“位置”的背后藏着什么？

马建秀

“位置”是《数学》（人教版）五年级上册第二单元的内容。它是学生在学习了上、下、前、后、左、右和东、西、南、北等词语描述物体方向的基础上，进一步用数对确定物体的位置。这一内容的学习，基于现实的需要，根据“行与列”这两个因素来确定物体的位置，继而学会用数对表示具体情境中物体的位置，在“读懂”平面图的基础上用有序数对来刻画二维空间中某点的位置。通过本课的学习，使学生从用生活经验描述位置（如“靠近讲台的为第一行”“靠近门的为第一列”）上升为用数学方法（即“数对”）确定位置，发展数学思考，培养空间观念。

对学生而言，只要根据“数学规定”把现实空间位置转化到平面图上，再遵从“从左向右、从下向上”的原则，就能找到一个数对与一个物体一一对应，学生易于掌握，学习难度不高。因此，课堂上，常常听到学生说“这个问题简单、好做”。对于教师而言，简单的知识背后需要挖掘什么数学内涵呢？让学生终生受用，是执教者应该思考的。

在学习知识、掌握能力的同时，让学生体会基本的数学思想，是《数学课程标准》（2011版）的目标要求。对于一些教师来说，知识是显性的，背后的思想却是隐性的，雾里看花、水中望月，迷茫而无所适从。笔者在“位置”一课的设计中，试图让学生感受平面直角坐标系思想、数形结合思想、一一对应思想、结构化思想、符号思想、函数思想、变中不变思想、抽象思想、模型思想……

下面谈谈如何从学习材料、问题思考、教学活动与习题设计四个方面，让学生感悟这些数学思想。

一、平面直角坐标系思想

课前谈话：同学们，说一说你们去电影院看电影时，是怎么找到自己的座位的？

【设计意图】学生以前能利用第几排第几号这两个信息在电影院找到自己的座位，通过教师的课前谈话，他们已有的经验被唤醒，为本课做铺垫。学生经验中的座位图，就是直角坐标系的“雏形”。

问题思考：为什么具备“行”和“列”两个条件，才能确定位置？

1.让学生举例说明。他们能够说出确定了“行”，但不知道是这“行”中的哪一个，或者确定了“列”，不知道是这“列”中的第几个，无法确定位置。

2.接着小黑板出示直角坐标系“半成品”：即只画出几列，没有画出行。让学生到台前从图上找到自己的位置，他会数出自己坐第几列，再数出第几行，用直尺画出行和列的交叉点。

3.追问：这一点，属于“行”还是“列”？学生能够发现只有交点才同时属于“行”和“列”。

4.你发现了什么？学生通过画图，能够发现只有满足“行”和“列”两个条件，才能确定唯一的一点，即一点对应一个数对。

【设计意图】此环节旨在让学生发现为什么同时具备“行”和“列”两个条件才能确定唯一一点，通过画图，发现两条直线相交于一点。这一点是建立在原点、方向、单位刻度唯一确定的基础之上。直角坐标系的建立，它使几何图形可以用数或代数式表示出来，为学生今后学习“数与形”做一些铺垫。

二、数形结合思想与一一对应思想

学习材料：平面座位图

【设计意图】将空间座位转化为平面图，是学生学习本课的难点。这需要遵从数学规定：以观察者的角度，图上按照从左向右的顺序排列为列，从下向上的顺序排列为行；空间位置从左向右为列，从前向后为行。这是发展学生空间观念的极好载体。数对确定位置的本质就是数与点的一一对应。包括空间方向与平面方向的一一对应，数与形的一一对应。只有将空间座位的形与数对应，即由形想数，才能用这个数对找到平面的唯一点（即由数想形）。数对就是这个转换过程的桥梁纽带。

习题设计：

1.（2，2）（2，4）这两个数对有什么特点？你能想到它的图形吗？

2.（3，5） （6，5）呢？由此你发现了什么？

3.出示点子图：

①图上三个红点连起来是什么图形？

②如果要形成平行四边形，需要把哪个黑点变成红点。

③这个点的数对是什么？可以看作把哪个点平移几个格形成？

【设计意图】“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。本题是感悟数形结合的很好载体。形帮数，数助形的同时，还能将平移知识融入，考查学生综合运用知识的能力。

教学活动：

规则：老师请一个同学出来说数对，这个同学再找另一个同学到黑板的平面座位图上把这个点找出来，然后对应空间座位那个同学站起来。站对的同学再出来说数对，重复活动。

【设计意图】此活动需要学生带着问题，思维在不同个体中形成连锁反应，全班同学都能参与，可谓“以点带面”。此活动学生在思中学，学中悟，热闹的背后，一一对应与数形结合思想潜移默化在他们心中。同时也感悟到有了一一对应的关系，就便于交流与沟通，就能使空间有结构、有序，使我们的认知不混乱。

三、结构化思想与符号思想

导入新课：老师要找一个同学回答问题，他在第4排的第3个，会是谁呢？

【设计意图】学生会指出同时有四个同学符合条件。使他们感受到没有规定目标是不确定的，生活是紊乱的，从而产生结构化的必要性。

问题思考：老师要想从他们四个之中只选一个怎么办？

【设计意图】学生讨论的结果是必须得有个人为规定：是从左向右还是从右向左。在认知冲突中，体会数学规定的必要性和合理性，让学生经历了结构化的过程。

学习材料：出示座位图，在座位图的下方和左侧标出1、2、3……这样就建立了坐标系的初步表象，再把数字连接成一条直线，就出现了数轴。

【设计意图】原来的座位图在直角坐标系中刻画，其结构清晰化。

问题思考：

1.如何简洁地表示第3行的第2列？

请学生将自己的表示方法一一呈现在黑板上。并说出某些表示方法不合理的理由。

2.（3，2）（2，3）这两种表示方法，有什么不同？

3.如何才能让大家都看明白？

【设计意图】让学生经历再创造的过程，发展符号意识，使学生感受到数学语言的魅力，同时体会符号的简洁性。同一个位置可以出现两种记法，必须统一才便于沟通与交流，结构化思想随之产生。

四、函数思想

习题设计：在方格中描出（1，1）（2，2） （3，3）（4，4）（5，5）的位置。

【设计意图】通过描点，使学生发现这些点在一条斜线上。

问题思考：

1.这些点有什么特点？学生看出行数和列数相同。

2.能连成什么图形？通过动手操作，能连成一条直线。

3.你还能说出一个数对的点也是在这条斜线上较远的位置吗？

4.（x，x）表示什么意思？

【设计意图】发展学生的空间想象力，为以后学习y=x的正比例函数做准备。

教学活动：

师：下课了，我想请同学们带着今天的知识离开课堂，走出数学味。

1.（5，6）同学先走

2.（x，4）同学离开

3.（4，y）同学离开

4.（x，y）同学走

【设计意图】学生带着问题离开课堂，充满了喜悦和好奇，觉得这样的数学课很有趣。使在游戏活动中加深了对数学知识的巩固，悄悄地渗透函数思想。

五、变中不变思想

问题思考：

1.如果我们班的黑板在窗户这面，表示你位置的数对会不会改变？请尝试写出来。

2.你发现了什么？学生发现数对变了。

3.什么变了，什么没变？大部分学生发现数对变了，位置没变。

4.造成数对变的直接原因是什么？“行”和“列”变了。

5.由此你想说什么？

【设计意图】使学生进一步感受确定行和列，要以观察者角度考察，数对随观察者的角度改变而改变，不变的是位置，感受变中有不变的现象存在。

六、抽象思想

学习材料：空间座位——平面图形——点子图——直角坐标系——数对。

【设计意图】学习材料的呈现是逐步的抽象，顺应学生的认知特点，发展和体会抽象思想。

习题设计：把自己的位置用直尺在坐标系上画出来。

【设计意图】把学生站成一排成一列抽象成一条直线，再把两队交叉那个同学抽象成一个点。抽象思想是最上位的思想，贯穿于数学学习活动中，有了抽象才能把生活问题转换成数学问题，用数学的方法解决。

七、模型思想

问题思考：生活中还有哪里用数对确定位置？

学生可能会说出停车场、门牌号、电影院、操场站队、储物柜、课程表……

【设计意图】这些生活中的问题，能够运用数对这个数学模型来解决，就使生活问题数学化。建立模型思想，才能把生活问题运用数学模型解决，沟通数学与生活的关系。

新课程理念中，不仅要让学生学会知识形成能力，更重要的是让学生从中体会一些基本思想。“位置”一课的设计，在显性知识的背后，挖掘出诸多的数学思想，通过这一课例，或许能给数学教师指明一点方向：当学生把学过的知识及做过的习题遗忘后，只有数学思想才能沉淀下来，为学生的终生发展服务。人们都说：“一流的教师教思想，二流的教师教方法，三流的教师教知识”，成为一流教师应该是我们不懈的追求。