高中数学教学中函数的对称性教学研究

黄延红 王树森

摘 要：函数是高中数学中最为重要的组成部分之一，其也是历年高考考查的重点内容之一，因此加大对高中数学函数教学的相关研究，对提升高中数学课堂教学效果有着重要作用。结合实例对高中数学教学中函数的对称性教学情况进行研究。

关键词：高中数学；函数对称性；轴对称；周期函数

高中数学是一门具有较高抽象性的基础学科，其不仅对于学生来说具有较大的学习难度，对于教师的有效教学来说，也存在一定的障碍。尤其是在高中函数知识点的教学中，由于函数的概念相对较为抽象，其对学生抽象思维能力的要求较高，因而当前有相当一部分学生在函数知识点学习中存在较大的障碍，所以加大对其教学的研究，对有效提升高中函数教学效果，有着积极意义。下文将结合实例对高中数学教学中函数的对称性教学情况进行研究。

一、高中数学函数对称性分类

1.函数图象的自对称

在高中数学函数专题中，关于函数的对称性的种类中，函数图象的自对称是其中一种主要的对称形式之一。如其中的奇函数和偶函数，前者关于原点对称，后者关于y轴对称，就是十分典型的一种函数图象自对称形式。同时在三角函数y=sinx中，其对称轴是x=kπ+，其对称中心是点（kπ，0）；在反比例函数y=中，其对称直线是y=x；在二次函数y=ax2+bx+c中，其对称轴是x=-等，这些函数其图象都属于自对称类型。

2.函数图象间的对称

在高中数学函数专题中，关于函数的对称性的种类中，函数图象间的对称，也是其中一种主要的对称形式。如在函数y=-f（x）和函数y=f（x）的图象中，两个函数图象就是关于x轴对称，同时两个函数图象其另外一个对称轴是y轴。此外，这两个函数还关于原点坐标对称。再如函数y=f（x），与函数y=2a-f（x）其图象之间，是关于直线y=a相对称的。函数图象间的对称关系，在高中数学函数教学中，也是教学重点及难点之一。

二、高中数学教学中函数的对称性教学研究

在高中函数对称性知识点教学过程中，其主要存在的对称关系有两种，一种是函数图象的自对称，另一种就是函数图象间的对称。其中函数的自身对称性，是高中数学阶段的教学重点及教学难点。关于函数的自身对称性，主要包含以下几个相关定理及推论：定理一：“函数y=f（x）的图象关于点A（x1，y1）对称的充要条件是f（2x1-x）+f（x）=2y1”，由此得到的推论是“函数y=f（x）关于原点对称的充要条件是f（-x）+f（x）=0”。该定理的具体证明过程如下：首先证明其充分性。在函数y=f（x）中，其中一个点的坐标为（xi，yi），根据函数表达式，可以得到y=f（xi），又由于f（x）+f（2xi-x）=2yi，所以可以得到f（xi）+f（2xi-xi）=2yi，将该方程式进行适当转换，可得到2yi-yi=f（2xi-xi）。由此可证明点（2xi-xi，2yi-yi）同样是函数图象上的一个点的坐标，同时点Q与点Q′是关于点A（xi，yi）相对称的，由此其充分性即可以获得证明。必要性的证明。假设函数y=f（x）中，存在一点Q（x，y），由于点Q（x，y）关于点A（xi，yi）相对称的另一点Q（2xi-x，2yi-y）也在该函数曲线上，因此可以得到2yi-y=f（2xi-x），将其进行适当转化，可得到2yi=f（2xi-x）+y。由此定理一的必要性就可以得到证明。

根据定理一及其推论，可得到关于函数对称性的第二个定理，即定理二：①如果函数y=f（x）的图象关于直线x=a成轴对称图形，且同时关于点A（x1，y1）成中心对称图形，且a≠x1，那么，函数y=f（x）是一个周期函数，一个周期是4|x1-a|；②如果函数y=f（x）的图象既关于点A（x1，y1）成中心对称，又关于点B（x2，y1）成中心对称且（x1≠x2），那么函数y=f（x）是一个周期函数，一个周期是2|x1-x2|；③如果函数y=f（x）的图象既关于直线x=x1成轴对称，又关于直线x=x2成轴对称且（x1≠x2），那么函数y=f（x）是一个周期函数，一个周期是2|x1-x2|。

以下将以实例对函数对称性的教学情况实施研究。如题目“定义在R上的函数为非常数函数，此函数满足：当x=10-x时为偶函数，且f（5+x）=f（5-x），那么f（x）肯定是？”根据题目给出的已知条件，及函数对称性的相关定理可知，由于x=10-x时，其是偶函数，所以可推出f（10+x）=f（10-x），由此可说明x=5是该函数的对称轴以外，其另外一条对称轴是x=10。到此可判断该函数是周期为10的周期函数，同时由于x=0也是该函数的一条对称轴，因此可以得到该函数除了是周期函数外，还是一个偶函数，因此该函數是一个周期为10的偶函数。因此在解答函数题目，进行函数教学时，要注重对函数对称性知识点的教学，使学生学会用函数的对称性去优化函数问题的解题步骤，提升高中数学的教学效果。

由此可以看出，高中数学函数的对称性教学，对于优化函数题目的解题效率，提升高中数学的教学效果，提升学生数学的学习效果，以及培养学生良好的数学解题思维方法等，有着重要作用，因此，加大对高中数学教学中函数的对称性教学研究，有着深远意义。

参考文献：

[1]张海燕.高中数学教学中函数的对称性教学探讨[J].高中生学习：师者，2014（6）：29.

[2]刘丽.关于高中数学新课程中函数设计思路及其教学探讨[J].高考：综合版，2015（11）：66.

编辑 段丽君