Wald等式的鞅方法证明

徐 怀

(安徽大学 数学科学学院, 安徽 合肥 230039)



Wald等式的鞅方法证明

徐 怀

(安徽大学 数学科学学院, 安徽 合肥 230039)

通过构造鞅,利用鞅的停时理论,给出wald等式一个新的证明方法,最后应用于一个数值例子.

Wald等式; 鞅; 停时; 停时定理

Wald等式在随机数学领域中,如更新定理的证明、复合随机变量的均值和非规范U统计量的性质方面有广泛的应用[1-4].常见的证明方法是应用示性函数,随机变量独立性以及收敛定理来给予证明.

本文通过构造鞅的方式,应用鞅停时定理,给出Wald等式的一个新的证明方法.鞅论是随机数学中占有重要位置,在风险数学和金融数学等领域有基础性的应用[5-7].

首先给出鞅定义:

定义1 设有两个随机过程{Xn,n≥1}和{Yn,n≥1},如果

② E(Xn+1|Y1,Y2,…,Yn)=Xn.

则称{Xn,n≥1}关于{Yn,n≥1}是鞅.

鞅的背景来源于公平赌博,上式表明,如果第n次赌博后的资金为Xn,则第n+1次赌博后的平均资金恰好等于Xn,即每次赌博胜负机会相等.在鞅的理论中,停时定理是研究的重点,常见的有几个,例如:

1 主要结论

Wald等式的内容及鞅方法证明如下:

定义2 设{Xn,n≥1}为随机序列,T为取非负整数的随机变量,fn=σ(Xk,1≤k≤n),即为由{Xk,1≤k≤n}生成的σ代数.若对任一n≥0,都有{T=n}∈fn,则称T关于{Xn,n≥1}是停时(StoppingTime).

可以这样来理解这个定义,设{Xn,n≥1}为随机序列,T为取非负整数的随机变量,若对任一n∈{0,1,2,…}的,事件{T=n}仅依赖于X1,X2,…,Xn而与Xn+1,Xn+2,…独立.

停时也被称为马尔科夫时间(MarkovTime).下面叙述Wald等式并采用鞅停时定理完成证明.

定理2(Wald等式) 设{Xn,n≥1}独立同分布,μ=E(Xn)<∞,T关于{Xn,n≥1}是停时,且ET<∞,则

证明 首先构造一个鞅,令

明显地,有

(1)

由于{Xn,n≥1}相互独立及μ=E(Xn)<∞,则式(1)可写为

所以

即

下面验证{Zn,n≥1}满足定理1的条件,

由定理1,得E(ZT)=E(Z1)=0.有

即

证毕.

2 数值例子

例1 设{N(t),t≥0}是由独立同分布的非负随机变量序列{Xi,i≥1}构成的更新过程,即

且E(Xn)<∞,记SN(t)+1=X1+X2+…+XN(t)+1,计算E(SN(t)+1).

解 明显地{N(t)+1=n}={N(t)=n-1}={Sn-1≤t

利用Wald等式可得:

其中,m(t)=E(N(t)),在更新理论中,称之为更新函数.

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【责任编辑: 胡天慧】

ANewProofforWald’sEquation

Xu Huai

(SchoolofMathematics,AnhuiUniversity,Hefei230039,China)

Usingtheoptionalsamplingtheorem,anewprooffortheWald’sequationispresentedbyformingamartingale.Forillustrationpurposes,anumericalexampleisgiven.

Wald’sequation;martingale;stoppingtime;optionalsamplingtheorem

2016-05-31

安徽高校自然科学研究重点项目(KJ2016A033).

徐 怀(1976-),男,安徽长丰人,安徽大学副教授.

2095-5456(2016)05-0429-02

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