第14讲“实际应用问题”复习精讲

王芳

专题精讲 实际应用问题是指以现实生活为背景，突出体现数学的应用意识，培养和发展创新能力的一类问题.此类问题内容新颖，形式多样，解法灵活、巧妙，一直是中考命题的热点.常涵盖方程、函数、不等式以及三角形、四边形等知识，着重考查同学们的阅读、收集和处理信息、知识应用和问题转化、语言表述和数理推导等多种能力，其本质特征就是通过题中所给信息进行分析后。创造性地去发现、创新，最后解决问题。

实际应用题一般涉及生活生产、环境保护、节能减排、国情国策、市场经济、社会热点、新闻事件等题材，取材新颖，立意巧妙.解题时需通过分析、抽象构建数学模型.中考中的实际应用题主要涉及以下几个方面：（1）列方程（组）型；（2）列不等式型；（3）建立函数模型.解决此类问题的策略通常分为四个步骤：第一，要认真阅读，读懂关键词语，审清题意；第二，引进数学符号，寻找数量关系，确立数学模型；第三，灵活利用多种数学方法，认真解答；第四，要对求得的解进行深入讨论或者验证其准确性.其中关键是建立数学模型。 重点题型例析

一.列方程（组）解应用题

列方程（组）时应把握四个重要环节：一是认真审题，弄清题意，找出等量关系；二是根据问题所求，适当设出未知数，通常直接设未知数，有时间接设未知数：三是根据相等关系列出方程，解方程；四是检验所求的解是否符合实际意义.

例1（2015·海南）小明想从“天猫”某网店购买计算器，经查询，某品牌A型号计算器的单价比B型号计算器的单价多10元，5台A型号的计算器与7台曰型号的计算器的价钱相同，A、B两种型号计算器的单价分别是多少？

解析：设A型号计算器的单价为X元，则日型号计算器的单价是（x-lO）元，依据“5台A型号的计算器与7台日型号的计算器的价钱相同”列出方程并解答.

依题意得5x=7（x-lO），解得x=35.所以35-10=25（元）.

答：A型号计算器的单价为35元，B型号计算器的单价是25元.

点拨：解题关键是要读懂题目的意思.根据题目给出的条件.找出等量关系.除了列方程求解外.还可以设两个未知数列方程组求解.

例2 （2015·巴彦淖尔）我市某超市举行店庆活动，对甲、乙两种商品实行打折销售，打折前，购买2件甲商品和3件乙商品需要180元，购买1件甲商品和4件乙商品需要200元.而店庆期间，购买10件甲商品和10件乙商品仅需520元，这比打折前少花多少钱？

解析：设甲商品单价为z元，乙商品单价为y元，根据购买2件甲商品和3件乙商品需用180元，购买1件甲商品和4件乙商品需用200元，列出方程组，求出两种商品的单价.进而解决问题.

购买10件甲商品和10件乙商品打折前需花费lOx（24+44）=680（元），而打折后实际需要520元。

这比打折前少花160元.

点拨：本题采用间接设元法，通过列方程组求出甲、乙两种商品的单价来解决问题.

例3（2015·连云港）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元.这样按原定票价需花费6 000元购买的门票张数，现在只花费了4800元.

（1）求每张门票的原定票价.

（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率.

（2）设平均每次降价的百分率为y，根据题意得400（1-y）²=324，解得y1=0.1，y2=1.9（不合题意，舍去）.

所以平均每次降价10%.

点拨：本题考查了一元二次方程与分式方程的应用，其中第（1）问列分式方程解决问题，不要忘记检验，第（2）问列一元二次方程解决问题，注意舍去不符合实际意义的根.

二.列一元一次不等式解应用题

列一元一次不等式解应用题一般步骤如下：（1）审题，抓住问题中的关键词（句），找出不等关系；（2）设一个未知数，这个未知数一般是与所求问题有直接关系的量；（3）用含有未知数的式子表示出不等关系的各个量，列出不等式；（4）求出不等式的解集（或求出不等式的整数解）；（5）根据不等式的解集（或整数解）解决问题。

例4（2015·广西）已知购买1个足球和1个篮球共需130元，购买2个足球和1个篮球共需180元.

（1）求每个足球和每个篮球的售价.

（2）如果某校计划购买这两种球共54个.总费用不超过4000元，最多可买多少个篮球？

点拨：本题考查二元一次方程组及不等式的应用.其中列二元一次方程组求出篮球、足球的单价是列不等式的关键.列不等式解决问题，要正确求出不等式的解集，并确定整数解.

例5（2015·山西）某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发价格与零售价格如表1.

该经营户用l 520元批发西红柿和西兰花，要想当天全部售完后所赚钱数不少于1050元，则该经营户最多能批发西红柿多少千克？

点拨：解决本题的关键是从表格中获取信息.抓住“赚钱数不少于1050元”这一关键句列不等式.

建立函数关系式解决应用题的一般步骤：（1）设定实际问题中的变量；（2）建立变量与变量之间的函数关系式，如一次函数、二次函数；（3）确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；（4）借助函数的性质（如增减性、最值等）解决问题.

例6（2015-无锡）某工厂以80元/箱的价格购进60箱原材料.准备由甲、乙两车间全部用于生产A产品.甲车间用每箱原材料可生产出A产品12千克，需耗水4吨：乙车间通过节能改造，用每箱原材料可生产出的A产品比甲车间少2千克，但耗水量是甲车间的一半.已知A产品售价为30元/千克，水价为5元/吨.如果要求这两车间生产这批产品的总耗水量不得超过200吨，那么该厂如何分配两车间的生产任务，才能使这次生产所获取的利润w最大？最大利润是多少？（注：利润=产品总售价一购买原材料成本一水费）

解析：设甲车间用x箱原材料生产A产品，则乙车间用（60-x）箱原材料生产A产品.

由题意得4x+2（60-x）≤200，解得x≤40.

w=30[12x+lO（60-x）]-80x60-5[4x+2（60一x）]=50x+12600.

50>0，

随X的增大而增大

当x=40时，W取得最大值，为14600元.

答：甲车间用40箱原材料生产A产品，乙车间用20箱原材料生产A产品，可使工厂所获利润最大.最大利润为14600元.

点拨：本题考查一次函数及不等式的综合应用，解决本题的关键是建立利润与原材料箱数之间的函数关系式，并借助一次函数的增减性确定最大利润.

例7（2015·泉州）某校在基地参加社会实践活动中.带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69m的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3 m的出入口，如图1所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：

点拨：本题主要考查二次函数的应用，借助二次函数解决实际问题.其中在确定自变量取值范围时要结合题目中的图形，找到关于x的不等式.

综合归纳：（1）列方程（组）解应用题，以列二元一次方程组和分式方程为命题重点，其中列二元一次方程通常与列不等式综合考查，这类问题一般涉及两问，第一问列方程组求解，第二问列不等式组求解.解决这类问题应认真审题，找出问题中的相等关系和不等关系，设出合适的未知数，列出方程、不等式.

（2）函数应用题因其综合了方程、不等式等内容，容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值，近年来一直是中考命题的热点.求解的基本思路是建立函数关系式，确定自变量的取值范围，结合函数的性质解决实际问题.

中考命题预测

1.华联超市将进货单价为40元的商品如果按50元销售，就能卖出500个，而这种商品每涨价1元，其销售就减少10个，如果你是超市经理，为了赚得8000元的利润，你觉得售价应定为多少？这时应进货多少个？

2.一次会议上，参加会议的每两个人都互相握手一次，有人统计一共握手了66次.问：这次会议到会的有多少人？

3.某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本.

（1）符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来.

（2）若组建一个中型图书角的费用是860元.组建一个小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？

4.某体育用品专卖店销售7个篮球和9个排球的总利润为355元，销售10个篮球和20个排球的总利润为650元.

（1）求每个篮球和每个排球的销售利润.

（2）已知每个篮球的进价为200元，每个排球的进价为160元，若该专卖店计划用不超过17400元购进篮球和排球共100个，且要求篮球数量不少于排球数量的一半，请你为专卖店设计符合要求的进货方案.

5.某厂制作甲、乙两种环保包装盒.已知同样用6m材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制成一个乙盒需要多用20%的材料.

（1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少米材料.

（2）如果制作甲、乙两种包装盒共3000个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍.那么请写出所需要材料的总长度L（m）与甲盒数量n（个）之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料。