第13讲“代数与几何综合问题”复习精讲

王磊 王锋

专题精讲

代数与几何的综合问题是指以代数知识与几何知识相互交融浑然一体的一类综合题，这类问题通常以几何图形（或将图形坐标化）及函数图象为背景，辅助于图形的运动与变换（平移、旋转、对称）手段，融入函数（包括锐角三角函数）、方程、不等式等代数的核心知识，来综合考查同学们运用所学的基础知识和基本技能、掌握的数学思想方法进行分析问题、解决问题的能力，题型大致可分为：（1）图形、坐标综合问题；（2）图形与代数式的综合问题；（3）函数图象中的几何图形问题；（4）方程、不等式与几何综合问题等，

解决代数与几何综合问题的基本思路：

第一，要认真审题，弄清问题的条件与结论，尽可能分析转化问题中的显性条件，挖掘问题中的隐含条件，

第二，充分关注几何图形的结构特征，发挥几何直观的导航作用，对复杂图形我们要慧眼识图，从中发现并分离出能够帮助解决问题的基本图形，或添加适当的辅助线构造基本图形，以便运用基本图形的性质去解决问题，

第三，根据综合题设计的结论分步探究的特点，我们要学会从题目中寻找代数与几何这两部分知识的结合点，进行“肢解”，转化为简单的代数或几何问题，发现解决问题的突破口，从而“化整为零，各个击破”。

最后，要充分发挥数学思想和方法的引领作用，分析与综合、分类讨论、函数思想、方程思想、数形结合、归纳与猜想等都是解决这类问题有效的数学思想和方法，特别是数形结合思想——由形导数、以数促形，可以架起连接代数与几何的桥梁，实现数与形之间的相互转化，帮助我们另辟蹊径，曲径通幽。

近年来，全国多数地区的“代数与几何的综合问题”大部分是以“解答题”的形式出现在中考试卷的最后两三道题中，难度较大，从近三年河南省中考试卷来看更是如此，2016年我们既要注意通过探究线段长度满足的数量关系判断构成的特殊形状的几何图形（如等腰三角形、矩形、菱形、正方形）的开放型问题或有关几何图形的周长与面积的最值问题，更要关注坐标系中几何图形的问题以及以三种函数图象为背景与几何图形融合于一体，判断点、直角三角形、等腰三角形或特殊四边形的存在性问题，

重点题型例析

一，图形、坐标综合问题

将常见的几何图形巧妙地放置于平面直角坐标系中，将图形坐标化，通过点的坐标来体现图形中线段的长度，或给出图形中线段的长度来确定图形顶点的坐标或满足某种条件的特征点的坐标，并辅助于图形的折叠、平移、旋转等变换手段，构造的一类“坐标几何问题”——运用坐标描述图形的位置和运动，把几何和代数知识完美地糅合在一起，解决这类问题要掌握图形变换的基本特征，关注动点与定点之间形成的特殊关系，挖掘几何图形的性质，进而运用三角形的全等或相似、勾股定理、函数的性质等知识点，或构造方程进行求解，

点拨：本题源于人教版《数学》八年级下册第十八章《平行四边形》复习题十八第69页“拓广探索”的第14题，是将课本中正方形放置到平面直角坐标系的第一象限内，并附设正方形的边长，把中点E变成X轴上边OA上一个动点P，并添加课本中结论作为条件的背景下，来探究点的坐标、线段的长度和四边形面积的最值，其中通过作垂线构造直角三角形再证明两个直角三角形全等，仍然为我们解题提供了重要的解题思路，

本题考查直角三角形、正方形的性质及全等、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值，渗透了待定系数法（求直线OB的解析式）、配方法（求面积的最值）、函数思想，第（2）问是一个难点，不易实现有效转化即用t来表示出点M、N的横坐标，进而用X_M。来表示出线段MN的长度，导致思维受阻，突破这一问题的关键，是充分运用图形的性质，用已知量和未知量表示出相关点的坐标，特别要注意平行于坐标轴的直线上点的坐标特征（平行于X轴的直线上两点的距离等于它们的横坐标之差的绝对值，平行于y轴的直线上两点的距离等于它们的纵坐标之差的绝对值），第（3）问求四边形面积时，利用了“对角线互相垂直的四边形”的性质——其面积可以利用“对角线乘积的一半”来求（实际上是菱形面积公式的推广），利用二次函数研究极值，既可以用顶点坐标公式来求也可以用配方法来求，对于二次项系数为分数，配方时同学们容易出现失误，同学们要高度重视，

三.图形与代数式的温和问题

这类问题通过给出一组具有某种特定关系的数、式、几何图形或给出与图形有关的操作变化过程，要求通过观察、分析、推理发现其中蕴涵的数学规律，进而归纳或猜想出一般性的

点拨：当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，可从问题的简单情形求解人手，如本题，抓住图形结构的形成过程，求出前三次操作时相应的矩形的面积数值，然后通过分析所得的面积的数据的特点找出隐含的共同规律，进而归纳猜想出问题的答案，这是我们解决此类问题常用的思考策略，本题主要考查了勾股定理、矩形的面积公式和相似多边形的件质。