(α,β)混合序列加权和的强收敛性

余超群

(湖北大学数学与统计学学院,湖北 武汉 430062)



(α,β)混合序列加权和的强收敛性

余超群

(湖北大学数学与统计学学院,湖北 武汉 430062)

(α,β)混合序列是一类极其广泛的随机变量序列. 利用(α，β)混合序列的矩不等式研究(α,β)混合序列加权和的Rosenthal型不等式. 在此基础上重点讨论(α,β)混合序列加权和的强大数定律,进一步研究广义Jamison型加权和的强收敛性.

(α,β)混合序列;矩不等式;加权和;Rosenthal不等式;强大数定律;强收敛性

0 引言

(α,β)混合序列的定义由Bradley[1]给出,并研究了绝对正则条件下{(α,β)}混合序列的中心极限定理.邵启满[2]进一步研究{(α,β)}混合序列的极限性质.陆传荣和林正炎[3]于1997年建立了{(α,β)}混合序列协方差的界,在此基础上,沈燕[4]给出了{(α,β)}混合序列的矩不等式,得到(α，β)混合序列的收敛定理.赵琦[5]利用Kolmogorov不等式得到{(α，β)}混合序列的三级数定理,在较弱的条件下,进一步研究了{(α,β)}混合序列的部分和与乘积和的强大数定律和加权和的完全收敛性.本文中利用{(α，β)}混合序列的矩不等式研究{(α，β)}混合序列加权和的Rosenthal型不等式，在此基础上重点讨论{(α，β)}混合序列加权和的强大数定律,进一步研究了广义Jamison型加权和的强收敛性.

设{Xn,n≥1}是随机变量序列,X为一非负随机变量,C>0为常数,若对任意的x>0，n≥1,都有P(|Xn|>x)≤CP(X>x),则称{Xn,n≥1}是被X一致控制的.本文中约定:C,C1,C2总表示正常数，且在不同的地方可以表示不同的值.

1 引理

引理1[6]设{Xn，n≥1}是被随机变量X一致控制的序列,则对∀α,b>0有

E|Xn|αI(|Xn|≤b)≤C1[E|X|αI(|X|≤b)+bαP(|X|>b)]

(1)

E|Xn|αI(|Xn|>b)≤C2E|X|αI(|X|>b)

(2)

其中C1,C2都是正常数.

(3)

(4)

引理2的证明 应用参考文献[4]，类似于参考文献[7]的证法即得.

2 主要结果及证明

其中C为仅依赖于α,β和λ(·)的常数.

(5)

其中C为仅依赖于α,β和λ(·)的常数.类似地

(6)

其中C为仅依赖于α,β和λ(·)的常数.另一方面,由于p/2≥1,函数f(x)=xp/2对x≥0为增函数,故由Cr不等式,(5)式和(6)式可得

定理证毕.

其中C为仅依赖于α,β和λ(·)的常数.

定理2的证明 由(4)式类似定理1的证明即可得到所要证明的结论.

(7)

则

(8)

其中,0

定理3的证明 对每个固定的n≥1,记

Yi=XiI(|Xi|≤n1/β),Zi=XiI(Xi<-n1/β)+XiI(Xi>n1/β), 1≤i≤n.

因此，我们只需验证当n→∞时,H→0,I→0和J→0 a.s.即可.首先我们来验证当n→∞时,H→∞ a.s..当1≤γ≤α时，根据(7)式和Hölder不等式可得

(9)

当0≤α≤γ时,由Jensen不等式可知

(10)

根据(9)式和(10)式得

(11)

由Borel-Cantelli引理，我们只需验证对∀ε>0,有

(12)

对于H1,由Cr不等式和Jensen不等式,及(1)式和(10)式得

(13)

对于H2,由Cr不等式,Jensen不等式,(1)式和(11)式得

(14)

根据Markov不等式和E|X|β<∞得

(15)

记δ=max{(-1+2/p),2/α,2/β,1}则由(14)式和(15)式得

(16)

显然，

(17)

(18)

从而结合(13)式和(18)式有(12)式成立.另一方面，我们将证

(19)

当0<β≤1,由(1)式和(11)式得

(20)

当β>1,由EXn=0,(2)式和(11)式得

(21)

(22)

因此，结合(12)式,(19)式和(22)式有(8)式成立,定理证毕.

注1 定理3推广和完善了Bai和Cheng[8]的定理2.1.它将独立同分布(iid)序列推广到(α，β)混合序列,并且扩大了参数α,β和p的取值范围.

在定理3中取ani≡1,则对∀α>0都有(7)式成立.因此,对∀p∈(0,min(β,2)),令α=pβ/(β-p)>0,我们有如下结论.

E|X|r<∞

(23)

N(n)={i:ci≤n}=O(nr),n≥1

(24)

则

(25)

<∞.

(26)

(27)

由(24)式,知对n→∞,有cn→∞,且EXn=0.对n≥1,则|EXnI(|Xn|≤cn)|=|EXnI(|Xn|>cn)|.由(2)式,(23)式和(24)式可得

根据Kronecker引理可立即得(27)式成立,由文献[5]定理2知(25)式成立,定理证毕.

E(f(|X|))<∞

(28)

N(n)=#{i:ci≤n}=O(f(n)),n≥1

(29)

则有(25)式成立.

<∞.

(30)

因为r<2,取0<δ<2-r,有r+δ-2<0,再由微分中值定理,x-δh(x)和xr-2h(x)拟单调下降可得

把上式代入(30)式,再由xr-2h(x)拟单调下降和(28)式可得

因为r>1,取θ>0,有r-θ>1,再由微分中值定理,xθh(x)拟单调上升可得

CEf(|X|)<∞.

最后,根据Kronecker引理可立即得(27)式成立,由文献[5]定理2知(25)式成立,定理证毕.

注2 定理4和推论2是{(α，β)}混合序列广义Jamison型加权和的强收敛性的情形.

[1] Bradley R C. On the central limit question under absolute regularity[J]. Ann. Probab,1985,13(4): 1314-1325.

[2] Shao Q M. Almost sure invariance principles for mixing sequences of random variables[J]. Stochastic Processes and Their Applications，1993，48(2): 1-309.

[3] 陆传荣，林正炎. 混合相依变量的极限理论[M]. 北京: 科学出版社，1997.

[4] 沈燕，张永军,等.(α,β)混合序列的强极限定理[J]. 中国科学技术大学学报，2011，41(9): 778-784.

[5] 赵琦.(α,β)混合序列部分和与乘积和的强大数定律[J].湖北大学学报(自然科学版)，2015，37(3): 213-217.

[6] 吴群英.混合序列的概率极限理论[M]. 北京：科学出版社，2006.

[7] Asadian N，Fakoor V，Bozorgnia A. Rosenthal’s type inequalitics for negatively orthant dependent random variables[J]. Journal of the Iranian Statistical Society,2006,5(1-2): 69-75.

[8] Chow Y S. On the rate of moment complete convergency of sample sums and extremes[J]. Bulletin of the Institute of Mathematics Academia Sinica,1998,16: 177-201.

(责任编辑 赵燕)

Strong convergence theorems of weighted sum for (α,β) mixing sequences

YU Chaoqun

(School of Mathematics and Statistics，Hubei University，Wuhan 430062,China)

(α,β) mixing sequence is an extremly wide range of Random sequence.Using the (α,β) mixing sequence′s moment inequality,we investigated the Rosenthal′s type of inequality of the (α,β) mixing sequence′s weighted sum. On this basis，emphatically discussed the strong law of large numbers of the (α,β) mixing sequence′s weighted sum，and then investigated the generalized Jamison′s type of weighted sum and strong convergence theorems.

(α,β) mixing sequence; moment inequality; weighted sum; Rosenthal′s type of inequality; strong law of large numbers;strong convergence theorems

2016-01-19

余超群(1991-)，女，硕士生

1000-2375(2016)06-0477-07

O211.4

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2016.06.002