基于约束最小二乘法的剪切型框架结构损伤识别新方法

罗 钧， 刘 纲,2， 黄宗明,2

(1.重庆大学 土木工程学院，重庆 400045; 2.山地城镇建设与新技术教育部重点实验室，重庆 400045)



基于约束最小二乘法的剪切型框架结构损伤识别新方法

罗 钧1， 刘 纲1,2， 黄宗明1,2

(1.重庆大学 土木工程学院，重庆 400045; 2.山地城镇建设与新技术教育部重点实验室，重庆 400045)

针对现有基于模态驱动的损伤识别方法在定位和定量方面的不足，提出了一种适用于剪切型框架结构的损伤识别算法。根据结构动力学特征方程，推导了剪切型结构的单元损伤系数方程，建立起单元损伤系数与损伤前后结构模态参数之间的关系；根据剪切型结构的单元损伤系数方程和约束线性最小二乘法，提出了一种适用于剪切型框架结构的损伤识别新指标，可以利用较少的模态阶次直接进行损伤的定位和定量识别。最后利用一个6自由度数值模型和试验室3层框架试验验证算法的有效性。

损伤识别；模态参数；单元损伤系数；约束线性最小二乘法；剪切型框架

结构在长期动力荷载作用下将产生损伤，结构的可靠性随之降低[1]，及时对结构的安全状态进行识别直接关系着人民的生命财产安全，具有十分重要的意义。目前，土木结构的安全状态识别主要采用定期检测和健康监测两种手段，后者结合数据采集、数据传输和损伤识别等方法，对结构运行状态进行实时监测，近年来得到了广泛应用。

基于振动的损伤识别方法以其诸多优势得到业界的广泛认可。目前此类研究方法大致可分为基于数据驱动的方法和基于模态驱动的方法，前者大多直接利用结构的响应数据建立数学模型，进而提取损伤指标进行损伤的定位定量判断，在实验室结构中得到了初步应用[2-3]，但数学模型阶次的确定仍然受诸多因素的影响，具有一定的不确定性，常对损伤识别带来不利的影响；后者具有较明确的物理意义，结合工作模态分析方法(如随机子空间法等)可实现环境激励下的损伤识别。

损伤识别主要致力于解决四个层次的问题，即判定结构有无损伤、损伤部位、损伤程度和剩余寿命[4]。目前基于模态驱动的方法可以实现前三个层次的问题。如文献[5]利用单元模态应变能的小波系数差进行简支梁和斜拉桥的损伤识别研究，数值模拟和模型试验研究表明小波变换系数的变化可以识别出结构的损伤位置；文献[6]首先利用改进的损伤变量法进行损伤定位，然后将前几阶模态振型扩充为实用完备模态空间，结合改进的单元刚度折减系数法进行损伤定量，并利用连续梁、桁架和框架结构数值算例验证了该方法的有效性。

然而上述研究需要建立精准的基准有限元模型，这在实际工程中常常无法实现，因此直接利用损伤前后模态信息进行损伤识别成为较为实用的方法。如文献[7]利用振型曲率指标对高层建筑的损伤识别问题进行研究，结果表明振型曲率对损伤较为敏感，但在阶数较高时可能出现非损伤位置变化最大的情况；文献[8]利用模态柔度曲率差作为损伤指标识别框架结构的损伤，数值模拟结果表明该方法可以对损伤进行定位。虽然上述方法在数值模拟或实验室结构上实现损伤的定位和定量，但仍存在诸多不足，如振型曲率法高阶模态误判严重、柔度曲率法选取的阶次数目无明确标准、损伤变量法缺少基准有限元模型时无法实现损伤程度的定量识别。

针对以上不足，本文首先基于结构动力学特征方程，推导了剪切型结构各单元损伤系数方程，建立了单元损伤系数与结构损伤前后结构各阶模态参数之间的关系；其次基于单元损伤系数方程和约束线性最小二乘法，提出了一种适用于剪切型框架结构的损伤识别新指标，可以利用结构损伤前后任意两阶模态参数进行损伤的定位和定量识别，避免了基准有限元模型的建立。最后利用一个6自由度数值模型和试验室3层框架试验验证算法的有效性。

1 剪切型框架结构的单元损伤系数方程

框架结构在日常工作状态下，主要的激励源是风荷载、地脉动和人群走动等，这些激励力均较小，仅能引起框架结构的微幅振动，故可近似将非线性框架等效为线性结构进行单元损伤系数方程的建立。

1.1 剪切型结构的特征方程

考虑一个n自由度的剪切型结构体系，如图1所示。质量块间以弹簧和阻尼装置连接，各弹簧刚度系数为ki，各阻尼装置阻尼系数为ci，各质量块质量为mi。则该剪切型结构体系的动力学特征方程为：

(1)

式中，φr为结构体系第r阶模态振型向量；ωr为第r阶模态的无阻尼圆频率；刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]可表示为：

(2)

图1 剪切型结构体系Fig.1 Shear model system

1.2 剪切型结构的单元损伤系数方程

将式(2)代入式(1)后展开，有：

为便于公式推导，分别以上标u、d表示结构体系处于健康状态和未知状态。令vru=(ωru)2,代入式(3)可得：

以剪切型结构弹簧刚度降低来模拟结构的损伤，即kid=(1-ai)ki，并将各单元的损伤状态采用损伤系数向量a={a1,a2,…,an}表示。设损伤前后结构的质量不变，令vsd=(ωsd)2,代入式(3)可得：

(5)

将式(4)中的三个等式分别对应代入式(5)的三个等式中，可得：

(1) 当自由度i=1时：

(6a)

(2) 当自由度i=2至n-1时：

(6b)

(3) 当自由度i=n时：

(6c)

式(6)建立的单元损伤系数方程中，健康状态第r阶模态参数和损伤状态第s阶模态参数可以通过测试得到，除单元损伤系数值外，健康状态下相邻单元剪切刚度比值亦为未知量。但注意到，健康状态下第r阶和第q阶的模态振型均满足式(4)，分别将两阶模态振型代入式(4)，并消去质量项，可得：

将上式进行化简，可得：

(7)

将式(7)代入式(6),整理化简后有：

(i=2,3,…,n-1)

(8)

式中：

式(8)给出了剪切型结构的单元损伤系数方程。根据该公式可知，仅需得到健康状态下任两阶r,q的自振频率、模态振型，以及损伤状态下的任一阶s的自振频率和模态振型，构成一个模态阶次组{r,p,s}，则可利用线性方程求解算法得出单元损伤系数值，从而识别出结构的损伤部位和绝对损伤程度。

2 剪切型框架结构的损伤识别新指标

2.1 基于约束最小二乘的损伤识别新指标

对于一个n自由度的剪切型框架结构,健康状态和损伤状态下测试得到的模态阶次常常是一致的，若测试得到健康状态和损伤状态下两个模态阶次的数据，记为r1、r2、s1、s2，可组合为四个模态阶次组：

(9)

对式(9)中的任一个模态阶次组，按式(8)可建立n个方程，四个模态阶次组可建立4n个方程，此时的未知量为n个单元损伤系数，则方程数总是大于未知量个数，利用线性最小二乘法可以求解出各单元损伤系数。

考虑到单元损伤系数总是介于0和1之间的，为保证线性最小二乘方法计算结果的合理性，本文采用约束线性最小二乘法进行求解。

当单元未损伤时，该单元的单元损伤系数为0。当单元完全损伤时，该单元的单元损伤系数为1。然而由于测试噪声和计算误差的干扰，辨识的单元损伤系数可能大于1。故本文将约束最小二乘法的上限设置为2以检验算法是否收敛到真值。

2.2 损伤识别步骤

本文建立起剪切型框架结构的损伤部位和绝对损伤程度的方法，同时考虑可能存在的测试噪声的影响，本文的识别步骤如下：

(1) 对健康状态下的结构进行多次测试，并将得到的加速度数据分为两部分，一部分为基准状态，另一部分为参考状态；

(2) 利用基准状态下的加速度数据进行模态分析，得到结构体系在基准状态下的各阶模态参数；

(3) 利用参考状态下的加速度数据进行模态分析，得到结构体系在参考状态下的各阶模态参数；

(4) 对未知状态下的结构进行多次测试，并进行模态分析，得到结构体系在未知状态下的各阶模态参数；

(5) 利用基准状态和参考状态下的任意两阶模态参数，按2.1节的方法建立单元损伤系数线性方程组，并采用约束线性最小二乘法求解得到参考状态下的单元损伤系数向量{ar}；

(6) 利用基准状态和未知状态下的任意两阶模态参数，按2.1节的方法建立单元损伤系数线性方程组，并采用约束线性最小二乘法得到未知状态下的单元损伤系数向量{ad}；

(7) 在测试误差和计算误差的影响下，不同测试数据集得到的单元损伤系数向量是波动的，然而参考状态和未知状态下损伤系数向量的均值差可以反映两种状态的平均分离程度，故本文分别计算参考状态和未知状态下的单元损伤系数向量的均值向量{amr}和{amd}，并将其差值作为最终的单元损伤系数向量{a}，即：

a=amd-amr

(10)

3 数值模拟算例

3.1 模型算例及损伤工况

如图2所示6自由度集中质点模型验证所提算法的性能。ki={1 500,1 000,1 500,1 000,1 500,1 000}，mi=1(i=1,2,…,6)；采用瑞雷阻尼假定，即[C]=α[M] +β[K]，α=0.308 09，β=7.5×10-4。损伤工况如表1所示。

图2 6自由度测试结构Fig.2 Six degree of freedom system

工况12345损伤部位k2k2k5k5k2k5损伤程度5%10%5%10%10%10%

3.2 有噪声情况下的损伤识别结果

实际工程中，频率和振型的测量常常利用加速度信号进行模态分析得到。为了更贴近实际情况，本文采用在加速度信号中添加白噪声的方式来考虑噪声的影响，并考虑不同噪声水平，噪声幅值与信号幅值比NSA分别取0.05、0.1、0.15。

加速度响应信号的采样频率为100 Hz。采用数据驱动随机子空间法[9]分别计算结构健康状态和损伤状态的模态参数。分别选取参考状态、健康状态和未知状态的100个数据段进行计算，每个数据段长度为50 000个点。

从前述理论推导可见，任意选取两个阶次的模态参数，按2.2节所示步骤均可实现损伤的定位和定量。考虑到实际测试中低阶模态更容易被准确识别，选取第1阶和第2阶模态参数的识别结果如表2至表4所示。从表2至表4的识别结果可以看出，本文方法可以正确识别结构的损伤部位和损伤程度。

表2 识别的损伤位置和损伤程度(NSA=0.05)

表3 识别的损伤位置和损伤程度(NSA=0.10)

表4 识别的损伤位置和损伤程度(NSA=0.15)

3.3 不完备测点布置的影响

从前面的分析可知，对于剪切型框架结构而言，需要测试各楼层的水平加速度响应。若由于客观条件限制，无法实现各楼层全部测试时，则可将相邻两个或几个楼层视为1个等效楼层进行测试。若等效楼层中某一层或某几层发生损伤，本文方法仍可以将损伤定位至等效楼层范围，所计算得到的损伤程度亦为等效楼层的等效损伤程度。

若算例中仅3个加速度传感器，不失一般性地，可以将传感器按图3方式进行布置，得到等效楼层模型，损伤识别结果如表5所示，准确实现了损伤部位的识别。当然也可以按另外方式组合，如单元3和单元4组合在一起，限于篇幅，此处不再赘述。

图3 加速度传感器数量不足时的等效模型Fig.3 Equivalent modal with lack of the accelerometers

等效单元号①②③工况1a0.0200.0000.000工况2a0.0410.0000.000工况3a0.0000.0000.013工况4a0.0000.0000.029工况5a0.0400.0000.034

4 试验室框架试验

4.1 试验概况

采用宽65 mm，厚4 mm，长为350 mm的钢板组成框架的梁和柱，并通过节点板和螺栓进行连接，框架的外观如图4所示。每个节点板共安装4颗螺栓，2颗与柱相连，2颗与梁或刚性基座相连。试验中通过更换标准破坏件来模拟损伤，标准破坏件如图4所示，从左至右依次切割20%，30%，40%的宽度，切割长度为210 mm。沿侧柱布置4个加速度传感器，从下到上依次编号为1～4，如图4所示。试验结构的激振力来自于激振器，通过增加底层刚度的方式将其作为上部三层钢框架的嵌固端。此时作为本文考察对象的三层钢框架结构承受来自嵌固端的稳态激励。加速度响应的采样频率为250 Hz，为了削弱外部激励特性、测试噪声和计算误差对识别结果的影响，将各结构状态的测试数据划分为64个数据段进行计算，每个数据段长度为27 500个点。具体的损伤工况设置如表6所示。健康状态下第1个数据段中传感器4的时域波形如图5所示。

4.2 损伤识别结果

采用确定性随机子空间法[10]识别该三层结构的各阶模态参数，识别的健康状态下第1个数据段的稳定图如图6所示。本试验激励形式下仅识别出第2阶和第3阶模态参数，故本文采用第2、3阶模态参数进行损伤定位和定量识别，识别结果如表7所示。

图4 三层框架模型和标准破坏件Fig.4 3-story steel frame and standard damage element

图5 健康状态下第1个数据段中传感器4的时域波形Fig.5 The acceleration response of the sensor 4 from the first dataset with the heath state

损伤位置损伤状态工况11层两根柱替换为20%切割的标准破坏件工况21层两根柱替换为30%切割的标准破坏件工况31层两根柱替换为40%切割的标准破坏件工况41层两根柱替换为40%切割的标准破坏件2层两根柱替换为20%切割的标准破坏件工况51层两根柱替换为40%切割的标准破坏件2层两根柱替换为30%切割的标准破坏件

从表7的识别结果可见，本文方法可以准确识别出结构损伤的位置和损伤程度。然而识别的损伤程度与真实值并不完全相同，原因在于加速度测试过程中存在着的噪声干扰、试验设备测试精度、计算误差和层侧移刚度降低值测试装置的系统误差。

4.3 构件损伤范围对侧向刚度的影响分析

由于试验中梁柱构件的连接采用螺栓连接，准确计算层刚度的降低值较为困难。为大致了解构件切割损伤引起的层刚度降低值，本文采用图7所示装置测试损伤前后层刚度的降低值。首先在健康状态的层节点处施加一个水平节点力，并利用千分表测量1层节点的静态位移wu，然后将柱构件替换为标准损坏件，并测量损伤情况下相同水平力作用时第1层节点的静态位移wd，最后利用式(11)计算层侧移刚度的降低比例α：

(11)

为了减少测试误差的影响，对各种结构状态，采用多次测量平均的方法得到最终的节点位移值，测试的各状态下节点位移值和层刚度降低比例见表7中真实值。值得注意的是，为避免非线性的影响，水平节点力不应过大，故本文将节点静态位移控制在0.5 mm以内。

图6 识别的健康状态下第1个数据段的稳定图Fig.6 The stabilization diagram for the first dataset with the health state

1层a真实值2层a真实值3层a真实值工况10.130.100.010.000.000.00工况20.180.180.020.000.000.00工况30.230.210.020.000.000.00工况40.210.210.120.100.000.00工况50.220.210.180.180.000.00

注：表中真实值为第4.3节方法测试得到。

图7 层侧移刚度降低比例测试装置Fig.7 The test equipment for testing the lateral stiffness reduction ratio

数值算例和试验分析的识别结果可以看出，提出方法可以准确识别框架结构的损伤部位和绝对损伤程度。地震等突发事件发生后，大面积的框架结构将发生一定程度的损伤，由于使用功能和装饰功能的要求使得目视等检测手段的应用受到限制，且裂缝形状通常为不规则形状，较难进行准确测量，使得绝对损伤程度难以通过常规方法准确获取，而本文可以为突发事件发生后框架结构的快速检测提供有效手段。

其次，相对于基于模态柔度曲率的损伤识别方法而言，本文方法采用任意两阶模态参数，且可以进行损伤绝对量的识别；相对于基于单元损伤变量法和模态灵敏度法的损伤识别方法而言，提出方法无需知道结构的质量和刚度参数信息，具有较好的普适性。

5 结 论

本文基于结构动力学特征方程和约束线性最小二乘法，提出了一种适用于剪切型框架结构的损伤识别算法。首先推导出剪切型结构的单元损伤系数方程，建立起单元损伤系数与损伤前后结构模态参数之间的关系；然后利用约束线性最小二乘法和任意两个阶次的模态参数对建立的单元损伤系数方程进行求解，得到单元损伤系数向量，实现剪切型框架结构的损伤定位和定量。理论推导、6自由度数值模拟和试验室3层框架试验表明：

(1) 本文方法无需知道结构的质量和刚度参数信息，具有较好的普适性。

(2) 本文方法可以进行绝对损伤程度的识别，为结构剩余承载力或使用寿命的评估提供依据。

(3) 除对模态阶次数量的选取有要求外，本文方法对损伤前后的模态阶次选取无其余要求。在理论上，本文方法在监测初期仅需测试任意两阶模态，在损伤状态未知情况下仅需测试一阶模态，且无需与监测初期测试的模态相匹配，具有较好的实用性。

(4) 本文提出的损伤识别算法能较为准确识别剪切型框架结构的损伤部位和损伤程度，且具有较好的抗噪性。

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Damage detection for a shear frame structure based on the constrained least squares method

LUO Jun1， LIU Gang1,2， HUANG Zongming1,2

(1. College of Civil Engineering, Chongqing University, Chongqing 400045, China;2. The Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area of the Ministry of Education, Chongqing University, Chongqing 400045, China)

In view of the existing damage detection methods in identifying the damage location and degree of the insufficiency, which are modal driven, this article proposed a new damage detection approach that allows for the damage localization and quantitative identification in a shear frame structure. Based on the structural dynamic characteristic equation, the damage coefficient equation of the shear structure was deduced, and then the relationship between the damage coefficient and the structural modal parameters before and after damage was established. Based on the damage coefficient equation and constraint linear least squares method, this work proposed a new damage identification index for shear frame structure, which allows for the damage localization and quantitative identification in a shear frame structure using a small modal parameters. Finally a simulated model and a lab-scale frame structure were conducted to verify the algorithm.

damage identification; modal parameter; element damage coefficient; constrained linear least square method; shear frame structure

中央高校理工跨学科重点项目(CDJZR14205501)

2015-06-18 修改稿收到日期：2015-10-05

罗钧 男，博士生，1986年5月生

黄宗明 男，教授，博士生导师，1957年5月生

E-mail:zmhuang@cqu.edu.cn

TU279.7+44

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.20.019