大胆猜测，巧妙构建

张丽军

【摘 要】函数是高中数学的重要内容之一，在高考中占有很大的比重。而自从浙江高考将导数放入选修模块之后，函数的命题方向转向了含参的二次函数及绝对值的综合题型，这类题变量多，分类讨论繁，成了好多学生无法攻克的难关。

【关键词】含参；二次函数；绝对值不等式

函数是高中数学的重要内容之一，在高考中占有很大的比重。而自从浙江高考将导数放入选修模块之后，函数的命题方向转向了含参的二次函数及绝对值的综合题型，这类题变量多，分类讨论繁，成了好多学生无法攻克的难关，而有些时候绝对值不等式能够很巧妙的解决这类问题。下面笔者将这类题型加以整理，供大家参考。

绝对值不等式：

（当且仅当 时左边“=”成立， 时右边“=”成立）

例1.（2015年浙江理科卷）已知函数 记 是 在区间 上的最大值.

（1）证明：当 时， ；

（2）当a，b满足M（a，b）

≤2时，求 的最大值.

解析：本题第（1）问是证明含绝对值的最值问题，所以可以用绝对值不等式证明

（1）证明如下： 的对称轴 满足

在 上单调

两式相加得：

例2.（金丽衢十二校2015学年高三第二次联考）设 ，若对于 都成立，则

解析：本题可先将 换元成二次函数，转化为含绝对值的二次函数的最值问题。难点在于有两个变量，讨论繁琐。那么对于填空题，我们可不可以大胆猜测一下，是不是存在一个特殊情况，使得不等式成立呢？

解：令 ，则 可化为

原问题即可转化为 都成立

粗解： 是开口向上的二次函数， 不妨令 ，可得

此法虽然可以得出 的值，但是没有说服力，那么如何给出正解呢？仔细思考上面给出答案的方法，可以发现只需将三个位置代入，利用绝对值不等式即可.

正解：由题意，有 ，

由 可得 ，由 可得

例3.已知函数 ，设函数 在区间 上的最大值为 .

若 ，求 的值；

若 对任意的 恒成立，试求 的最大值.

解析：本题的第（2）小题即求 在 上最大值中的最小值，

可以考虑区间端点和中点，然后运用绝对值不等式求出最值

解（2）：由题意： ，

，当且仅当 ，即 时取到“=”，

即

点评：通过对上述3个例子的求解，我们可以发现一个规律，求函数 在定区间 的最大值 ，则 有一个最小值，当且仅当 时取到最值。方法如下：

因为 ，所以

所以

思考：若二次函数含三个参数时，还能否用到上述方法呢？

例4.设 ，对任意满足 的实数 ，都有 ，则 的最大可能值为 .

粗解：设 ，可令 ，得 ，

，所以 的最大可能值为3

正解：由题意： ，

所以 即 的最大可能值为3

通过上述例子，我们可以发现，对于含参及绝对值的二次函数的最值问题，一般可以先考虑区间的端点及区间中点，然后借助绝对值不等式，合理配凑，得到所求的最优解。