小题小解事半功倍决胜高

考刘英

新课标《数学考试说明》指出：数学学科的命题将按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识，能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养.新课标数学高考对考生能力要求主要指：空间想象能力，抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，数据处理能力，实际应用意识和创新意识.这样在高考中，数学科的考查更趋向于“难点多，技巧性强，规律覆盖全面，题目类型广阔，知识点密度大，探索性创新性强”.考生在解答高考数学题时，面临着严峻的考验.许多考生在考场上手忙脚乱，疲于奔命，对于小题（12个选择4个填空）存在着小题当大题作，浪费许多时间，导致大题做不完或没有时间做，几多遗憾悔恨在考场啊！

小题小作，在于平时总结规律，积累经验，挖掘技巧，虽说“学无定法”，但一定有法可循.

笔者就近些年高考小题的解法作一些探讨.

一、熟练运用“小结论” ——通式通法

高考中，学生除记住课本上的公式的条件结论之外，还应记住一些在习题，例题，通用的参考书中的一些“典型的具有统一规律”的“小结论”，运用它们解小题，常常一步到位，省时省力，准确率高.

例1（2012年河南卷第6题）设等差数列{an}前n项和为Sn，若Sm=9，S2m=36，则S3m=

A.63B.45C.81D.70

分析若由Sm=9，S2m=36，列方程求首项a1和公差d后再求S3m，解起来很麻烦，小题大做浪费时间.有“小结论”：等差数列{an}每相邻m项的和仍然组成等差数列.于是Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差数列.于是本题9，36-9，S3m-36成等差数列，得出S3m=81.

例2（2012年山东14题）定义在R上的函数f（x）满足f（x） ·f（x+2）=13，f（1）=2，则f（99）=.

分析若x逐个取值从x=1到99相当耽误时间，用“小结论”若f（x+a）=kf（x），则2a是f（x）的一个周期，很方便.

f（x+2）=13f（x），则4是f（x）周期，f（99）=f（4×24+3）=f（3）=13f（1）=132，简单巧妙.

例3（2x+3）10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，

则（a0+a2+a4+…+a10）2-（a1+a3+a5+…+a9）2.

分析运用以下“小结论”：f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn的所以奇次项的系数和a1+a3+a5+…=f（1）-f（-1）2，所有偶次项系数和a0+a2+a4+…=f（1）+f（-1）2.

故所求值[f（1）+f（-1）2]2-[f（1）-f（-1）2]2

=f（1）f（-1）=（2-3）10=（-1）10=1.

类似的“小结论”还有：等比数列每相邻m项的和（不为零时），依次组成的数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m也成等比数列.

若函数f（a+x）=f（a-x）或f（x）=f（2a-x），则其图象关于直线x=a对称.

奇函数在原点两侧具有相同的单调性，偶函数在原点两侧具有相反的单调性（常值函数除外）

幂函数y=xa，a>1时，曲线下凸；0

记函数f（x）定义域M，值域N，则a≥f（x）恒成立的充要条件是a≥[f（x）]最大值，a≤[f（x）]恒成立的充要条件是a≤[f（x）]最小值.

设z为复数，则z为实数z=，z为纯虚数z+=0且z≠0.

点M（x0，y0）在圆或椭圆F（x，y）=0的内，上，外部 F（x0，y0）的值小于0，等于0，大于0.

双曲线焦点到渐近线的距离为b，椭圆和双曲线的通径长2b2a.

抛物线过焦点的弦被焦点分成两段长分别为m，n，

则1m+1n=2p.

f（x+a）=-f（x），f（x+a）=±kf（x），k≠0常数，则2a是f（x）的一个周期.通过细心探索和研究能挖掘出很多我们常说的“通式通法”，它们是有统一规律的，能解一类题，触类旁通，平时多注意积累，发现规律并运用规律，从实践中来，再到实践中去.

二、求解小题（选择和填空题）的基本方法

1.直接求解法

例1（2014年新课标1） （1+i）3（1-i）2=

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

解（1+i）3（1-i）2=（2i）（1+i）-2i=-1-i，选D.

例2（2015年陕西）椭圆x22a2+y2b2=1 （a>b>0）和双曲线x2a2-y2b2=1 （a>0，b>0）有相同的焦点F1，F2，则椭圆和双曲线离心率平方和为.

解94.

2.图象法

利用函数图象或数学结果的几何意义，将“数”的问题与某些图形结合起来，利用几何图形的直观性，再辅以简单计算，确定正确答案.

例3（2014年山东）已知函数f（x）=|x-2|+1，g（x）=kx，若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围

A.（0，12）B.（12，1）

C.（1，2）D.（12，1）

解先作f（x）=|x-2|+1的图象，当直线g（x）=kx与AB平行时斜率为1，当g（x）=kx过A点时斜率为12，故f（x）=g（x）有两个不相等的实根，k的范围是（12，1）.

3.筛选法（排除法，淘汰法）

例4（2014年北京）下列函数中在区间（0，+∞）上为增函数的是

A.y=x+1B.y=（x-1）2

C.y=2-xD.y=log0.5（x+1）

解C，D为减函数，要排除，而B在（0，1）为减函数，排除，只选A.

4.特例法

例5（2014年四川）若a>b>0，c

A.ac>bdB.acbcD.ad>bc

解由a>b>0，cbd，A正确，排除B、C、D.

5.信息迁移法

例6（2015年山东）规定函数y=f（x）图象上的点到坐标原点距离的最小值叫做函数y=f（x）的“中心距离”，给出以下四个命题：

（1）函数y=1x的“中心距离”大于1.

（2）函数y=-x2-4x+5的“中心距离”大于1.

（3）若函数y=f（x） （x∈R）与y=g（x） （x∈R）的“中心距离”相等，则h（x）=f（x）-g（x）至少有一个零点.以上命题是真命题的个数有

A. 0B. 1C. 2D. 3

解析命题（1）显然正确；对于命题（2），令y=0，得x=-1或x=5，故（2）错误；对于命题（3）举特例，如函数y（x）=-x+1与函数g（x）=-x-1的“中心距离”相等，但两函数表示的直线平行，所以h（x）=f（x）-g（x）无零点，则（3）错误，故选项B正确.

6.验证法（代入法）

将选择支中给出的答案或特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，以判断选择支正误的方法.在运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，能较大提高解题速度.

例7（2014年新课标）设f（x），g（x）定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是

A.f（x）g（x）是偶函数B.|f（x）|g（x）是奇函数

C.f（x）|g（x）|是奇函数D.|f（x）g（x）|是奇函数

解析|f（-x）|=|-f（x）|=|f（x）|，则|f（x）|是偶函数.|g（-x）|=|g（x）|，则|g（x）|是偶函数.

观察分析得选项C正确.（奇函数×偶函数=奇函数）

在考场上，想要事半功倍，决胜高考，要从容镇静，恰当灵活选用解小题的特殊方法和小结论，快速准确答完小题，为大题的解答赢得充裕的时间.以上笔者所述，旨在抛砖引玉，愿同学们小题小解的功夫修炼成熟，在考场上决战取胜，扬帆驶进自己理想的高等学府，大展宏图之志，实现自己的中国梦，报效祖国，造福人民.