基于关键链的非抢占式多项目调度多属性优化

王伟鑫,葛显龙,王 旭,倪 霖

(1.四川外国语大学国别经济与国际商务研究中心,重庆400031; 2.四川外国语大学国际商学院,重庆400031; 3.重庆交通大学管理学院,重庆400074; 4.重庆大学机械工程学院,重庆400040)

基于关键链的非抢占式多项目调度多属性优化

王伟鑫1,2,葛显龙3,王 旭4,倪 霖4

(1.四川外国语大学国别经济与国际商务研究中心,重庆400031; 2.四川外国语大学国际商学院,重庆400031; 3.重庆交通大学管理学院,重庆400074; 4.重庆大学机械工程学院,重庆400040)

针对多项目调度中难以实现动态调度和高效调度的问题,从多项目调度整体效用最大化角度,提出基于关键链的非抢占式多项目调度操作模式,构建多项目调度模型.利用正态云模型中云滴的随机性与稳定性的特征改进遗传算法中交叉算子与变异算子的设置方式,并对模型进行数据模拟和算例分析.结果表明,采用非抢占式操作模式,不仅可实现多项目调度的整体效用最大化,而且可实现多项目调度的帕累托改善并提高资源的利用率.

关键链;多项目调度;云遗传算法;非抢占式

1　引　言

多项目调度具有动态性和复杂性的特点,因共享项目资源,故一个子项目调度计划的变更会引起多项目间的级联效用,使得项目执行中存在延期完工的风险[1],且多项目调度存在闲置状态的资源调配难度大等问题,降低了资源利用率[2].关键链方法从工期的不确定性和资源约束视角论述了该方法的优越性[3],关键链的缓冲设置方式增强了其应对不确定性的能力,但因不确定因素的诱因难以辨识制约了调度的效果.为了进一步提高多项目调度的资源利用率并制定适合不确定环境下的调度策略,本文在采用关键链多项目调度方法的基础上,分析非抢占式操作模式对调度计划的影响,是关键链多项目调度研究的扩展和延伸.

针对多项目调度应对不确定性因素能力不足和资源利用率低等问题,目前的研究主要采用模糊调度、随机调度和关键链方法(critical chain method,CCM)等[4-6],因关键链方法考虑了多项目调度工期的不确定性,更符合其实际需求而广泛的应用于多项目调度领域.Rabbania等[7]提出CCM的资源受限随机网络项目调度方法,但未能充分考虑关键链的特性,本质上仍是一种随机调度方法;Bevilacqua等[8]研究发现CCM能最大限度的缩短项目工期并降低运行成本;彭武良等[9]分析了活动多模式和工期的不确定的资源受限关键链项目调度问题,并建立了多模式关键链项目调度模型,其实质是一种复杂的重调度过程;刘琼等[10]提出以CCM多项目的鲁棒性指标最大化和工期最小化为目标,建立关键链多项目的调度优化模型,提高了调度计划应对不确定性的能力.

随着调度环境的变化和多项目调度的研究视角不断延伸,国内外学者根据多项目调度的动态性和资源冲突等问题,探研调度模式在关键链多项目调度中的作用.Debels等[11]提出双种群遗传算法(BPGA)解决非抢占式执行模式的资源受限项目调度问题;Buddhakulsomsiri等[12]证明在存在资源闲置和临时资源不可用的情况下,非抢占式调度模式能有效的缩短项目工期.多项目调度传统的调度操作模式(即抢占式操作模式)假设活动一旦开始中途就不能停止直到活动完成,传统的调度操作模式在工期不确定及执行动态调度计划情况下调度质量还有待改进[13].而多项目调度的非抢占式操作模式打破了传统的活动一旦开始中途就不能停止的操作模式,允许优先级较高的任务抢占优先级较低的任务资源,且重新开始没有任何额外费用[14].因此,非抢占式操作模式在提高资源利用率和缩短项目工期等方面的表现优于传统的抢占式操作模式.但基于关键链的多项目调度中常存在墨菲法则和帕金森定律的问题,且基于关键链的多项目调度的子项目之间存在级联效应,单个项目延期会影响到其他的子项目.所以,基于关键链的多项目调度抵御不确定性的能力更弱,即鲁棒性更低.

对现有的多项目调度问题进行综览[15-20],以往研究多以工期最小化、成本最小化、资源平衡、时间–成本均衡以及现金流均衡等为优化目标,多项目调度中存在资源利用率低和应对不确定性因素能力不足等问题,以工期或成本等单一目标为优化目标,与多项目实际的需求不匹配.而项目的工期,成本及质量等目标间具有明显的成本替代性,一个目标的实现是以牺牲另一个目标为代价.因此,本文从多项目整体效用最大化角度出发,对工期–成本–质量–鲁棒性目标进行多属性均衡优化,力求在多项目动态调度的前提下,提高资源利用率.

综上所述,分析非抢占式操作模式对基于关键链的多项目调度策略的影响,从多项目调度整体效用最大化角度,构建并剖析以工期–成本–质量–鲁棒性为优化目标的多项目调度模型,利用正态云模型中云滴的随机性与稳定性的特征改进遗传算法中交叉算子与变异算子的设置方式.最后,通过算例验证模型和算法的有效性.

2　基于关键链的非抢占式多项目调度模型

针对多项目动态调度过程中资源利用率低、调度的鲁棒性较低以及工期与成本之间的背反关系问题展开研究,以工期、成本、质量和鲁棒性为优化目标,但四个属性不具备同类可比性.为此,采用多属性效用函数法建立问题模型.本文所使用的符号定义如表1所示.

表1　符号定义Table 1 Notation definition

2.1效用函数及问题描述

多属性效用函数利用试验心理学原理,把基于关键链的多项目调度策略映射为不同的效用值,从而找到使多项目调度效用最大化的资源分配和任务调度方案.为了更准确的描述问题,需明确如下定义:

定义1属性是影响调度决策的一个或一组变量.分为成本型属性(即数值越低越好)和效益型属性(即数值越高越好).成本型属性可表示为rij=min(aij)/aij,i=1,2,...,I,j=1,2,...,J.效益型属性可表示为rij=aij/max(aij),i=1,2,...,I,j=1,2,...,J.

在工期、成本、质量和鲁棒性四个属性中,工期和成本属性是成本型属性;质量和鲁棒性是效益型属性.对其进行规范化处理可以得到矩阵R=(rij)I×J.

定义2在基于关键链的非抢占式多项目调度中,对整体服务质量的满意程度称为效用.

定义3多项目调度过程中各优化目标之间建立的函数关系称为效用函数,记为U(rij).

基于关键链的非抢占式多项目调度问题包含有N个子项目,各个子项目之间并行执行,不存在紧前紧后关系.根据多属性效用函数的分解定理,可得

其中αT,αC,αQ,αL≥0,αT+αC+αQ+αL=1.

效用函数的优化目标是求解最大值,即效用值越大,生成的调度方案越优.因此,解空间是凸集且效用函数均为凹函数,故采用效用函数的二次函数形式.项目总工期D的工期效用值为1,则

多项目调度的成本由可更新资源和不可更新资源的成本构成.其效用函数值为1,则有

基于关键链的非抢占式多项目调度的质量的效用值为1时,则有

基于关键链的非抢占式多项目调度的鲁棒性效用值为1时,则有

2.2建立多属性均衡优化模型

本文所使用的符号定义见表1.为了使基于关键链的非抢占式多项目调度的效用最大化,提出以工期–成本–质量–鲁棒性为优化目标的决策变量,并利用多属性效用函数构建基于关键链的非抢占式多项目调度多属性均衡优化模型.其模型如式(6)～式(19)所示.

式(6)是目标函数,表示基于关键链的非抢占式多项目调度的多属性均衡优化问题的总效用最大;式(7)表示活动j最早开始时间不能比它的紧前活动i的持续时间小;式(8)表示采用自适应缓冲方法设置项目的缓冲值,项目的缓冲由项目按时完工的期望概率决定;式(9)表示资源利用程度,决定了设置缓冲的数值.T在计算项目缓冲时表示关键链的长度,在计算汇入缓冲时表示非关键链的长度.在设置汇入缓冲时,对比缓冲尺寸和非关键链上最后一个活动的自由时差的大小,将较小者设置为缓冲大小,这种方法有效的避免因缓冲设置过大而产生的关键链发生变化的问题.式(10)和式(11)分别表示对项目中可更新资源和不可更新资源的约束;式(12)表示插入缓冲的位置,即当关键链上的活动出现一个不在关键链上的资源约束的活动或者是紧前活动时,就在该活动与关键链之间插入一个汇入缓冲PB.式(13)表示项目的总工期;式(14)表示项目的总成本;式(15)表示多项目的总质量水平;式(16)和式(17)分别表示质量价值和质量指数的计算方法;式(18)表示多项目调度的鲁棒性(采用活动松弛时间和最小活动松弛时间的均值之和量度其鲁棒性);式(19)表示自由松弛时间的计算方式.当关键链上活动的自由松弛时间为零(关键链鲁棒性最大)时,非关键链上活动的自由松弛时间也将最大化即非关键链上所有活动的机动时间将变得宽裕.因此,后续活动的开始时间的稳定性得到改善,使鲁棒性得到提高.

3　求解算法设计研究

3.1优先权调度规则

多项目调度方法产生的初始调度计划是建立在各个活动的优先权确定的基础上,确定各个活动的优先权将导致解的空间缩小,且不能确保生成的调度解使基于关键链的非抢占式多项目调度的多属性均衡优化目标最优.优先权规则下基于关键链的非抢占式多项目调度执行步骤如下:

1)确定各个活动的优先权;

2)生成多项目调度的积极计划;

3)确定关键链与非关键链;

4)计算缓冲区并嵌入缓冲区并生成非抢占式关键链多项目调度计划的方案.

将不在关键链上且有紧前关系的活动串联起来,所得到的就是多项目调度的非关键链.由于调度计划的制定过程中会出现多条关键链的现象,对此问题,根据关键链上各个活动的效用值选择效用值最大的一条关键链作为最终关键链,其他的按非关键链处理.采用自适应缓冲设置的方法设置关键链多项目调度的项目缓冲和汇入缓冲,根据项目缓冲和汇入缓冲的插入规则确定项目缓冲和汇入缓冲在各个活动中间的插入位置,插入缓冲后所得到多项目调度计划即为关键链多项目调度计划的实施方案.

3.2云遗传算法

标准遗传算法(static genetic algorithm,SGA)存在收敛速度慢或陷入局部收敛等缺陷,需对交叉和变异概率进行调试才能获得较为理想的收敛效果.而本文中的算例对算法要求更高,为此,在传统遗传算法的基础上引入云模型理论,利用云模型云滴的随机性和稳定倾向性的特征,改进遗传算法中的交叉和变异概率的设置方式,设计了云遗传算法.在算法的初期设置较大的交叉和变异概率以求快速产生优秀个体,在算法的后期设置较小的交叉和变异概率,适应度高的优秀个体以较小的概率参与交叉变异以保护优秀个体不被破坏,从而加速了的算法的全局收敛.利用正态云模型的控制参数在种群适应度发生变化时进行自适应调整,提高了搜索精度和搜索范围的准确程度,交叉概率Pc和变异概率Pm的生成算法如下:

Pc的生成算法.

其中k1,k2,k3,k4为[0,1]范围内的常数,取k1=k3=1,k2=k4=0.5.由此可知,Pc和Pm的初始值较大,的初始值较大,但随着种群的不断进化而逐渐减小.在标准遗传算法的基础上引入云模型理论,正态云模型稳定倾向性保留了最大适应度周围的优秀个体,并提高适应度较低的个体,但随着种群的不断进化而逐渐减小.在标准遗传算法的基础上引入云模型理论,正态云模型稳定倾向性保留了最大适应度周围的优秀个体,并提高适应度较低的个体的搜索能力从而生成更大解空间内的新的个体,有效改善了算法的随机性.对于非抢占式多项目调度的多属性均衡优化问题,采用云遗传算法进行求解,能大幅度提高了算法的鲁棒性.云遗传算法的具体步骤如下:

1)编码设计:本文选用多组编码的染色体结构,染色体的基因对应活动的编号,基因的值对应一个优先权列表.自然编码表示任务优先权,优先权为1～m之间的自然数,优先权的数值越大表示优先权越大.为保证染色体的有效性,活动的优先权必须与基因建立一一对应的关系,以满足解空间分布的均匀性和搜索的全局性的要求.染色体结构如图1所示.

图1　染色体结构Fig.1 Chromosome structure

2)初始种群:随机产生优先权的全排列Wu(t),染色体所确定的各个任务的优先权是关键链生产的重要依据,由上文中提出的关键链计划生成的步骤确定最终关键链,并计算项目缓冲和嵌入缓冲,最后确定缓冲插入的位置.

3)适应度函数:适应度函数是评价染色体优劣的依据,为此,设计是适应度函数为fit(t)=1/u(t),其中u(t)表示个体的目标值,所以适应度函数值越小表示个体越优.

4)交叉算子:由云模型X发生器生成种群的交叉概率Pc,计算交叉算子的确定度u、Ex、En和He,由X条件云发生器生成一对个体,采用双交叉点操作,选择一个基因交叉点将选中的基因编码置于子代染色体首位,在删除父代染色体相同基因编码的基础上按原编码顺序复制到子代上,如果生成违反约束条件的子代染色体则对叉入点位置进行调整.变异操作见图2所示.

5)变异算子:由云模型X发生器生成种群的变异概率Pm,Ex取原个体,计算En和He,利用云发生器生成一个新个体,当在(0,1)产生的随机数temp＞u时,则随机选择染色体中的两个基因并对换两者的基因码,生成新的染色体,变异操作见图3所示.

6)重复步骤2)到步骤5),当Maxgen=50或满足条件则停止操作,输出结果.

4　试验仿真

4.1算例分析

以3个并行项目构成的多项目调度问题为例,对基于关键链的非抢占式多项目调度的多属性均衡优化模型及云遗传算法进行试验仿真.多项目调度各个活动的相关信息见图4所示,共包含36个活动及虚拟开始活动和虚拟结束活动.基于关键链的非抢占式多项目调度问题中包含4种可更新资源和4种不可更新资源,资源种类、各活动的资源消耗量和工期等资源使用信息详见表2所示.单位工期的间接费用率c=4,六种资源单价分别为

图2　交叉操作Fig.2 Crossover operation

图3　变异操作Fig.3 Mutation operation

由MATLAB实现云遗传算法编程,对建立的模型进行求解.设种群规模Popsize=50,为满足种群多样性的要求,进化代数的取值为Maxgen=50,求得关键链在项目2上.因此,基于关键链的非抢占式多项目调度多属性均衡优化问题的最大效用值为u(T,C,Q,L)=0.863,T=32,C=1 568,Q=0.891,L= 0.732.

表2　资源使用信息Table 2 Using information of resources

图4　多项目网络结构图Fig.4 Network structure diagrams of multi-project

由图4可知,基于关键链的非抢占式多项目调度问题利用多属性效用函数建立数学模型,根据工期、费用、质量和鲁棒性四个属性均衡优化项目目标,优化的结果能帮助管理者和经营者有效的控制和监管多项目的进度.根据算例的结果,管理者和经营者根据项目关注点的不同做出多属性的均衡优化决策.

4.2非抢占式与抢占式操作模式对比分析

本文提出基于关键链的非抢占式多项目调度问题,从项目调度问题网站http://129.187.106.231/psplib/上下载标准算例,以PSPLIB‘数据J10,J20和J30为例,测试采用非抢占式和抢占式操作模式的结果,详见表3所示.MRCPSP(%)(多模式资源受限项目调度问题,multi-mode resource-constrained project scheduling problems,MRCPSP)表示基于MRCPSP的关键路径的平均偏差;NP-MRCPSP(%)(非抢占式多模式资源受限项目调度问题,non-preemptive multi-mode resource-constrained project scheduling problems,NP-MRCPSP)表示基于NP-MRCPSP的关键路径的平均偏差;Impr.(%)表示NP-MRCPSP相对MRCPSP的平均完工时间的改善程度;BETTER表示非抢占式解决方案高于MRCPSP解决方案的的数量;EDUAL表示非抢占式解决方案等于MRCPSP解决方案的数量;WORSE表示非抢占式解决方案小于MRCPSP解决方案的的数量.

从表3可知,在资源约束条件下,项目工期与资源量密切相关,影响不可执行模式的分配,基于关键链的多项目调度问题采用非抢占式操作模式能明显缩短项目工期.因此,非抢占式操作模式能得到更优的多项目调度方案.

表3　非抢占式与抢占式操作模式对比统计结果Table 3 Comparative statistical results of operation mode of preemptive and non-preemptive

4.3算法对比分析

为了检验云遗传算法的性能,本文分别采用标准遗传算法、禁忌搜索算法和云遗传算法对上述算例进行算例分析,采用各算法的计算结果收敛情况如图5所示.

图5　算法收敛对比图Fig.5 The contrast diagram of algorithm converges

由图5可见,虽然禁忌搜索算法的收敛速度最快,但是容易产生局部最优解,而云遗传算法收敛速度比禁忌搜索算法略慢,但其收敛下降速度最快,因此,其全局收敛能力在三者中最强.并且,为了进一步检验算法的有效性,将上述算例计算20次对其最优值、最劣值和平均值三个指标进行统计,计算结果如表4所示:

分析表4所示的数据,发现云遗传算法的搜索成功率最大,禁忌搜索算法的搜索成功率最小.最劣值和平均值都是云遗传算法的结果最小,从而反映出云遗传算法的全局搜索能力最强.

基于关键链的非抢占式多项目调度问题,三种算法均能计算出比较好的解,但是采用非抢占式操作模式会增加多项目调度活动的数量.云遗传算法动态改变其交叉变异率,使得算法的初期能够比较快的产生优秀个体,算法的后期能保护最优个体,且全局搜索能力强.因此可以得出结论,云遗传算法能在保证收敛的同时提高全局搜索能力.

试验表明,本文设计的云遗传算法在全局搜索和快速收敛方面优越其他智能算法,能够保证基于关键链的非抢占式多项目调度问题对求解算法的要求.

表4　仿真结果对比分析Table 4 Comparative analysis of simulation results

分析表4所示的数据,发现云遗传算法的搜索成功率最大,禁忌搜索算法的搜索成功率最小.最劣值和平均值都是云遗传算法的结果最小,从而反映出云遗传算法的全局搜索能力最强.

5　结束语

针对基于关键链的多项目调度资源利用率低、鲁棒性较低及其成本与工期之间的背反关系问题展开研究,深入分析不确定因素对多项目调度内部资源使用率的影响,按照活动的可执行性将其拆分为若干的子活动,并执行非抢占式执行模式,在提高多项目调度资源利用率的基础上,降低不确定因素对多项目调度系统的影响,以工期–成本–质量–鲁棒性为优化目标,利用效用函数建立多目标均衡优化模型,并设计云遗传算法对问题进行求解.

结果表明,基于关键链的多项目调度采用非抢占式操作模式,不仅可实现整体效用最大化,而且可实现多项目调度的帕累托改善并提高资源的利用率.对设计的算法进行了实验计算,云遗传算法在求解效率、收敛速度和稳定性方面优于其他智能算法.本文仅分析了基于关键链的非抢占式多项目调度问题,但没有根据不确定性因素的特点及对多项目调度执行过程的影响,采用不用的策略分别展开研究.基于多项目调度系统的复杂性,其执行过程中的不确定因素和干扰的识别和描述还有待进一步研究和细化.

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Multi-attribute optimization for non-preemptive multi-project scheduling based on critical chain

Wang Weixin1,2,Ge Xianlong3,Wang Xu4,Ni Lin4
(1.Research Center for International Business and Economics,Sichuan International Studies University,Chongqing 400031,China; 2.School of International Business,Sichuan International Studies University,Chongqing 400031,China; 3.School of Management,Chongqing Jiaotong University,Chongqing 400074,China; 4.College of Mechanical Engineering,Chongqing University,Chongqing 400030,China)

For difficult to realize the dynamic dispatching and efficient project scheduling in multi-project scheduling,this paper proposes a non-preemptive operation mode for multi-project scheduling based on critical chain from the standpoint of maximizing the overall utility,constructs and analyzes the multi-project scheduling model.The randomness and stability of droplets in normal cloud model is adopted to improve the setting mode of crossover and mutation operator in the genetic algorithm,and a numerical simulation is carried out.The results show that the proposed non-preemptive operation mode can maximize the overall utility of multi-project scheduling and realize Pareto improvement to increase the resource utilization rate.

critical chain;multi-project scheduling;cloud genetic algorithms;non-preemptive

TP273

A

1000-5781(2016)05-0689-11

10.13383/j.cnki.jse.2016.05.013

2013-08-12;

2014-12-01.

国家自然科学基金资助项目(71502021);教育部人文社科基金资助项目(15XJC630007);教育部人文社科基金资助项目(14YJC630038);重庆市教委科学技术研究资助项目(KJ1500702).

王伟鑫(1986—),女,黑龙江齐齐哈尔人,博士,讲师,研究方向:项目调度,工程项目管理,Email:xiaoxin301@126.com;

葛显龙(1984—),男,河南信阳人,博士,副教授,硕士生导师,研究方向:网络优化,项目管理,Email:gexianlong@cqjtu.edu.cn;

王 旭(1963—),女,四川南充人,博士,教授,博士生导师,研究方向:物流工程,项目管理,Email:wx921@163.com;

倪 霖(1971—),男,重庆人,博士,副教授,硕士生导师,研究方向:供应链管理与现代物流,项目管理,Email:nilin71@163.com.