特值引路先猜后证

张建虎

含参不等式恒成立问题是近年高考的一类热点题型，因而是我们高考备考复习的重要内容.然而，纵观这几年的高考试题，笔者发现无论采用最值法，还是分离参数法都不能有效地解决问题.若采用分离参数法，由于分离后函数形式的复杂而无法求出函数的最值，往往结果是有始无终；若不分离，对动态问题中的参数又无法分类.面对这样的两难问题，考生对这类题得分往往很低.针对以上问题，笔者给出解决此类题的一个方法：“特值引路，先猜后证”.

例1设函数f（x）=a（x+1）2ln（x+1）+bx，x>-1.曲线y=f（x）过点（e-1，e2-e+1）且在点（0，0）处的切线方程为y=0.（1）求a，b的值；（2）若x≥0时，f（x）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围.

解（1） f ′（x）=2a（x+1）ln（x+1）+a（x+1）+bx，

由题意得f ′（0）=a+b=0，

f（e-1）=ae2+b（e-1）=a（e2-e+1）=e2-e+1，

所以a=1，b=-1.

（2）依题意得（x+1）2ln（x+1）-x-mx2≥0在x∈[0，+∞）上恒成立.

当x=0时，0≥0成立，m∈R.

当x>0时，m≤（x+1）2ln（x+1）-xx2，

令h（x）=（x+1）2ln（x+1）-xx2，则m≤h（x）min.

由洛必达法则得

limx→0h（x）=limx→0+（x+1）2ln（x-1）-xx2

=limx→0+2（x+1）ln（x+1）+x2x=limx→0+2ln（x+1）+32=32，

所以，猜想得m≤32，下证（x+1）2ln（x+1）-xx2≥32.

上式化为（x+1）2ln（x+1）-x-32x2≥0.

令g（x）=（x+1）2ln（x+1）-x-32x2.

则g′（x）=2（x+1）ln（x+1）-2x，

g″（x）=2ln（x+1）>0.

所以，g′（x）单调递增且g′（x）>g′（0）=0，由此得g（x）单调递增且g（x）>g（0）=0，

所以，（x+1）2ln（x+1）-x-32x2≥0成立，

即（x+1）2ln（x+1）-xx2≥32.综上得，m≤32.

例2（2010年全国卷）设函数f（x）=1-ex，（1）证明：当x>-1时，f（x）≥xx+1；（2）设x≥0时，f（x）≤xax+1，求a的取值范围.

解（1）略.

（2）当x≥0时，0≤f（x）=1-ex<1.

所以要使f（x）≤xax+1成立，必须ax+1>0在x≥0时恒成立，即必须a≥0.

当x=0时，不等式为f（0）=0≤0，所以a∈R.

当x>0时，由1-e-x≤xax+1得ax+1≤x1-e-x，

即a≤11-e-x-1x=x-1+e-xx-xe-x.

令h（x）=x-1+e-xx-xe-x，则由洛必达法则得

limx→0+h（x）=limx→0+x-1+e-xx-xe-x=limx→0+1-e-x1-e-x+xe-x

=limx→0+e-x2e-x-xe-x =limx→0+12-x=12，

所以，猜想得a≤12.

下证11-e-x-1x>1211-e-x>12+1x=x+22x

2-x2+xex<1.

令g（x）=2-x2+xex，则g（x）=-xx（2+x）2<0.

所以g（x）在（0，+∞）上是减函数.所以g（x）

例3（2014年全国）已知函数f（x）=ex-e-x-2x.（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设g（x）=f（2x）-4bf（x），当x>0时，g（x）>0，求b的最大值.

解由（1）知x>0时，ex-e-x-2x>0.

从而4b

令h（x）=e2x-e-2x-4xex-e-x-2x，则由洛必达法则得

limx→0h（x）=limx→0e2x-e-2x-4xex-e-x-2x=limx→02e2x+2e-2x-4ex+e-x-2

=limx→04e2x-4e-2xex-e-x=4limx→0（ex+e-x）=8.

所以，猜想得e2x-e-2x-4xex-e-x-4x>8.

下证e2x-e-2x-4xex-e-x-4x>8e2x-e-2x-4x-8（ex-e-x-2x）>0.

令t（x）=e2x-e-2x-4x-8（ex-e-x-2x），

则t′（x）=2e2x+2e-2x-4-8（ex+e-x-2），

t″（x）=4e2x-4e-2x-8（ex-e-x）

=4（ex-e-x）（ex+e-x-2）>0，

所以，t′（x）在（0，+∞）上是增函数.所以，t′（x）>t′（0）=0，

所以，t（x）在（0，+∞）上是增函数，从而t（x）>t（0）=0成立，即不等式成立.由4b≤8得b≤2.

牛顿曾指出：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现.”因此在解题过程中要善于运用合情推理：“特值引路，先猜后证.”即通过特值猜想求出使问题成立的必要条件，再证明其具有充分性即可.“特值引路，先猜后证”，只有敢于猜想，大胆假设，才能从多层次，多角度地去思考问题，促使思维打破常规，产生新的思路，从而攻克导数难关.因此，考生应该大胆猜想再努力寻求论证方法.