截面对称的高层建筑弯曲剪力流计算

李亚红，王赞芝*，张余萍，马瑞彦，李世碧，于世龙

（1.广西科技大学土木建筑工程学院，广西柳州545006；2.河北工程技术学院，河北石家庄050091）

截面对称的高层建筑弯曲剪力流计算

李亚红1，王赞芝*1，张余萍1，马瑞彦2，李世碧1，于世龙1

（1.广西科技大学土木建筑工程学院，广西柳州545006；2.河北工程技术学院，河北石家庄050091）

基于平面假设和经典薄壁杆件理论，通过对截面对称的薄壁杆件剪力流的计算与分析，推导了在剪力作用下，具有多室（三室以上）双对称截面高层建筑剪力流的简化计算，为其它复杂且截面对称的薄壁结构剪力流的计算提供了较精确的依据，并给出了算例及剪力流分布的图示结果．

对称；薄壁截面；多室；剪力流

0　引言

薄壁杆件剪力流计算时是以薄壁杆件理论和弹性力学作为理论基础，但计算过于复杂［1－3］．一般地，对于具有n个室的多室闭口截面薄壁杆件，在剪力Qy作用下，首先在每个室的任意位置切开唯一的切口，使之成为一个完全开口截面杆，开口截面在剪力作用下的剪力流为q0，每个切口处的附加剪力流为qr（r＝1，2，…，n），再根据切口处两边纵向相对位移为零，推导出第i室切口处的位移协调条件，这样n个室，就有n个位移协调条件，相当于解n阶方程，n很大时，计算量随之变大．王忠义等［4－5］在计算薄壁多室箱型截面结构的剪力流时，将其归结为求解一个线性方程组，利用方程组系数矩阵正定的特点，运用了平方根解法；王强等［6－7］在薄壁杆件理论的基础上推导出非对称多室薄壁箱梁腹板弯曲剪力流的计算公式；张旭慧［8］运用有限元法分析薄壁腹板的剪力流，这些都大大提高了计算效率和结果的精度．但在实际工程和制造领域，双对称截面的薄壁杆件的使用相对更加广泛［9］，如矩形或圆形截面的高层建筑等．充分考虑截面的对称性可以进一步简化剪力流的计算．基于此，本文在平面假设的前提下研究双对称截面薄壁杆件弯曲时的剪力流．

1　具有3室的对称闭口截面薄壁杆件剪力流的计算

1．1闭室的编号及截面相关的原始数据标识符

各闭室编号分别为①，②，③，截面上下左右对称，其对称轴分别作为x，y轴，建立坐标系，如图1所示．

图1　闭室编号及截面原始数据示意图Fig.1 Number of close room and coordinate system

1.2切口位置的选择

切口位置的选择决定着后续的简化计算，如图2所示，切口位置具有对称性．

1.3在剪力Qy作用下剪力流q0

因截面为双对称，o x轴，o y轴均为主轴［10］，对x，y轴的主惯性矩分别为Ix，Iy；对x，y轴的静矩分别为Sx，Sy，则在剪力Qy作用下的开口截面剪力流的计算公式为：

图2　切口位置示意图Fig.2 Cut position

式（1）中δ为壁厚，计算时假设Qy／Ix=1，利用对称性，只需求出关键点的剪力流，得到的剪力流如图3所示.

1.4各室附加剪力流qi

由于各室的切口是虚拟的，实际并无切口，即切口处的相对纵向位移为0，分别考虑周边和附加剪力流引起的变形［11］，有第i室的位移协调方程为：

图3　开口薄壁截面剪力流q0示意图Fig.3 Shear fluid q0of open-thin section

式（2）两边同时乘以G得

式（3）中积分i∫表示沿第i室周边的闭路积分，qi为i室隔壁的第k室的剪力流，积分ik∫表示沿相邻的i室和k室的公共壁积分［12］．

当i＝1，2，3时，由式（3）列出方程组：

闭口截面薄壁杆件的剪力流q为q0与qi的叠加，最终的剪力流如图4所示.

1.5对于此类具有多室闭口截面薄壁杆件剪力流计算的分析

通过上述分析，得出以下结论：

1)将闭口截面通过切口转化为开口截面，剪力作用下相应的剪力流也转化为开口截面的剪力流与各室附加剪力流的叠加，这样间接地将一个复杂的问题转变为2个简单易分析的问题，起到了化繁为简的目的；

2)由图3可以看出开口截面①和③室的剪力流关于y轴反对称，而①室和③室的附加剪力流的大小相等，符号相反，最后叠加所得的剪力流关于y轴反对称；因此，此类规则截面薄壁杆件的剪力流，只需选取①室、②室进行计算，然后根据对称，③室便可直接得到；

图4　闭口薄壁截面的剪力流q示意图Fig.4 Shear fluid q of close-thin section

3)切口位置的选择对此类规则闭口截面薄壁杆件剪力流的计算能否简化起到了至关重要的作用．切口位置关于y轴对称使得中间②室的剪力流q0关于y轴反对称，即而2)得出的q1＝－q3，使得最终计算出的②室附加剪力流q2=0，这一结论直接运用到工程实例中，可以大大简化计算步骤．

2　计算、校核

图5　底层结构平面图Fig.5 Plane of bottom struction

图6　底面剪力及坐标系Fig.6 Bottom shear and coordinate system

深圳市统建商业住宅楼是由两座塔形主楼构成的高层楼房，底层结构平面如图5所示，底层承受剪力Qx＝0，Qy＝1 037 kN，如图6所示，计算出此截面的剪力流（框架剪力墙的墙厚δ=240mm）．

因截面为双对称，o x轴，o y轴均为主轴，Ixy＝0，Ix＝1 591．08m4，Qy／Ix＝0．652 kN／m4，由1.5节得出的结论，只需选取3个室进行分析计算，闭室的编号及假象的开口位置如图7所示.

根据1.5节2），3）可知，只需求得①，②，④室的剪力流即可，④室的附加剪力流为0．设Qy／Ix=1，开口后截面的剪力流q0如图8所示．

图7　闭室编号及假象的切口位置Fig.7 Number of close room and virtual cut position

图8　高层建筑开口截面剪力流q0Fig.8 Shear fluid q0of open-thin section of high rise building

由1.5节2）知：与①室，②室关于y轴对称的室的附加剪力流的大小分别与①，②相等，符号相反．

①室的位移协调条件为：

因为Qy／Ix＝0．652 kN／m4，将算得的q1，q2叠加到q0，得到最后的剪力流如图9所示.

1处上、左、右的剪力流分别为10．78，10．18，0．60；

2处的剪力流为2．03；

3处的剪力流为6．79；

4处的剪力流为8．40；

5处上、左、右的剪力流分别为为15．54，4．94，10．60；

6处下、左、右的剪力流分别23．34，11．20，12．14；

7处的剪力流为9．20；

8处的剪力流为24．14（剪力流的单位均为kN／m）．由于对称性其他各室关键点的剪力流省略．

运用平方根法进行校核：

首先设Qy／Ix＝1，通过式（3）得到变形公式：

图9　高层建筑截面剪力流示意图Fig.9 Shear fluid of section of high rise building

A是7阶对称正定矩阵，存在下三角矩阵L满足A=LLT．求得L后，求解方程组A qi=b，可以转化为求解2个方程组Lc=b；LTqi=c，得到表1.

由上表可得，①，③，⑤，⑦室的附加剪力流大小相等；②，⑥室的附加剪力流大小相等；④室的附加剪力流为0，这与本文得到的简化计算的结果基本一致．简化计算后的q1，q2值与表1进行对比，误差小于0．4％，且来自计算中的四舍五入．

表1　方程组的解Tab．1 Solution of equation group

3　结论

本文基于平面假设及经典薄壁杆件理论［13－14］，通过对双对称薄壁杆件剪力流计算的研究和分析，得出以下结论：

1）具有双对称截面的等厚薄壁杆件在关于主轴对称的荷载的作用下，剪力流同样具有对称性，为简化剪力流的计算和讨论其影响提供了新方法；

2）本文论述的剪力流简化计算方法与非对称截面薄壁杆件的有所不同；

本文充分利用薄壁杆件截面的对称性，选取具有对称性的开口位置，开口薄壁截面也就具有对称性，由式（1）和图3可知，开口截面的剪力流也具有对称性，然后通过公式推导得到1．5节的理论分析结果，减少计算附加剪力流过程中未知量的个数，为工程实例中薄壁杆件截面剪力流的简化计算提供了一定的依据．

3）本文论述的剪力流计算方法较常规的剪力流计算有一定先进性，简化步骤的同时还有较高的精度，但是也存在局限性，薄壁杆件的厚度相等是本文结论成立的前提条件．

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（学科编辑：黎娅）

Calculation of shear flow in high rise building with symmetrical section

LI Ya-hong1,WANG Zan-zhi*1,ZHANG Yu-ping1,MA Rui-yan2,LI Shi-bi1,YU Shi-long1
（1.School of Civil Engineering and Architecture,Guangxi University of Science and Technology, Liuzhou 545006,China;2.Hebei Polytechnic College,Shijiazhuang050091,China）

Through calculating and analyzing the shear flow of thin-walled bar with three closed chamber and symmetrical section,the simplified calculation of the shear flow of the high rise building section with multi-chamber (three rooms above)is deduced under the action of shear,the accurate basis is provided for the calculation of shear flow of thin-wall structure with other complex and symmetrical section.The calculation examples and the shear flow distribution results are shown.

symmetry;thin walled section;multi-chamber;shear flow

TU33

A

2095-7335（2016）04-0081-06

10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2016.04.015

2016－05－16

广西科技大学博士基金科研项目（院科博0901）资助．

王赞芝，博士，副教授，研究方向：桥梁与隧道工程，E－mail：568175754＠qq．com．