5.2图形的相似与解直角三角形

左绪芳

重点难点易混易错点剖析

复习重点：

（1）比例的基本性质以及相似三角形的性质与判定，

（2）锐角三角函数的概念、特殊角的三角函数值、解直角三角形的实际应用（主要是解决测量、航行、工程等生活中的实际问题，要注意把握各类图形的特征及解法），

复习难点：

（1）根据题目中给出的条件选择合适的方法进行相似三角形的判定是复习的难点，判定两个三角形相似一般先找两组对应角相等：若只能找到一组对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”，要针对具体的图形，有平行线的可围绕平行线找相似；有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例：有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边，

当问题中出现比例、线段的积、边或角所在三角形与已知的边或角所在三角形不全等的情况时。一般借助相似解决问题，如果题目中没有直接给出两个相似三角形，那么可以结合题目中的条件，通过适当添加“辅助线”构造出相似三角形，进而应用相似三角形的性质解决相关问题。

（2）解直角三角形问题中运用“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的基本思想是难点，解直角三角形时，如果题中有现成、直接可用的直角三角形，我们可直接运用解直角三角形的知识求解；否则需要作辅助线构造直角三角形来解决，常见的辅助线添加方法有两种，一种是作高线构造直角三角形，另一种是作平行线构造直角三角形，注意灵活应用，在计算时不能直接算出某些量时，可利用方程思想加以解决，

易混易错点：

（1）相似也是指图形间的一种相互关系，但它与“全等图形的形状、大小完全相同”不同，这两个图形仅仅形状相同，大小不一定相同，其中一个图形可以看成是另一个图形按一定比例放大或缩小而成的，这种变换是相似变换，当放大或缩小的比例为1：l时，这两个图形就是全等的，全等是相似的一种特殊情况，

（2）利用解直角三角形的知识解决实际问题时要弄清楚仰角、俯角、方位角、方向角、象限角、坡度、坡角等有关概念的含义，只有掌握了这些概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系。才能利用这些关系结合实际问题建立模型，利用数形结合的思想方法，通过计算、推理等方式使实际问题得到解决，

点拨：平行线分线段成比例是探究相似三角形最重要最基本的工具，利用它一方面可以直接判定具有一定位置关系的四条线段成比例；另一方面，当不能直接证明某个比例式成立时，常利用这个基本事实把两条线段的比转化为另外两条线段的比，当三角形中出现平行线求线段的长时，常利用平行线分线段成比例定理或相似三角形的判定与性质建立比例式，通过解方程求解，此类问题容易出错的地方是对应边对应出错，

点拨：解答与平行有关的相似三角形问题时，要善于挖掘题中隐含的相似三角形的基本图形，从而将形的关系转化为对应边成比例求解，常见的相似三角形的基本图形有6种，图形及其关系如图3所示。

三角形相似类似于三角形全等，仍然强调对应关系，根据相似三角形寻找比例关系要严格按照对应顶点、对应边以及对应角来探索；切忌混乱，

点拨：解题的关键是从复杂的实际问题中整理出直角三角形，此类问题在求解时，首先利用图中出现的特殊角（或题后所给出三角函数的角），构造直角三角形求解，

本题是一个测量物体高度的问题，这类问题的常见模型如表1，

此类问题易错之处有：（1）混淆三角函数的概念以及角的相关概念；（2）不能利用方程思想列出方程；（3）计算时由于多次取近似值造成较大的误差。