基于偏差熵的AHP群决策权重确定方法

王泽洲,陈云翔,蔡忠义

(空军工程大学 装备管理与安全工程学院,陕西 西安 710051)



基于偏差熵的AHP群决策权重确定方法

王泽洲,陈云翔,蔡忠义

(空军工程大学 装备管理与安全工程学院,陕西 西安 710051)

针对群组决策专家聚类赋权过程中，可能出现虽然专家意见不同,但是由于判断矩阵一致性比率与排序向量信息熵都相等,导致专家被赋予相同权重的问题,文章提出了一种基于偏差熵的专家聚类赋权方法。该方法基于聚类分析原理对专家群进行分类,并依据分类结果确定各专家所在类的类间权重;在各个专家类中建立偏差熵模型,依据类中各专家为达成一致性意见所贡献的程度高低确定类中各专家权重,从而得到各专家的总权重。最后,文章结合具体算例分析表明该方法是科学可行的。

群组决策;聚类分析;专家赋权;偏差熵模型

0 引 言

经济社会活动乃至军事作战运筹过程中广泛存在评价与决策问题。由于实际问题具有复杂性与不确定性,单个专家的判断往往难以做到科学合理,为此多采用专家群组决策的方法来削弱单个决策专家的主观不确定性与认识模糊性。传统群决策专家赋权法通常是利用判断矩阵的一致性比率来构建权重系数的,可能会出现当各专家给出的判断矩阵完全一致时,各专家权重系数相同,从而造成无法区分各个判断矩阵质量的问题。为克服传统群决策专家赋权法的不足,现多采用聚类分析方法实现对群决策中专家的赋权。

聚类赋权法通过专家给出的判断矩阵进行分析,若判断矩阵相似度越高,表明专家彼此之间的共识程度越高,相应评价的准确性则越强,且此类专家的权重越大。根据聚类结果给决策者赋权,体现了群组决策中非常重要的少数服从多数原则。现有研究成果中,专家聚类赋权法大致可归纳为以下3类:① 基于判断矩阵一致性程度的赋权法[1-4],该方法由于缺乏对专家本身逻辑性的度量,当判断矩阵一致性程度相同时会出现专家权重相等,不能区分判断矩阵质量的情况;② 基于信息熵的赋权法[5-7],该方法是根据判断矩阵排序向量的信息熵确定专家权重的,虽然能够有效降低排序向量所带来的不确定性,但是却忽略一致性比率对专家权重的影响;③ 将上述2种方法融合后得到的一种基于信息熵和判断矩阵的专家聚类赋权法[8],该方法在考虑判断矩阵一致性的同时兼顾考虑了判断矩阵实际含有的信息量和信息相似程度,从而在一定程度上克服了前2种赋权方法存在的不足，但该方法简单，采用和的形式将信息熵与一致性比率耦合在一起，作为权重系数确定专家类内权重,这容易产生虽然专家意见不一致,但判断矩阵一致性比率和排序向量信息熵都相等的专家被赋予了相同权重的问题。

针对上述问题,本文提出一种基于偏差熵的专家聚类赋权法。该方法以聚类分析为基础实现专家聚类,同时引入偏差熵模型[9-11]来确定单个专家意见与专家所在类一致性意见的偏差程度,并以此为依据对专家进行类内赋权,从而使得在群体决策过程中,意见一致性程度高的专家群体获得更大类间权重,体现了少数服从多数,精确胜过模糊的原则,即在同类专家中,对形成类别一致性意见贡献度大的专家获得更大类内权重。

1 专家聚类分析

专家聚类分析的基本原理是依据一定标准衡量专家评价意见的相似程度,并以此相似程度为依据对专家进行聚类。

假设现有M位专家对n个方案进行评价,第m位专家给出的判断矩阵为Am,其最大特征根为λmax,对判断矩阵最大特征根所对应的排序向量进行归一化处理,可得判断矩阵的归一化排序向量为Um=(um1,um2,…,umn)T,m=1,2,…,M。

为了衡量专家评价意见的相似程度,本文定义专家意见相似系数为:

(1)

由定义可知φ(m,k)满足如下性质:

(1)φ(m,k)=1,说明第m位专家与第k位专家的意见完全相似。

(2)φ(m,k)=0,说明第m位专家与第k位专家的意见完全不相似。

(3)φ(m,m)=1,具有自反性。

(4)φ(m,k)=φ(k,m),具有对称性。

(5)φ(m,k)∈[0,1]。

此时,可构建M位专家意见的相似系数矩阵如下:

根据专家意见相似系数矩阵R,对专家进行聚类分析,具体步骤如下:

(1) 选取门限值φ=φ*,并以相似系数φ(m，k)≥φ*为准则,确定两两专家的聚类集合,其中门限值φ*是根据实际情况确定的经验值。

(2) 对两两专家聚类集合中含有相同专家的集合进行“并”操作,确定专家聚类的最终结果。

2 类间赋权分析

传统聚类赋权方法假设聚类后同一类专家的权重相同,这显然不符合实际情况。聚类分析中的门限值φ*越小,误差越大。本文认为专家权重应该与2个方面因素有关。一个因素是专家所在类别的人数,专家所在类别人数越多,相应专家权重应该越大，这正体现了少数服从多数的原则；另一个因素是单个专家意见对形成类别一致性意见贡献程度的大小,对聚类贡献程度越高,与类别一致性意见越一致,相应专家权重越大。

经过聚类分析可知，M位专家被分为L类,νm为第m位专家的综合权重,其中m=1,2,…,M。设第m位专家所在类Gl中专家的人数为Kl。按照传统的聚类分析方法,认为类中各专家的权重都相等,都与其所在类的专家人数成正比,即νm=ρKl,其中ρ为对每个专家都相等的比例因子,从而有:

(2)

本文认为比例因子应该对于每个专家是不同的,即有:

(3)

其中，α为对每个专家都相等的与所在类别专家的人数有关的比例因子;φm与专家意见对形成所在类别一致性意见的贡献度有关,同一类专家中,不同专家的φm可能不同。由此可得:

(4)

设第l类专家的类别总权重即第l类专家的类间权重为λl,由上述分析可得:

(5)

由(5)式可知,α为对每个专家都相等的与所在类别专家人数有关的比例因子,是影响聚类分析结果的关键因素,而φm只对类中专家权重差别产生细微的影响,因此有α≫φm,即有:

(6)

3 类内赋权分析

经过聚类分析可以将意见相似的专家聚合成类。设ωlk为第l类中第k位专家对形成类别一致性意见的贡献度,即其对应的类内权重;νlk为第l类中第k位专家的总体权重。第l类专家中第k位专家的判断矩阵可表示为:

(7)

将(7)式两边取对数得:

(8)

针对方案i优于方案j这一认识,第l类中第k位专家的意见与第l类专家的类别一致性意见之间的偏差可定义为:

(9)

那么针对所有评价方案,第l类中第k位专家的意见与第l类专家类别一致性意见的偏差程度可以表示为:

(10)

本文利用偏差熵描述不同专家意见与专家群体意见之间的差异,则第l类中第k位专家的偏差熵可定义为:

(11)

根据偏差熵的定义可知,熵值越大对应专家的意见与类别一致性意见的差异越小,表明专家的意见与所在类别意见越一致;反之,熵值越小对应专家的意见与类别一致性意见的差异性越大,表明专家的意见与所在类别意见越不一致。

对于第l类专家,可认为该类专家在评价时达成了共识,形成了一致性意见。为了保证最终形成的类别一致性意见能够较为准确且尽可能反映所有专家的意愿,单个专家意见与类别一致性意见之间的偏差之和应当尽可能小,即偏差熵之和应尽可能大。由此可以建立第l类专家意见的偏差熵模型为:

(12)

将(7)～(11)式代入(12)式可得:

maxHl=

(13)

利用Matlab软件中的fmincon最优化函数,求解可得第l类中第k位专家的类内权重ωkl。最终通过求解λl和ωlk可得专家的总权重为:

(14)

对比文献[8]中的类内赋权过程可知,本文采用的类内赋权方法并未涉及对专家给出判断矩阵一致性比率和归一化排序向量的应用,而是通过利用判断矩阵中的所有元素来实现对专家的赋权,从而避免了评价意见不一致,但容易造成判断矩阵一致性比率和排序向量信息熵都相等的专家被赋予了相同权重情况的发生。

4 算例分析

现假设有6位专家,按照层次分析法(analytic hierarch process,AHP)的评价标准对4个备选方案进行评价,各位专家所列出的判断矩阵分别为：

判断矩阵归一化排序向量和一致性比率分别为:

U1=(0.6125,0.0916,0.0934,0.2026),CR1=0.025；

U2=(0.6636,0.1116,0.1077,0.1172),CR2=0.004；

U3=(0.6455,0.1739,0.0869,0.0937),CR3=0.004；

U4=(0.3543,0.1077,0.2776,0.2605),CR4=0.077；

U5=(0.2858,0.2858,0.1426,0.2858),CR5=0；

U6=(0.2858,0.2858,0.2858,0.1426),CR6=0。

由(1)式可得专家意见相似系数矩阵为:

考虑到专家评价对象数目较多,专家意见可能存在较大差异,即专家意见相似程度较小,故本文选取门限值为φ*=0.92,进而得到专家两两聚类集合为{(1,2),(1,3),(2,3),(5,6)},对含有相同专家的子集进行并操作可得最终聚类结果为{(1,2,3),(5,6),(4)}。

依据聚类结果对专家进行赋权分析。根据(6)式可得专家类间权重为:

由(13)式可得专家类内权重为:

第1类专家:ω11(a1)=0.286 5,

ω12(a2)=0.315 0,ω13(a3)=0.338 5;

第2类专家:

ω21(a5)=0.408 4,ω22(a6)=0.591 6;

第3类专家:ω31(a4)=1。

其中，am(m=1,2,…,6)为第m位专家。

最后,利用(14)式对专家权重进行集结得到专家总权重为:

ν=(0.184 2,0.241 1,0.217 6,

0.071 4,0.116 7,0.169 0)。

通过聚类分析可以发现,第5位专家和第6位专家是同一类专家。根据赋权方法[1-4]可知,由于CR5=CR6,则第5位专家与第6位的类内权重相等;而判断矩阵表明,第5位专家和第6位专家的意见差异显著,因而文献[1-4]采用的基于判断矩阵一致性的权重确定法不适用于本例所示情况。

专家判断矩阵排序向量的信息熵计算公式如下:

(15)

则第5位专家和第6位专家判断矩阵排序向量的信息熵H(U5)=H(U6)=0.975。经分析可以发现,运用于文献[5-7]提出的赋权方法对专家进行赋权分析,第5位专家和第6位专家将会被赋予相同的类内权重,表明该方法也不适用于此类情况。同理,文献[8]提出的权重确定方法也不能合理地解决本例中的赋权问题。

本文基于偏差熵的专家聚类赋权法来确定专家权重,以对形成类别一致性意见的贡献度为依据实现对专家的类内赋权。由以上算例结果可知,虽然第5位专家和第6位专家给出判断矩阵的一致性程度和排序向量信息熵都相等,但由于第6位专家对形成类别一致性意见的贡献大,从而被赋予了较大类内权重,这表明本文提出的基于偏差熵的专家聚类赋权法可以克服文献[1-8]提出的3种赋权方法的不足,能够提升专家聚类赋权分析的科学合理性。

5 结 论

本文提出的一种基于偏差熵的专家聚类赋权法具有以下4个方面特点:

(1) 有利于降低由排序向量信息熵引起的不确定性。

(2) 较好地削弱了判断矩阵一致性比率引起的矛盾。

(3) 克服了单纯以和的形式将信息熵与一致性比率耦合的权重确定法应用的局限性,提高了权值分配的精确性。

(4) 原理简单,易于编程实现，特别是在大规模群决策问题中具有良好的应用前景。

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(责任编辑 万伦来)

Weights of AHP group decision-making based on deviation entropy

WANG Zezhou,CHEN Yunxiang,CAI Zhongyi

(College of Equipment Management and Safety Engineering, Air Force Engineering University, Xi’an 710051, China)

In order to solve the problem that the experts are given the same weight, which is caused by the case where the consistency ratio of judgment matrix and collating vector information entropy are equal although the experts’ opinions are different in the process of group decision-making, an expert cluster weighting method based on deviation entropy is proposed. In this method, experts are classified by using the clustering analysis principle, then the interclass weight is determined according to the classified results. And a deviation entropy model is built to determine the intraclass weight according to the contribution level of consensus opinion for experts and then the expert’s overall weight. Finally, a numerical example is given to illustrate the validity and feasibility of the proposed method.

group decision-making; clustering analysis; experts' weights; deviation entropy model

2015-07-30；

2015-09-24

总装“十二五”国防预研基金资助项目(51327020104)

王泽洲(1992-),男,山西长治人,空军工程大学硕士生;

陈云翔(1962-),男,江苏南京人,博士, 空军工程大学教授,博士生导师.

10.3969/j.issn.1003-5060.2016.10.025

TP301.6

A

1003-5060(2016)10-1420-05