第10课“动态几何问题”复习精讲

刘顿

专题精讲

用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为动态型几何问题，

这类问题是历年各地中考的热点题型之一，也是中考试卷中压轴题目的首选，此类问题几乎是每卷必考，题量一般是1～2题，分值是12-15分，且一般都有一定的难度，

动态几何问题一般是以三角形、四边形、圆等几何图形为载体，设计的动态变换，并对变化过程中伴随的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形之间的特殊关系等进行实验、观察、猜想和归纳，同时进行推理的一类问题，此类问题的信息量大，灵活多变，出现的结果又往往不确定，一般涉及的知识有平行线、全等三角形、相似三角形、勾股定理、锐角三角函数、方程、不等式以及函数等。

求解动态型问题时需要“以静制动”，即把动态问题转化为静态问题来处理，具体地说，需要用运动和变化的观点，把握运动和变化的全过程，动中取静，静中求动，抓住运动过程中的某一瞬间，抓住变化过程中的特殊情形，确定运动变化过程中的数量关系、图形位置关系，从而建立方程、不等式、函数模型，找到解决问题的途径，其具体解题步骤一是化动为静：（1）明确讨论标准；（2）画出不同的图形（分开画）；（3）设字母体现“动”，二是分为两种题型：（1）①将字母视作常数，分别列出方程；②解方程并检验；③总结，（2）①将字母视作常数，列出函数解析式；②根据自变量的取值范围求出函数的最值：③检验，

解答动态型试题的关键是把握以下三点：一是借助图形在运动过程中产生的函数关系来探究几何图形的变化规律；二是借助图形在三种变换（平移、旋转、折叠）过程中的变量和不变量，动中求静，利用变换的有关性质来解决一些有关几何图形的面积、周长等问题；三是解答过程中往往需要综合运用数形结合思想、转化思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想、特殊与一般的思想等多种数学思想，利用数学思想，恰当地使用分析综合方法，挖掘题目的隐含条件，将复杂问题分解为基本的、常见的问题。逐一击破，从而进一步得到新的结论，最终解决问题，

重点题型例析

一.有点运动产生的问题

动点问题中动点大致可以分为两种：一是运动的动点，此类动点有给出的运动方向和运动速度，我们主要根据“运动速度×时间=路程”来表示某些线段的长，根据动点的位置可以将线段分为走过的路程（根据“路程=速度×时间”来表示）、剩下未走的路程（用动点要运动的总路程一走过的路程），特别注意，当动点在折线上运动时，要把走过的线段去掉某些部分才能和所求线段对应，对于剩下未走的也由于动点移动到不同线段上而改变其终点位置来分别进行表示，当所表示线段与动点运动方向不同时，一般采用相似知识，找出和某些可以计算长度且方向与所求线段方向一致的线段来寻求相似比，二是不定点，这类动点一般结合存在性问题出现，即是否存在点P使得题目满足一些结论或当某些结论存在时。求动点P的位置，解答时可以把题目要求满足的情况作为一个使用条件，使P恰在满足要求的位置，然后结合几何知识进行解答，

点拨：如果抛物线上的点是已知的，就用待定系数法确定函数解析式。二次函数有三种表达式，可以依据具体情况设定，解答存在性问题的一般思路是先假设结论存在，然后推理得出结论，进而判断结论是否成立，对于求多边形的面积通常采用分割法，把它分割成多个简单的图形，另外，这种动态几何问题，一般采取“动中求静，静中求解”的求解策略，以相对静止的瞬间，清晰地发现量与量之间的关系，利用数形结合，从中找到解决问题的途径，

二.由直线运动产生的问题

由直线的运动产生的问题称为动直线问题，求解时应针对直线运动变化过程中相伴随的数量关系、位置关系去研究，抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，从而确定基本关系式，并确定变化范围，必要时画出相应的图象，以帮助解决问题。

点拨：本题的题设条件中虽然给出了动直线L，但在解题时似乎没有涉及，这就是处理动态问题时“以静制动”的效果，

三.有图形运动产生的问题

动态图形型试题以图形变换为载体，集代数与几何的众多知识于一体，并且渗透了分类讨论、转化、数形结合、函数方程等重要数学思想，命题的设置常常具有开放性、操作性和探究性，

点拨：图形运动与函数图象问题常见的三种类型：一是有关线段与多边形的图形运动问题，即把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形；二是多边形与多边形的图形运动问题，即把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一个多边形；三是多边形与圆的图形运动问题，即把一个圆沿一定方向运动经过一个三角形或四边形，或把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过一个圆，求解时，都应根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象，本题难度较大，综合性强，用待定系数法确定一次函数和反比例函数的解析式是解决问题的关键。