东北地区副省级城市人口、土地和产值的分维关系研究

李 秀 玲

(吉林财经大学 应用数学学院，吉林 长春 130117)



东北地区副省级城市人口、土地和产值的分维关系研究

李 秀 玲

(吉林财经大学 应用数学学院，吉林 长春 130117)

异速生长关系可以用于描述系统局部与整体的关系，也适用于研究系统中两个变量之间的关系，是研究分形城市系统不可或缺的数理方法。本文利用城市动力系统的异速生长模型和城市产出的C-D函数，研究东北地区副省级城市沈阳、大连、长春、哈尔滨这四个城市的人口、土地和产值之间的动力相似关系。研究结果表明这四个城市的人口增长为城市带来的经济效益比土地扩张要大，建议推动城市的经济发展要以引进人口为主，注意土地的集约利用。

异速生长；分形；动力相似关系；城市人口；土地；产值

一、引 言

异速生长定律是Naroll和Bertalanffy合作从生物学领域引入到地理学领域的[1]78，1891年Snell曾提出哺乳动物的头脑尺寸与身躯大小具有异速生长关系[2]463-476，因此异速生长的原意一般被理解为“与整个机体的绝对尺寸的变化有关的比例的差异”[3]587-640。与生物现象相类似，城市地理系统也存在着这种关系。Beckmann提出了城市体系异速生长方程，用于刻画城市系统中最大城市人口与所有城市总人口的相对比率[4]243-248。异速生长关系不仅仅局限于研究系统局部与整体的关系，也适用于研究系统中两个变量之间的关系，如Naroll-Bertalanffy提出的城市—乡村人口关系、Nordbeck-Dutton提出的城市人口—城区面积关系也满足异速生长方程。研究表明，城市系统的异速生长与分形演化具有密切的关系，Batty[5]1-18与陈彦光[6-9]对异速生长的标度因子与分维的关系都进行了深入的探讨。国外学者在异速生长关系方面开展了大量的工作[4-5，10-13]，而国内的研究成果不多，主要集中于城市人口—城区面积异速生长关系的研究[14-22]，而城市—乡村人口异速生长关系的研究和关于城市人口、土地和产出的动态相似性质的研究较少[23-30]。在城市人口、土地和产出的动态相似性质的研究中，最具代表性的是陈彦光研究了郑州市的城市人口、土地和产出的动态相似关系，为拓展分形城市的研究领域启发了新的思路[25]389-393。本文主要研究东北地区副省级城市沈阳、大连、长春、哈尔滨这四个城市的人口、土地和产值之间的异速生长关系，以此来揭示城市结构的分形演化规律，为分形理论和异速生长理论提供实践范例，也为城市结构与功能优化提出政策性建议，研究结果可为东北区域的发展规划提供科学理论依据。

二、城市结构的异速生长模型与城市产出模型

异速生长关系可以定义为一个系统的局部相对生长速率与系统整体或者系统的另一个局部的相对生长速率的常数比例关系[1]78。对于一个动力系统，用x表示系统的某个局部的某种测度，y表示系统的另一个局部或者整体的某种测度，a1和a2分别为x和y的相对增长系数，则有

由上两式可得

(1)

积分得

y=Cxα，

(2)

(3)

(4)

比较(1)、(4)两式，显然可知α也为y关于x的弹性系数，因此将式(2)既可以称为x和y之间的异速生长模型，也可以称为弹性模型。学者们将城市的人口—土地关系称为异速生长关系，将人口—产值关系和土地—产值关系称为弹性关系更符合地理学和经济学的传统和意义。

根据α的取值可以将异速生长关系分为三种情况：当α>1时为正异速生长关系，即y的增长速率比x快；当α<1时为负异速生长关系，即y的增长速率比x慢；当α=1时为同速生长关系，即变量x和y的变化为线性比例关系。

对于一个自治的城市动力系统S，令x=P表示城市人口，y=A表示城区面积，则可得城市人口—城区面积的异速生长关系

A=aPb；

(5)

令x=P表示城市人口，y=Y表示城市产出，则可得城市人口与产出的弹性关系

Y=C1Pδ1；

(6)

令x=A表示城区面积，y=Y表示城市产出，则可得城区面积与产出的弹性关系

Y=C2Aδ2.

(7)

由式(6)、(7)可得城市产出的C-D函数

Y=ηPd1Ad2，

(8)

三、研究范围、数据选取及来源

本文主要研究东北地区副省级城市沈阳、大连、长春、哈尔滨这四个城市的人口、土地和产值之间的异速生长关系。对于数据的选取，基于陈彦光提出的可测性、目的性、地域性、稳定性、适时性和现势性几个原则，我们选取这四个城市市辖区的非农业人口、建成区面积和工业产值作为基础数据。综合《中国城市统计年鉴》、《中国人口和就业统计年鉴》、《辽宁省统计年鉴》、《吉林省统计年鉴》和《黑龙江省统计年鉴》提供的各类数据，我们选取了1999—2012年沈阳、大连、长春、哈尔滨四市市辖区的非农业人口、建成区面积和工业产值数据来进行研究。

四、东北地区副省级城市结构分析

将1999—2012年沈阳、大连、长春、哈尔滨四市的非农业人口、建成区面积和工业产值数据两两组合，分别绘制到双对数坐标图上发现它们分别呈线性分布形式，因篇幅所限，在图1中仅给出部分拟合图形。利用SPSS软件进行幂函数拟合，可得四个城市的动力相似模型，并可计算出城市产出的C-D函数，见表1。

图1 四城市的人口、土地和产值的异速生长关系图例

从城市人口—城区面积异速生长系数上看，沈阳、大连、长春、哈尔滨四市的b值皆大于1，沈阳、长春两市的b值高达5以上。当b>1时，城市人口与城区面积为正异速生长关系，即城市用地扩展的相对速度大于城市人口增长的相对速度；那意味着城市越大，城市人均用地面积越大，而大城市高层建筑较多，人口用地原本集约才算正常[2]463-476。这四个城市的人口规模越大，人均占用土地越多，城市土地利用非常浪费。

从城市人口—产出弹性系数和城区面积—产出弹性系数上看，沈阳、大连、长春、哈尔滨四市的动态弹性系数都很高，一个可能的原因是我们采用的工业产值数据是按当年价格统计的，因此弹性系数可能会受到通货膨胀的影响。陈彦光分别利用按当年价格和不变价格统计的工业总产值数据计算出河南省城市体系或城市的人口—产出弹性系数，其结果确实不是完全相同，二者之差在-0.666～2.616之间，因此弹性系数受通货膨胀的影响不是很大。另外，以当年价格计算的工业产值的时间序列较长，便于动态相似分析，对于理论研究来说更为可取[26]476-481。我们在计算城市人口—产出弹性系数和城区面积—产出弹性系数时产值测度所用数据都是基于当年价格下的工业产值，因此对于比较这两个弹性系数的大小而言是具有可比性的。

用S表示城市规模(人口或用地)，同式(5)可得城市规模与产出的动力相似模型为

Y=CSδ，

(9)

将上式两边同时除以S得

显然δ=1是临界值。当δ=1时，表明城市产值Y与城市规模S同速增长；当δ>1时，表明城市产值Y的相对增长速率较城市规模S为快；当0<δ<1时，表明城市产值Y的相对增长速率较城市规模S为慢；当δ<0时，表明城市产值Y随着城市规模S的扩大而减少，这种情况一般不会发生。只有满足δ>1时，城市规模扩大，城市的人均(或地均)产值才会增加；也只有城市的人均(或地均)产值能够增加，扩大城市规模才有意义[26]476-481。

沈阳、大连、长春、哈尔滨四市的城市人口—产出弹性系数和城区面积—产出弹性系数都大于1，扩大城市规模都能使城市产值增加，因此四市的城市结构皆为正常，符合城市发展的客观规律。沈阳、大连、长春、哈尔滨四市的城市人口—产出弹性系数皆大于城区面积—产出弹性系数，因此就工业生产而言，扩大人口规模比扩大土地规模带来的经济效益更大。从四市的弹性系数δ1，δ2二者的比较或从城市产出的C-D函数上可以看出，沈阳和长春两市的人口规模对经济的影响最为明显，哈尔滨和大连次之。

五、结 论

(1)城市规模—产出的相关性强弱可以反映系统性状的好坏，当城市和城市体系的结构发育优良时，相关性理当增强[26]476-481。东北地区副省级城市中，沈阳、长春、哈尔滨的城市规模—产出的相关系数R都较大，仅大连的R值较小。分形是大自然的优化结构，分形体能够最有效地占据空间[31]45-46。因此在未来的城市规划中，对于已经形成的分形结构要充分利用其优化趋势，城市结构不够优化的要注重培育其分形结构，利用分形优化方法推进城市的发展。

(2)东北地区副省级城市沈阳、大连、长春、哈尔滨四市的城市人口—城区面积异速生长系数皆大于1，特别是沈阳和长春两市的结果，若不是统计数据的质量问题，那么它们在土地利用上非常浪费。在未来的城市规划中要严格控制用地面积的扩大，引导城市建筑向高空发展，注意土地的集约利用，提高土地利用效率。

(3)东北地区副省级城市沈阳、大连、长春、哈尔滨四市的规模—产出关系是动态相似的，它们的城市人口—产出弹性系数皆大于城区面积—产出弹性系数。从城市经济发展的角度上看，四市的情况一样，即人口增长为城市带来的经济效益比土地扩张要大，因此，在未来的规划中，要以引进人口为主，特别是要注重吸引高端创新人才，提高城市的科技创新能力，推动城市的经济发展。

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[责任编辑：秦卫波]

Study on Fractal Relationship between Population，Land and Output of Vice Provincial Cities in Northeast China

LI Xiu-ling

(College of Applied Mathematics，Jilin University of Finance and Economics，Changchun 130117，China)

The allometric growth relationship can be used to describe the relationship between local and global in a system.It is also suitable for studying the relationship between two variables in the system.It is an indispensable mathematical method to study fractal urban systems.In order to reveal the fractal evolution rule of urban structure，the dynamic similarity relationship between the urban population，land and output of vice provincial cities in Northeast are researched，using the allometric growth equation and the C-D function on cities as dynamic systems.The results show that the economic benefits brought by the population growth in four cities for the city is bigger than that by the land expansion.It is suggested that in promoting economic development of the city the introduction of population should be focused on，and the intensive use of land should be paid attention to.

Allometric Growth；Fractal；Dynamic Similarity；Population of City；Land；Output

2016-02-20

国家自然科学基金项目(41301182)；吉林省教育厅项目(2015409)。

李秀玲(1973-)，女，吉林长春人，吉林财经大学应用数学学院院长，教授，理学博士，经济学博士后。

F127.3

A

1001-6201(2016)06-0134-05

[DOI]10.16164/j.cnki.22-1062/c.2016.06.024