试析一类排列组合题型的常见解法与错解

左峰辉（北京电子科技职业学院，北京　100176）

试析一类排列组合题型的常见解法与错解

左峰辉
（北京电子科技职业学院，北京100176）

本文分为典型例题分析和归纳结语两部分，通过利用计数原理对于典型解法的分析，理清对于m个元素任意放入n个位置类型题的常见错误并归纳基本解法，指出其中的解题要点和注意条件。并对教学提出建议。

一类排列组合问题；计数原理；错解分析；典型解法

排列组合中对于m个元素任意放入n个位置类型题题的解法看似简单，实际在应用中也有许多需要注意的地方。正确的解决此类题目，对于理解排列组合的基本原理，基本方法；理清错解的原因，及对正确地解题有积极的意义。

一、典型例题分析

例1，现有3封不同的信投入4个不同的邮筒，问有多少种不同的投法？

解法1，从邮筒入手，因为每个邮筒都可以投3封信，又考虑4个邮筒都可以投入3封信，4个邮筒相当于可以分4步完成投信，根据分

评步注计：数分原析理，解共1中有的 3解4种法投。法每。个邮筒可以投入3封信，也可以投入1封、2封或0封信，故每个邮筒有4种投法。解法1没有搞清楚每一步中要考虑的是完成该步共有多少种方法，故解法1是错误的。

解法2，既然每个邮筒可以投入3封信，也可以投入1封、2封或0封信，故每个邮筒有4种投法。考虑共有4共邮筒，既分4步完成投信。故共有 44种投法。

评注：分析解2中的解法。每个邮筒可以投入3封信，也可以投入1封、2封或0封信，故每个邮筒有4种投法。这种说法应该说是没有问题的，但这里投入2封信只是一类投法，实际上它包含共3种方法，投入1封信也是一类投法，实际上它包含共3种方法。每个邮筒共有共8种投法。故解法2也是错解。

解法3，既然每个邮筒共有8种投法。考虑共有4共邮筒，既分4步完评成投注信：。分故析共解有3中 84的种解投法法。。虽然每个邮筒共有8种投法是不错的，但对应每种在第一个邮筒的投法，第二个邮筒的投法却是不同的。例如，当第一个邮筒投入2封信时，第二个邮筒可能投入1封信，也可以是0封信。这时第二个邮筒不能再投入3封信了。既当第一个邮筒不同的投入方法时，第二个邮筒的投法要分别讨论。故解法3也是错解。

而如果还是按此思路直接按分步原理解题，则在第一步，既在考虑第一个邮筒的投法种数时就必须分类，并针对第一步的每一种投法在第二步种再进行分类。如此需要分类解决。为简便起见，将可能的分类的情况分类来讨论如下。

解法4 按照4个邮筒分别投入的信件数可以分为：3、0、0、0；2、1、0、0；1、1、1、0等几类方法。对应的投法总数为：=64种。

由此我们得到从邮筒入手需用分类讨论，注意避免重复与遗漏。

同时，我们还可以从信件入手，解法如下。

解法5，从信件入手， 因为每封信都可以投入4个邮筒中的每一个，既每封信有4种投法。共有3封信，相当于投信可以分3步完成，根据分步计数原理，共有34=64种投法。

评注：解法5是直接应用分步原理解题，是本题的最简洁解法。

例2，现有3封不同的信投入4个相同的袋子，问有多少种不同的投法？

由上例分析，其最简洁的解法如下：

解法1，从门票入手， 因为每张门票都可以分配到4个袋子中的每一个，既每张门票都有4种分配方法。共有3张门票，相当于分配可以分3步完成，根据分步计数原理，共有3种投法。

评注：分析解1中的解法。4个袋子是相同的，并不对应4种分法。解1的解法含有重复的计数。解法1是错解。

正确的解法是：按照4个袋子分别分配的信封数可以分为：3、0、0、0；2、1、0、0；1、1、1、0等几种方法。对应的分法总数为：

又注：此题不可以从信封入手去分步，而只能从袋子入手分类讨论。

例3，现有3张游泳馆的门票分配给4班级，问有多少种不同的分法？

由例1分析可知，其最简洁的解法如下：

解法1，从门票入手， 因为每张门票都可以分配到4个班级中的每一个，既每张门票都有4种分配方法。共有3张门票，相当于分配可以分3步完成，根据分步计数原理，共有 43种投法。

评注：分析解1中的解法。3张游泳馆门票是相同的，不适合作为分步的依据。解1的解法含有重复的计数。解法1是错解。

正确的解法是：按照4个班级分别分配的门票数可以分为：3、0、0、0；2、1、0、0；1、1、1、0等几种方法。对应的分法总数为：

又注：此题不可以从门票入手去分步，而只能从班级入手分类讨论。

例4，现有3张相同的的邮票随机放入4个相同的信封，问有多少种不同的分法？

评注：本题也不可以从邮票入手去分步，而只能从信封入手分类讨论。且不同的分类法即是分法种数。

二、结语

对于m个元素任意放入n个位置类型题（其中元素的认定可以依据“必须用完”为依据，而位置可以依据“可以为空”来区分。）由以上讨论可以得到以下结论：

①都可以应用计数原理来解，也说明了计数原理的基础作用。

②都可以从位置入手分类讨论。注意避免重复与遗漏。

③只有当元素与位置都互不同时，从元素入手，其最简洁的解法才是 nm。也可以从位置入手分类讨论。需要选择元素并排列。

④当元素不同时而位置相同时，可以由位置入手，分类考虑。需要⑤选当择元元素素不

相需

同排时列而。位不置可不从同元时素，入可手以；由其位解置不入是手n，m分。类考虑。不需要选择元素但要排列。不可从元素入手；其解不是 nm。

⑥当元素相同时而位置也相同时，也可以由位置入手，分类考虑。不需要选择元素也不需排列。注意其中对于每一类分类不需再排列了。不可从元素入手；其解也不是 nm。

教学中需结合学生和课时情况安排教学的难度，以使学生理解正解与错解的原因，使学生知其然并知其所以然。引导学生建立严谨又灵活的学风。

［1］华瑞芬.排列组合中的球与盒子问题［J］.高中生学习（高二版），2013年，第11期.

［2］陶兴模.排列组合题中的错解剖析［J］.高考金刊，2004年，第11期.

［3］薄涛.高中数学排列组合的多样解题思路［J］.考试周刊，2012第53期.

［4］人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学课程教材研究中心 编著.普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2-3 ［M］.北京：人民教育出版社.

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1671-864X（2016）05-0132-01

左峰辉，女，北京电子科技职业技术学院数学教师，主要研究方向：数学教育、数学应用。