行波效应下对称多跨大跨结构的随机地震响应研究

赵 博， 王元清， 陈志华， 石永久

(1. 天津大学 建筑工程学院，天津 300072； 2. 清华大学 土木工程系 土木工程安全与耐久性教育部重点实验室，北京 100084)



行波效应下对称多跨大跨结构的随机地震响应研究

赵 博1， 王元清2， 陈志华1， 石永久2

(1. 天津大学 建筑工程学院，天津 300072； 2. 清华大学 土木工程系 土木工程安全与耐久性教育部重点实验室，北京 100084)

为了研究行波效应对于多跨大跨结构随机地震响应的影响机理，首先以两跨结构简化模型为研究对象，选取柱顶相对位移作为计算响应量，采用多点虚拟激励法对结构的响应功率谱公式进行推导，求得结构响应极值随行波频率的变化规律，最后将此方法拓展至多跨结构，分析不同跨数以及不同支承形式对于多点激励下结构地震响应的变化规律。计算结果表明：受拟静力响应影响，多跨结构中柱柱顶相对位移受行波效应影响更加显著，在大跨结构抗震设计中应该引起重视；随着跨数增加结构响应极值并没有明显提升，但不同支承形式可能导致结构受多点激励效应影响不同，针对具体的支承形式结构进行具体分析是必要的。

行波效应；多跨大跨结构；虚拟激励法；柱顶相对位移；不同支承形式

空间变化地震动是指在较大区域范围内各点振幅和相位均不相同的地震波，考虑这种地震动空间效应可能会对大跨结构抗震设计产生重大影响[1]。过去人们更多的将多点激励抗震设计应用在桥梁结构中，而忽略了其对大跨空间结构的影响。随着工程技术的发展，大跨空间结构的总长度越来越大，甚至可以达到数百米，抗震设计时考虑地震动空间效应的影响已成为国内外学术界和工程界的共识。因此，对大跨结构采用考虑地震动空间效应的多点地震激励分析方法是非常必要的。

虽然国内众多学者已经针对不同类型的大跨空间结构实际工程进行了多点激励响应分析研究[2-6]，也认识到考虑地震动空间效应对结构抗震设计的重要性，但由于实际工程往往比较特殊，即使相同类型结构的地震响应也会存在较大差异，因此很难得到普遍适用于指定类型结构的地震响应规律。这样就需要我们对标准的结构简化模型进行分析计算，系统的研究简化模型受多点激励效应的影响机理，并且与传统的一致地震激励下结构响应规律进行对比，得到适用于规范设计的实用性结论。

本文选取常见的多支承多跨大跨结构作为研究对象，分析多点激励效应下跨数增加对于结构响应的影响变化规律。柱子数量增加会导致结构的总体刚度分布有所变化，在多点激励效应下结构的响应变化规律也会变得更加复杂。而不同的支承分布形式对应于不同的结构刚度分布，也会对多点激励效应下的结构响应产生影响。据此，本文主要针对于常见的周边支承、对边支承以及满堂支承这三种支承形式进行多点激励下的结构响应分析计算，比较不同支承形式的结构对于相同多点地震动激励工况下的响应变化。

为了分析多跨结构受多点激励效应影响，本文首先从简单的两跨结构入手，采用多点虚拟激励法给出两跨结构地震响应功率谱公式的推导过程，通过分析结构响应功率谱的成分与特征，研究增加支承数量对多点激励下结构地震响应的影响机理；然后通过分析结构响应极值的变化规律，研究多点激励效应对于不同跨度结构响应的影响情况；最后通过对不同支承形式结构响应进行比较，研究不同支承形式结构受多点激励效应影响程度的差异。

1 结构模型与响应

1.1 结构模型与方程

采用图1所示单层双向多支座大跨结构简化模型。该模型假定屋盖结构平面内刚度无穷大，共nb根柱子，每根柱子可提供x方向和y方向的侧向刚度kix和kiy，结构平动质量m和转动惯量I均集中在屋盖中心处质点。地震波沿x方向入射，此时仅地震动中与波速方向垂直的水平横波可引起结构扭转以及y向柱顶相对位移。因此模型的自由度可进一步缩减，如图1所示，包括屋盖质点的y向平动位移u,z向转角位移θ以及各支座的y向平动位移ui共nb+2个自由度。

图1 多跨结构模型Fig.1 Multi-span structural model

在地面多点地震激励下建立以绝对位移表示的结构动力方程为

(1)

式中，下标s和b分别表示上部结构和支座(下同)；X为位移向量；M、C和K分别为质量、阻尼和刚度矩阵；Pb表示支座受到地基施加的力。

(2)

(3)

(4)

Xs=(u,θ)T，Xb=(u1,u2,…,unb)T

(5)

式中：xi、yi分别为以屋盖中心处质点为原点的第i根柱子的x向与y向坐标值。

1.2 支座多点激励

地震波视波速为vapp，仅考虑行波效应的多点地震动功率谱矩阵：

(6)

式中：Ti为地震波到达第i个支座的时间，而Ti-Tj=(xi-xj)/vapp即地震波在i和j支座间的延时；Sa(ω)为一致地震动加速度功率谱。根据反应谱与功率谱的近似关系，由规范反应谱直接迭代合成地震动功率谱模型[7]。其中目标反应谱选用修正后的《建筑抗震设计规范》(GB 50011—2010)反应谱[8]，如图2所示。为保证地震动位移特性的合理性，文献[8]对规范反应谱长周期段进行了必要的修正：采用T-2下降段替换反应谱的线性下降段，T-2下降段起始周期为2 s。

图2 修正后规范反应谱Fig.2 Revised code response spectrum

本文选取的具体反应谱参数为：7度多遇地震，第一组设计地震分组，Ⅲ类场地，合成的地震动加速度功率谱Sa(ω)和位移功率谱Su(ω)如图3所示。

图3 地震动功率谱密度函数曲线Fig.3 Power spectrum density function curves of earthquake ground motion

(7)

(8)

1.3 结构响应

(1) 屋盖位移

将式(1)中绝对位移分解为拟静力项和相对动力项(上标分别为s和d，下同)：

(9)

根据多点地震激励动力方程求解方法[10]，求得上部结构位移响应在频域内的表达式如下：

(10)

(11)

式中:Hu(iω)、Hθ(iω)分别为y向平动振型和扭转振型的传递函数，可以由以下公式求得：

(12)

(13)

(14)

(2) 柱顶相对位移

第i根柱的y向柱顶相对位移：

Ui=u+xiθ-ui

(15)

将Ui分解为拟静力项和相对动力项：

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

同样的，柱顶相对位移的功率谱也可由虚拟响应求得：

(21)

2 两跨结构响应功率谱

2.1 响应功率谱计算公式

将图1所示模型进一步简化：两个方向总跨度相等，Lx=Ly=L；x和y向柱子数量分别为3和2，x向两跨间距相等；两方向所有单柱侧向刚度相等kix=kiy=k；结构的刚度和质量均对称分布。根据此简化规则，由节1各式求得简化后的结构响应功率谱密度函数。

1) 屋盖位移

如前所述，屋盖位移的拟静力项无法独立影响柱顶相对位移的结果，不作为考察对象，因此仅列出位移相对动力项的功率谱

(22)

(23)

式中：ωij为第i和j支座间的行波频率ωij=2πvapp/(xi-xj)，ωij值越小则行波效应越强；对于本简化模型而言，各ωij有以下关系:ω21=ω32=2ω31。

2) 柱顶相对位移

不失一般性，仅考察柱1(角柱)、柱2(中柱)的柱顶相对位移：

(1) 柱1

(24)

(25)

(26)

(2) 柱2

(27)

(28)

(29)

3) 行波效应项

观察式(22)～式(27)可以发现，各式中体现行波效应的是以下各行波效应项：

(30)

(31)

(32)

(33)

2.2 数值计算分析

对前述解析式进行赋值计算，模型参数取值如下：m=3.0×105kg，I=1.25×108kgm，k=2.0×106N/m，L=50 m，ζ=0.05。

图4分别为ωapp=4π(vapp=100 m/s)时，式(30)～(31)各多点效应项与式(22)～(27)中其他项之间的关系图。

(a) 地面位移功率谱与EsU1(b) 地面位移功率谱与EsU2(c) 平动振型传递函数H2u与Edu(d) 扭转振型传递函数H2θ与Edθ

图4 行波效应项与相关项关系图

Fig.4 Diagram of wave-passage effect items and related items

以上各图表明，虽然各行波效应项由不同周期的三角函数叠加而成，在整个频域内呈周期型分布，但当响应解析式中存在其他项与其相乘时，其有效值的分布范围很小：

(2) 图4(c)、(d)表明，相对动力响应计算中的振型传递函数具有仅分布在自振频率附近的窄带特性，因此当振型传递函数与行波效应项相乘时，行波效应项的影响范围是有限的；当行波效应项三角函数的峰值点与自振频率重合时，结构响应可能出现极值点。

2.3 响应极值期望值

随机振动分析中直接参与计算的是输入量和输出量的功率谱，而在抗震设计中人们更关心地震输入最大值和结构地震响应最大值，目前在工程领域内，通常采用文献[11]方法计算随机过程极值期望值，并以此作为与反应谱法计算得到的结构地震响应相当的量。

改变行波频率，求得各响应极值随行波频率的变化规律，如图5～7所示。为了便于与一致地震激励结果进行比较，图中各响应值均除以一致地震激励下相应的响应值。

图5 屋盖位移相对动力项极值Fig.5 The maximum value of relative dynamic item of roof ’ s displacement

图6 柱1柱顶相对位移极值Fig.6 The maximum value of relative displacement of column 1

图7 柱1与柱2柱顶相对位移响应极值比较Fig.7 Comparison of relative displacement between column 1 and 2

(1) 图5表明，考虑行波效应后屋盖平动位移相对动力项减小，而扭转位移则由0增加；比较图5和图4可以看到，两者随行波频率的变化规律分别与对应的多点效应项曲线相似，但波动幅度随行波频率增加而减小。

(2) 图6(a)中由屋盖平动位移引起的柱1柱顶相对位移相对动力项比由屋盖转动位移引起的大得多，因此总相对动力项与前者接近，略大于前者。这说明扭转效应对于结构响应相对动力项的影响较小。图6(b)中柱1柱顶相对位移拟静力项随行波频率减小而增大，并趋于定值；总响应在行波频率较大时，相对动力项贡献大于拟静力项，随着行波频率减小，拟静力项逐渐成为总响应的主要成分。

(3) 图7(b)表明，柱1与柱2柱顶相对位移相对动力响应相近，产生微小差异的原因是柱2不受屋盖扭转位移的影响，相应的相对动力项为零导致的；而从图7(a)可以看出两者的拟静力响应差别很大，这也可以从图4中两者的拟静力行波效应项的大小关系中体现出来；总响应受拟静力响应差别的影响，柱2柱顶相对位移受多点激励效应的影响程度要大于柱1，在结构抗震设计中要更加重视。

3 多跨结构响应

随着跨数的增加，结构响应也会发生相应的变化，本文将上述两跨结构响应分析方法延伸至多跨情况，研究跨数对多点地震激励下结构响应的影响。

3.1 不同跨数的结构响应

保持结构总长、单根柱子刚度不变，增加x向柱子数量，同时调整平动质量和转动惯量，以保证各跨度的结构自振频率和振型的一致性。各模型参数见表1。通过多点虚拟激励法得到随着跨数改变各结构响应值的变化情况如图8和图9所示。

表1 结构模型参数

图8 各跨数角柱柱顶相对位移响应极值比较Fig.8 Comparison of the maximum responses of corner column’s relative displacement with different spans

图9 各跨数中柱柱顶相对位移响应极值比较Fig.9 Comparison of the maximum responses of middle column’s relative displacement with different spans

由图8(a)可以看出，随着跨数增加，拟静力响应均增大。这是由于支承数量增多，所以结构抗扭刚度增大，屋盖的扭转变形受中间支承的影响而减小，支承顶部与底部的相对位移增大。图8(b)表明，随着跨数增加，相对动力响应的变化规律越来越复杂，整体呈现下降的趋势，响应极值点会出现在行波频率更小的位置。图8(c)中的结构总响应与相对动力响应变化趋势相似，但受到拟静力响应的影响，随跨数增加结构总响应极值也会随之增大。

从两跨结构受多点激励效应的响应分析可以看出，随着跨数的增加，中柱柱顶相对位移受多点激励效应的影响比较大。图9给出了随着跨数增加，多点激励效应对中柱柱顶相对位移的影响。

图9(a)、(b)表明：随着跨数的增加中柱柱顶相对位移拟静力响应并没有太大的变化，相对动力响应呈现三角函数叠加的变化形式，随着跨度的变化，响应极值点出现的位置也会不同。图9(c)给出的结构总响应可以看出，对于不同跨数结构，总响应的极值大小相同，但是极值点分布并不相同，随着跨数增加，极值点出现的位置向右偏移，也就是行波频率较小的位置。对于同是4跨结构的不同中柱(边中柱与中柱)来说，多点激励效应的影响大致相同，且在相同位置取得相近的极值。所以多跨结构对于多点激励效应的影响，只需将所有边柱与中柱区分开来考虑即可。

3.2 不同支座分布的结构响应

图10 三种支承形式(以两跨结构为例)Fig.10 Three supporting forms (two-span)

前文以对边多支承大跨空间结构为例，详细的分析了多点激励效应对于多跨大跨结构的影响机理以及跨数改变对多点激励下结构响应的影响。而对于支撑数量增加以后大跨结构的支承分布形式多种多样，如图10所示，分别为周边支承，对边支承(沿波速方向)以及满堂支承，不同支承形式对应结构柱子的空间刚度分布有差异，结构受多点激励效应影响，各柱顶相对位移可能会产生变化，而哪一种支承分布形式更容易受多点激励效应的影响则是本节接下来要研究的问题。

仅考虑行波效应的情况下，分别计算不同支承形式各跨数结构角柱与中柱的柱顶相对位移总响应，并且求得与一致地震激励下相同响应量的比值，结果如图11～图13所示。其中对边支承形式结构的模型参数已在表1中给出，接下来，表2和表3将分别给出周边支承以及满堂支承形式结构模型参数。

表2 结构模型参数(周边支承)

表3 结构模型参数(满堂支承)

图11 不同支承形式两跨结构响应极值比较Fig.11 Comparison of the maximum responses of two span structure with different supporting forms

图12 不同支承形式三跨结构响应极值比较Fig.12 Comparison of the maximum responses of three span structure with different supporting forms

图13 不同支承形式四跨结构响应极值比较Fig.13 Comparison of the maximum responses of four span structure with different supporting forms

从图11(a)、图12(a)、图13(a)中可以看出，对于不同支承形式角柱柱顶相对位移受多点地震激励效应的影响不同，对边支承形式最大，满堂支承形式次之，周边支承形式最小。随着结构跨数的增加，这种差别也变得越来越明显。但受到结构总长度的限制，不同支承形式结构响应的差异在此体现的并不十分明显。不过对于本算例可以看出，周边支承情况下，考虑多点激励效应并不会使得角柱柱顶相对位移增大，而其他两种形式则有可能使得柱顶相对位移增加。

图11(b)、(c)、图12(b)、(c)、图13(b)、(c)则表明，对于中柱柱顶相对位移受多点地震激励效应的影响，对边支承与满堂支承两种支承形式结构响应相同，周边支承结构响应会更大。同样，随着跨数增大，这种差异会变得更加明显。无论哪种支承形式，对于考虑多点激励效应各中柱柱顶相对位移均有所增加。

从图11～图13中可以看出，对边支承与满堂支承的各个结构响应量变化规律都很相似，这主要是由于沿着地震波传播方向，两种结构的整体刚度分布相同，导致在考虑多点激励效应(行波效应)时，各柱子间产生的结构响应差异相接近，使得最终的结构响应变化规律相接近。由此可见，结构整体的刚度分布也是改变结构受多点激励效应影响程度的因素之一。考虑地震动空间效应的情况下，不同的支承形式结构响应不同，因此针对于特定的支承形式进行结构多点激励下地震响应研究是必要的。

4 结 论

本文首先以对边支承形式两跨结构简化模型为例，以柱顶相对位移作为结构响应量，采用多点激励虚拟激励法对行波效应项进行推导，通过分析其表达式组成成分和特征来研究行波效应对两跨结构地震响应的影响机理，并且给出结构响应极值随行波频率的变化规律；然后将此研究方法拓展至多跨情况，分析不同跨数以及不同支承形式对于多点激励下结构地震响应的变化规律，得到以下结论：

(1) 由屋盖平动位移引起的角柱柱顶相对位移相对动力项比由屋盖转动位移引起的大得多，因此总相对动力项与前者接近，略大于前者。这说明扭转效应对于结构响应相对动力项的影响较小。

(2) 角柱与中柱柱顶相对位移相对动力响应相近，而两者的拟静力响应差别很大，总响应受拟静力响应差别的影响，中柱柱顶相对位移受多点激励效应的影响程度要大于角柱，在结构抗震设计中要更加重视。

(3) 跨数增加以后，结构响应受多点激励效应的影响变得更加复杂。随着跨数增加，角柱柱顶相对位移的拟静力响应增加，而相对动力响应减小，结构总响应与相对动力响应变化趋势相似，但受到拟静力响应的影响，随跨数增加结构总响应极值最大值也会随之增大，但增加幅度不大；中柱柱顶相对位移拟静力响应并不随着跨数改变，所以总响应的极值最大值也不随跨数发生变化，但可以明显看出跨数增加，响应极值最大值出现在了结构总长度与视波速比值更大的位置。

(4) 不同支承形式的结构受多点激励效应的影响程度也不相同，主要原因在于不同支承形式导致结构整体刚度分布不同，在受到不一致地震激励时，结构响应也会不同。对于角柱柱顶相对位移受多点激励效应而言，对边支承形式响应最大，满堂支承形式次之，周边支承形式响应最小；而对于中柱而言，结论刚好相反，对边支承与满堂支承形式结构响应相同但均小于周边支承形式；并且随着跨数的增加，不同支承形式之间的响应差异变得更加明显，而不同支承形式响应最大值点的分布并没有变化。因此，针对于具体的支承形式结构进行具体分析是必要的。

本文旨在研究行波效应对于多跨大跨结构地震响应的影响机理，而具体的影响程度会受结构跨度、柱子抗侧刚度等诸多参数条件影响而产生变化，但结构相应的响应规律并不受参数选取所限，所得到的规律性结论可适用于其他同类型结构，这也是本文研究目的所在。

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A study on the random seismic response of large symmetric multi-span structures to wave-passage effect

ZHAO Bo1, WANG Yuanqing2, CHEN Zhihua1, SHI Yongjiu2

(1. School of Civil Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China;2. Key Laboratory of Structural Engineering and Vibration of Education Ministry, Department of Civil Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

This paper aimed at studying the influence mechanism of the seismic response of large multi-span structures to wave-passage effect. A simplified two-span structural model was firstly studied and the relative displacement of columns was used as the response. The response power spectrum density formulae were derived by the multi-support pseudo excitation method. The changing law of the structural seismic peak response with wave-passage frequency was also calculated. These procedures were extended to study the influence of different amounts of spans and different supporting forms to the structural seismic response of multi-span structures. The result shows that: due to the pseudo static response, the relative displacement of the middle columns is larger than the corner columns and it should be paid more attention in structural seismic design; the peak response does not increase significantly with the increase of spans; however, different supporting forms may lead to distinct response. It is thus necessary to calculate the structural response to multi-support excitations according to a specific supporting form.

wave-passage effect; large multi-span structures; pseudo excitation method; relative displacement of columns; different supporting forms

国家自然科学基金重点项目(51038006); 高等学校博士学科点专项基金资助课题(20090002110045)

2015-08-03 修改稿收到日期：2015-11-12

赵博 男，博士生， 1987年9月生

陈志华 男，博士，教授，博士生导师，1966年10月生

TU311.3; O327

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.20.002