN)G≌

((H∩T)HG/HG)·((HN)G/HG)/((HN)G/HG).

从而根据引理1.2(1)和[2,ChapterA,Theorem9.2]知：

(H∩T)(HN)G/(HN)G≤

引理1.5[5]设P是G的一个Sylowp-子群，且N正规于G，若P∩N≤Φ(P)，则N是p-幂零的.

2 定理1的证明

为证明定理1，首先证明以下两个性质.

性质1 设P是G的一个Sylowp-子群，其中p∈π(G)，且满足(|G|, p-1)=1.

假设：(a)P的所有极大子群在G中是*-拟正规的，或者(b)P的所有阶为p或4(若P是一个非交换2-群)的循环子群在G中是*-拟正规的.则G是p-幂零的.

证明: 假设结论不成立，且G是一个极小阶反例. 易知|P|>p.

(a)的证明：

(a1)令N是G的一个极小正规子群. 则G/N是p-幂零的，从而N是G的唯一极小正规子群，且Op'(G)=1.

基于无人船的水文监测应用技术，主要包括无人船自主航线规划及精准控制、多传感器集成与信息融合以及远程通信与实时多模控制。笔者在无人船上搭载了水质监测终端设计，经过NB-IoT 基站、无线网络与水质监测站构建成智能化河涌水域治理系统。该系统提高数据采集精度与传播准确度，实现了水域治理智能化。本文所研究的智能化河涌水域治理系统，由智能水质数据监测终端、水质监测中心和NB-IoT 物联网通信平台组成，如图1。无人船端集成所需要采集数据类型的智能传感器。监测中心基于云计算平台的服务器，进行数据收发、数据挖掘与分析等服务。监测云计算平台，通过物联网无线路由器与网关与无人船终端进行数据收发[1]。

令P1/N是PN/N的一个极大子群. 记P0=P1∩P，则P0是P的一个极大子群. 由假设知，存在G的一个拟正规子群T，使得P0T在G中是S-拟正规的，且

(P0∩T)(P0)G/(P0)G≤

由引理1.1(2)知TN/N和P0TN/N分别是G/N的拟正规子群和S-拟正规子群. 因为P0∩N是N的一个Sylowp-子群，且

|P0T∩N: T∩N|=|P0T∩N: P0∩T|

是p的方幂，所以P0T∩N=(T∩N)(P0∩N)，进而P1∩TN=(P0∩T)N (见[2,ChapterA,Lemma1.2]).

类似于引理1.3可证P1/N是*-拟正规的. 这说明G/N满足假设条件. 故由G的选取知G/N是p-幂零的. 从而(a1)成立.

假设N≤Op(G). 因为(a1)表明Φ(G)=1，所以存在G的一个极大子群M.满足G=NM. 则P=N(P∩M).令P1是P的一个包含P∩M的极大子群. 显然(P1)G=1. 由假设知，存在G的一个拟正规子群T，使得P1T在G中是S-拟正规的，且P1∩T≤Φ(P1). 其中T满足1

综上，总有N≤Z(G). 结合(a1)知，G是p-幂零的，矛盾. 则(a2)是成立的.

(a3) 最后矛盾.

设P1是P的任一极大子群. 由上知，存在G的一个拟正规子群T使得P1T在G中是S-拟正规的，且P1∩T≤Φ(P1). 类似于(a2)知，1

假设P1= P1T∩P，即P∩T≤P1， 则

P∩N≤P1∩T≤Φ(P1)≤Φ(P).

由引理1.5知N是p-幂零的, 这与(a1)和(a2)矛盾. 因此P≤P1T. 由引理1.3知，P1T满足假设条件.

若P1T

上述说明对P的任一极大子群P1，存在G的一个拟正规子群T，使得G=P1T且P1∩T≤Φ(P1).因为G=POp(G)，1

设K是G的一个拟正规子群，满足G=P*K且P*∩K≤Φ(P*).注意到Op(G)≤K. 于是，

P∩Op(G)≤P*∩K≤Φ(P*)≤Φ(P).

而引理1.5说明Op(G)是p-幂零的，这与(a1)和(a2)矛盾. 结论至此得到证明.

(b)的证明：

(b1)G=PQ，其中P=G且Q是G的一个循环Sylowq-子群，这里q≠p；

(b2) P/Φ(P)是一个非循环的G-主因子；

(b3) P的方次数是p或4 (当P是一个非交换2-群).

令x∈PΦ(P). 由(b3)知L= 是一个p阶或4阶循环子群，且LG≤Φ(P). 如若不然，(b2)表明P=LGΦ(P)，即P=L是循环的, 这又与(b2)矛盾. 由假设知, 存在G的一个拟正规子群T，使得LT在G中是S-拟正规的，且

根据引理1.1(4)知，(P∩T)Φ(P)/Φ(P)在G/Φ(P)中是S-拟正规的. 则由引理1.1(3)知，(P∩T)Φ(P)/Φ(P)正规于G/Φ(P)，且(b2)表明(P∩T)Φ(P)=Φ(P)或P.

首先设P∩Φ(P)≤Φ(P). 则

LΦ(P)/Φ(P)=P/Φ(P)∩LTΦ(P)/Φ(P)，

在G/Φ(P)中是S-拟正规的. 故由(b2)和引理1.1(3)知LΦ(P)/Φ(P)正规于G/Φ(P). 此时P=LΦ(P)=L，矛盾.

其次，设(P∩T)Φ(P)=P，即P≤T. 则

(b)由此得证.

性质2 设P是G的一个正规p-子群.

假设(a)P的所有极大子群在G中是*-拟正规的，或者(b)P的所有阶为p或4(若P是一个非交换2-群)的循环子群在G中是*-拟正规的. 那么P≤Int(G).

证明：假设结论不成立.且(G, P)是使得|G|+|P|最小的反例. 显然，|P|>p，且G不是超可解的.通过下列步骤给出证明.

先证明G/P是超可解的.

(a)的证明.

(α) P≤T；

(β) P∩TG=1；

(γ) P∩TG=1且P≤TG.

若(β)成立，则P∩T=1且P1=P∩P1T在G中是S-拟正规的. 而P1的选取和引理1.1(3)表明P1正规于G，矛盾.

(b)的证明.

取x∈PΦ(P)使得H=正规G的某个Sylowp-子群. 由(iii)知H是一个p阶或4阶循环子群.易知HG≤Φ(P). 由假设知，存在G的一个拟正规子群T，使得HT在G中是S-拟正规的，且

考虑到(ii)，证明可分成三种情形，分别是：

(α) P≤T；

(β) P∩TG≤Φ(P)；

(γ) P≤TG且P∩TG≤Φ(P).

若(β)成立，则由引理1.1(4)知，HΦ(P)/Φ(P)=PΦ(P)∩HTΦ(P)/Φ(P)，在G/Φ(P)中是S-拟正规的. 又由引理1.1(3)和H的选取知，HΦ(P)/Φ(P)正规于G/Φ(P). 于是P/Φ(P)=HΦ(P)/Φ(P)是循环的，矛盾.

现设(γ)成立. 则由引理1.1(1)知

PTG/TG≤Z∞(G/TG)，

PTG/Φ(P)TG≤Z∞(G/Φ(P)TG).

注意到PTG/Φ(P)TG≌P/Φ(P). 故P/Φ(P)≤Z∞(G/Φ(P)). 这表明G/Φ(P)是超可解的. 同时G也是超可解的，矛盾.

结论至此得到证明.

定理1的证明：

[1]X.Chen,W.Guo,A.N.Skiba,Ongeneralized-hypercentralsubgroupsofafinitegroup[J],J.Algebra, 2015, 442: 190-201.

[2]K. Doerk, T. Hawkes, Finite Soluble Groups [M], Walter de Gruyter, Berlin-New York, 1992.

[3]W. Guo, Structure Theory for Canonical Classes of Finite Groups [M], Springer, 2015.

[5]B. Huppert, Endliche Gruppen I [M], Springer-Verlag, Berlin-New York, 1967.

[9]L. Zhang, W. Guo, L. Huo, On SΦ-embedded subgroups of finite groups [J]. Труды Института математики и механики УрО РАН, 2016, 22(1): 310-318.

Some criteria for supersolvability of finte groups

ZHANG Li

(School of Mathematics, University of Science and Technology of China, Hefei Anhui 230026, China)

LetGbe a finite group. This paper defines the*-quansinormal subgroups ofGby Int(G), which is the intersection of all*-maximal subgroups ofG. A subgroupHofGis called*-quasinormal inGif there exists a quasinormal subgroupTofGsuch thatHTisS-quasinormal inGand (H∩T)HG/HG≤Φ(H/HG)Int(G/HG).Here we study the structure of finite groups by using*-quansinormal subgroups and obtain some new criteria for supersolvability of finite groups.

finite groups；*-maximal subgroup；*-quansinormal subgroup； supersolvability

1673-2103(2016)05-0006-05

2016-06-20

张丽(1991-)，女，安徽阜阳人，在读博士，研究方向:有限群论.

O152

A