借形清楚 有数明白——例谈“数形结合”在小学高段数学中的有效利用

刘冬雪

（浙江省长兴县夹浦镇中心小学）

借形清楚 有数明白
——例谈“数形结合”在小学高段数学中的有效利用

刘冬雪

（浙江省长兴县夹浦镇中心小学）

数形结合思想就是把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题。数形结合是小学高年级学生解决数学问题的有效方法，数形结合思想对学生数学学习尤为重要。“以形助数”让学生能够更直观地理解数学知识；“借数解形”帮助学生建立数感；“数形结合”借助表象开阔学生的思维。数形结合是相互联系，相互作用不可分割的整体。

以形助数；借数解形；数形结合

数形结合思想就是把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题。数形结合是小学高年级学生解决数学问题的有效方法，数形结合思想对学生数学学习尤为重要。数形结合思想不仅可以帮助小学生深化对知识的理解和认识，提高他们的数学学习素养，还可以为其将来学习更加复杂的数学知识甚至终身学习打下良好的基础。因此，小学教师在进行数学教学时，应当充分挖掘知识点背后的数形结合思想，应当充分挖掘知识背后的数形结合思想，教会学生用数形结合思想解决数学问题。

一、数形结合思想的重要作用

《义务教育数学课程标准》明确指出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想和必要的应用技能。

小学数学教学的根本任务是全面提高学生素质，其中最重要的是思维素质，而数学思想方法是增强学生数学观念、形成良好思想素质的关键。新课程标准修改后，将“双基”修改成“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验，说明人们已经意识到数学思想方法的重要性。小学生正处于以形象思维占主体，向抽象思维过渡的阶段。他们对图形等直观事物感兴趣，对抽象的数量关系理解有一定困难。为了帮助学生更好地学习空间与图形领域知识，需要在数学教学中，恰当进行数形结合思想的渗透。

二、数形结合思想的实践应用

1.“以形助数”让学生能够更直观地理解数学知识

在我的教学中，曾经记录了这样一件事，六年级上册的独立作业中出现这样一道题目：学校运动会方阵人数过少，所以增加56人，每行增加4人，共增加两行，现在方阵中有多少人？六年级学生的抽象思维已得到一定的发展，但是对于较抽象的仍然难以理解，有了图形的帮助学生在解决问题时就显得轻松，见下图。

用增加的人数减去交叉位置的固定人数：56-8=48（人）

原来方阵的边长：48÷（2+4）=8（人）

现在方阵的边长：8+4=12（人）

方阵的边长乘边长得出总数：12×12=144（人）

从语言描述上来分析这道题目，学生很容易茫然，甚至有些不知所措，在脑海中也较难构建出方阵增加的结构图，如果借助图形的分析，形象地表示出方阵内人数的排列，就把难题转化了。这种形象思维帮助学生建立清晰的模型，很快把文字思维转化成形象的图像思维，使学生有依据，清晰地理解题意，从而找到解决问题的方法，借助图形有效地化解了思考的难题。

2.“借数解形”帮助学生建立数感

我国著名数学家华罗庚说：“数缺形时难直观，形少数时难入微。”这样的论断能帮助学生在小学数学中深刻地理解相关知识。几何图形的构建帮助学生发展空间观念，在小学高年级充分挖掘学生的空间观念，培养数感，为初中几何图形的深入学习拓展铺垫。

例如，在人教版六年级下册的数学思考中有这样的题目：

（1）多边形内角和与它的边数有什么关系？

（2）一个九边形的内角和是多少度？

（3）一个n边形的内角和是多少度？

题中给出了三角形内角和180°，四边形内角和360°。利用学生已有的知识——三角形的内角和为180°，分解五边形，通过连接对角线可以把五边形分成3个三角形，学生不难得出五边形的内角和度数540°。六边形呢？继续划分若干个三角形，得出4个三角形，即六边形内角和为180×4=720°，如果画图形来求和，那么随着边数的增加画图的难度将越来越大，连接两角之间的对角线也变得越来越困难，不可能把任意多边形的图一一画出去寻找规律，所以，在这个时候借助数字来解决图形问题变得十分重要，认真观察数据，以及数据之间的联系，不难发现任意多边形的内角和都等于（边数-2）×180°，观察图形借助数字可以发现规律：

多边形三角形四边形五边形六边形 …… 九边形 …… n边形_边数 3 4 5 6____…… 9…… n内角和 180° 360° 540° 720° …… ……________

由此可以推导得出：

三角形：（3-2）×180°=180°

四边形：（4-2）×180°=360°

五边形：（5-2）×180°=540°

六边形：（6-2）×180°=720°

……

九边形：（9-2）×180°=1260°

……

n边形：（n-2）×180°

根据数的规律寻找出图形的特点，借助数据探寻几何图形的规律，从特殊到一般，从而达到通过几何图形发展学生的空间观念，建立良好数感，为下一阶段的数学学习打下坚实的基础。

3“.数形结合”借助表象开阔学生的思维

不管是形助数，还是数解形，都是相互联系、相互交错的。数形结合是相互联系、相互作用不可分割的整体，只有数形结合才能有效开阔学生思维，有效发展学生的空间观念，建立数感。在人教版小学六年级上册的练习题中有这样一道题目：

三、数形结合思想的有效利用

数形结合需要教师采用直观教学，将数学内容以生动的图形或动画展现给学生，激发学生的学习兴趣。让学生的数学学习灵活起来，就要求教师能读懂教学内容，吃透教学内容中所蕴含的数学思想方法，并把这种思想积极有效地运用到教学实践中来，授之以渔，开拓学生学习数学的思维，习得途径，夯实学习数学的有效通道。

［1］陈婉华.在数学教学中提高学生的多种能力［J］.青年探索2005（6）.

［2］曹培英.跨越断层走出误区：“数学课程标准”核心词的实践解读：几何直观（上）［J］.小学数学，2013（6）.

［3］孔凡哲，史宁中.关于几何直观的含义与表现形式［J］.课程·教材·教法，2012（7）.

·编辑 王团兰

从表面上看是能变成12种速度，但是实际上又能变成11种不同的速度，那么根据普通自行车行驶速度的模型，学生很容易就会想到，要使自行车走得最远，应该选用前后齿轮数比最大的组合，应用模型解释变速自行车的变速原理及实际应用。同时我还设计了在不同的路况应选用的组合，如顺风路段和爬坡路段，在这个过程中学生还提到了用力的问题。这样的模型应用，让学生兴趣盎然，也感受了数学知识的应用价值。

模型思想的建立是一个循环往复的过程，需要老师的注重和不断渗透。建构主义认为，学习是在对新旧知识的否定之否定中经历无数个建构、解构的过程。因此，任何一个数学模型的建构都不可能是一蹴而就的，如同制作建筑模型一般，它需要充足的材料、充足的时间，更需要充足的耐心来搭建它，不要让结果代替过程，一定要与学生一同经历这个不可或缺的美妙建构过程。

参考文献：

［1］张明.模型思想在小学数学教学中的应用研究［D］.华中华师大学，2014.

［2］辛斌.在小学数学教学中培养学生模型的探讨［J］.中国校外教育，2015（12）.

·编辑 王团兰