椭圆的简单几何性质第1课时

陈晨

一、设计说明

（一）教材分析

平面解析几何研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质.前一节学生已经根据椭圆的几何条件建立起椭圆的标准方程，因而本节的主要任务就是根据椭圆的标准方程来研究椭圆的简单几何性质.这种根据曲线的方程去讨论曲线的几何性质的研究（思想）方法，学生还没有深刻的领悟，因此在教学中要让学生经历研究过程，形成研究体验，领会解析几何的基本思想方法，从而为后继学习双曲线及抛物线时学生的自主研究打下坚实的基础.

（二）本课教学的基本设想及研究问题

基本设想：从学生的现实出发，通过适当的启发引导，促使学生通过自己的主动探究，理解并掌握椭圆的简单几何性质，领会解析几何的基本思想方法.

研究问题：（1）基于学生现实，设计有价值的启发性问题，能否成功地激活学生的探究欲望；（2）对课前预设实践性检验，为今后处理预设与生成问题积累经验.

二、教学简案

教学目标：（1）引导学生经历对椭圆的几何性质的研究过程，理解椭圆的范围、对称性、顶点及离心率.（2）会利用椭圆的几何性质解决一些简单的问题.（3）引导学生领会利用方程研究曲线的性质的解析几何思想.

教学重点：椭圆的简单几何性质.

教学难点：利用方程研究曲线的思想方法.

教学方法：引导探究法.

教学过程设计：

（一）提出问题

步骤一：复习提问.

问1：椭圆是怎么定义的？

问2：根据条件|MF1|+|MF2|=2a（2a>2c），我们求出了椭圆的标准方程，有几种形式？

（旨在激活学生有关椭圆的知识经验）

步骤二：明确研究问题.

引1：我们根据几何条件求椭圆标准方程的目的是什么？（提示：解析几何中我们研究的是哪两类问题？）

引2：我们已经根据椭圆的几何条件建立起椭圆的标准方程，下一步的任务是什么？

揭题：椭圆的简单几何性质.

引3：椭圆有两种形式的标准方程，我们是否需要一一加以研究呢？

（回忆解析几何的基本思想，促使学生产生问题意识，形成研究问题）

（二）引导探究

问题：请同学观察椭圆，你能发现椭圆有何性质吗？（若学生有反映，则按照学生的思路进行；若没有反映再由教师引导进入对称性的教学）

模块一：对称性.

步骤一：引导学生感知、欣赏椭圆的对称美.

引1：仔细观察一下这个椭圆，你发现椭圆的图形有何美妙之处？（美不美？）

引2：那它关于什么对称呢？

步骤二：启发学生从椭圆的标准方程理性地认识其对称美.

引1：我们从图像观察到椭圆的对称美.能否换个角度通过它的方程来观察椭圆的对称美呢？（引导学生观察图像）比如我们怎样通过方程说明椭圆是关于x轴对称呢？

（若学生不能做出回答）则提问：如果在椭圆上任取一点（x，y）那么它关于x轴的对称点是什么？这个点在不在椭圆上呢？（追问）如何说明这个点在椭圆上？

引2：如何说明椭圆关于y轴对称呢？如何说明椭圆关于原点对称呢？

若前面学生未认识到椭圆关于原点对称，可提问：椭圆既关于x轴对称，也关于y轴对称，那么椭圆也关于什么对称？

得出结论：椭圆具有对称性，关于x轴、y轴、原点对称，原点是椭圆的对称中心，简称为椭圆的中心.

（教学椭圆关于x轴对称时以教师引导学生积极思维，其余以学生为主）

步骤三：总结并迁移研究椭圆对称性的方法.

引：刚才是如何判断椭圆的对称性？这种方法能否运用到一般的曲线中去呢？如果能，请研究下列方程所表示的曲线：（1）x2=4y；（2）x2+2xy+y=0的对称性.

步骤四：引导学生利用椭圆对称性画椭圆.

引：我们借助于椭圆方程研究了椭圆的对称性，那么知道了椭圆的对称性有什么好处呢？利用椭圆的对称性可以干什么呢？（运用手势在椭圆图形上比画提示学生）

步骤五：引导学生对椭圆对称性的研究过程进行小结.

（旨在加强体验，突出基本数学思想方法）

模块二：顶点.

步骤一：引导学生发现椭圆的顶点.

引：在研究椭圆对称时，它的曲线上有没有比较突出的对称的点？如果有，是哪些点？你能指出来吗？

步骤二：启发学生利用方程求顶点坐标.

引：那么它们的坐标是多少呢？怎么求的？

步骤三：引导学生定义椭圆顶点、长轴、短轴.

步骤四：引导学生领悟数学真、善、美的统一.

引1：三个参数a，b，c都有了各自的几何意义，它们是？

引2：椭圆方程中的b是怎么来的？

引3：三个参数a，b，c它们之间有何关系？在椭圆的图形上有反映吗？

步骤五：练习巩固，深化理解.

步骤六：引导学生对椭圆的顶点的研究过程进行小结.

（意在强化解析几何的基本数学思想方法）

模块三：范围.

步骤一：引导学生感知椭圆的范围.

引1：椭圆有这样四个顶点，这四个点的位置有何特殊？能用数学语言表达出来吗？

引2：你能画出不等式组所表示的平面区域吗？

步骤二：启发学生理性地推导椭圆的范围.

引：那我们能否也通过椭圆方程对其加以验证呢？

步骤三：引导学生利用椭圆的范围作椭圆的草图.

根据范围，画出下列椭圆的草图：

（1）x216+y24=1；

（2）x216+y29=1.

步骤四：引导学生对椭圆范围的研究过程进行小结.

（再次强调解析几何的基本思想方法）

模块四：离心率.

步骤一：引导学生感知椭圆存在扁圆程度不一.

引：请大家观察下列各图中的两个椭圆，它们有什么区别？

步骤二：引导学生寻求描述椭圆扁圆程度的量——离心率.

引导学生对3个图进行研究：影响这两个椭圆扁圆的因素有哪些？如何来描述它们的扁圆程度呢？

启发学生：椭圆中一共有三个参数，共六个比值，选择哪一个来表示椭圆的扁圆程度呢？

引导学生共同分析，借助于直观手段，确定e=ca.

步骤三：运用椭圆的离心率比较其扁圆程度.

试比较下列椭圆的（1）y24+x2=1；（2）x2+3y2=1的扁圆程度.

步骤四：引导学生对椭圆离心率的研究过程进行小结.

（体验几何问题代数化的思想）