刍议二次函数在苏科版教材中的新思考

刘光建

[摘 要] 二次函数作为初中数学的重要内容，对函数概念的构建有着综合性作用. 传统基于一次函数而得出二次函数的思路，符合讲授法教学的思路，但忽视了学生的主动建构性. 从工具性与系统性的角度考虑，可以重新设计二次函数的教学，即通过范例的分析与综合，让学生自主构建出函数是描述量的关系的重要认识；通过平移得出二次函数图像，可以让学生感受到函数知识的系统性. 重视了工具性与系统性，就重视了学生的主动建构性，从而促进了本知识的有效教学.

[关键词] 初中数学；二次函数；工具性；系统性

二次函数在初中数学中的地位较为重要，在苏科版教材的编排中，其处于九年级下册第五章，用一般的教学语言来描述，其是冲刺性的知识，是综合性强的知识.

通常情况下，二次函数的教学以一次函数为基础，通过回忆一次函数的相关知识，引导学生在类比中建立二次函数的知识. 这样的思路符合经验，更符合传统的讲授法教学的需要. 但从学生建构的角度来看，由于对学生主动建构的重视不够，因而在学生的实际学习过程中，会出现不那么得心应手的情形，因此这段知识出现学困生的现象也比较常见.

反思这些不足，笔者以为二次函数的教学需要引入新的理念，需要设计新的过程，需要对学生的学习进行新的评价.

二次函数概念的新理解

二次函数首先是作为一个概念而存在，其次是作为一个数学概念而存在，最后是作为一个教学内容而存在. 众所周知，函数是描述数的变化关系的数学工具，这种变化关系往往反映着实际问题中的变量关系，函数的次数往往与具体的量的关系有关. 从数学概念的角度来看，“二次”给“函数”界定了次数关系，因此对二次函数概念的理解与对二次函数教学的理解，应当以“函数”为核心概念，以“二次”为辅助概念；而在实际教学的时候，又需要通过对“二次”的强调，来构建二次函数的概念. 因为在此之前，学生已经在正比例函数、反比例函数、一次函数的学习中，形成了显性或隐性的“函数”概念，因此“二次”才是需要强调的教学内容.

以上是从概念理解的角度分析二次函数的，作为教师还需要从教学的角度分析二次函数. 教学是一个系统工程，是在师生互动、生生互动的过程中引导学生建构数学知识的过程，对于二次函数的教学而言，考虑到学生概念建构的基础性，笔者以为需要从工具性、系统性两个角度来认识该概念的建构. 对于工具性，是指要让学生认识到二次函数概念学习背后的“数、量”关系，要让学生认识到只有二次函数才能描述特定的关系. 只有学生建立了这样的思路，那在呈现相关例子的时候，才有可能真正激活学生从数与量的角度进行分析的思维（下面会详述）.

对于系统性，笔者的意思是指二次函数的教学，必须明确概念、定义、解析式、表格、图像、性质等角度分类阐述，以帮助学生建立相对立体的知识体系. 在此需要强调的是，这一知识体系并不特别指向二次函数，只不过是因为在初中数学学习中，二次函数有一种提纲挈领的地位，能够综合前面所学的相关函数，能够为后续的函数知识学习奠定基础. 同时，在二次函数的学习中，会经历典型的从实际问题抽象出数学模型，用数学模型解决实际问题的过程. 从这两个角度来讲，二次函数的教学都具有知识结点的作用，因此有着研究的价值. 有研究表明，初中阶段的二次函数教学可以深化学生此前形成的关于一次函数（包括正比例函数）和反比例函数的认识. 从心理学的角度来看，二次函数的学习可以让学生以函数这个宏观概念，将初中阶段的三大基本函数整合到一起，从而形成一个大的知识组块，进而促进学生的记忆与理解.

从工具性与系统性两个角度建立了对二次函数的理解，那在实际教学的时候就有了“纲”. 俗话说，纲举目张，一旦教学思路明确，那教学设计就要据此而行.

二次函数教学的新设计

基于以上理解，笔者在教学设计时注重两点：

一是强调数量关系，体现工具性. 在苏教版教材中，教材在复习一次函数的基础上通过三个实例引入二次函数. 这三个实例分别是：水滴激起的波纹不断向外扩展，所形成的圆面积S与半径r之间的函数关系；用16 m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大；一面长与宽之比为2 ∶ 1的矩形镜子，四周镶有边框，已知镜面的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，加工费为45元. 那么总费用为多少元.

这三个问题的呈现方式是一样的，都是将已知条件与未知条件明确出来，以让学生在具体的数量关系的寻找中发现二次联系的存在. 可惜的是，对于初中阶段的学生而言，只有第一个例子能够顺利解决，而第二和第三个例子中涉及的量的关系，在初中阶段之前并没有涉及，因此多出来的这个拦路虎，某种程度上分散了学生的学习注意力. 而为了强调这种数量关系，体现出函数在数量关系研究中体现出来的工具性，笔者以为可以回避以上第二、第三个例子，另寻存在的二次关系. 其实为了体现这种工具性，可以让学生仿照第一个例子去寻找第二个例子，而教学实践表明，学生寻找的例子一定会与第一个例子非常近似但又不完全相同，这无形当中符合数学概念构建所需要的变式；而直接加工学生所举的例子，往往更容易激发学生的学习积极性，从而让不同二次关系所表现出来的共同点可以更为明确. 当学生发现了数量的二次关系时，实际上也就是二次函数概念形成之时.

更重要的是，当学生发现三个不同的二次关系可以用同一种方式即二次函数的解析式来表达时，这个时候在学生的思维中会产生一种工具性认同感，用学生的话说，“用一个式子，可以描述不同情形下的二次关系，这就是二次函数的本质”. 尽管这样的描述还有些朴素，但能够从学生的嘴里说出来，就已经充分体现出工具性在学生思维中形成了.

二是强调数学方法，体现系统性. 系统性主要体现在数学方法的运用中，只有让学生发现新的知识（二次函数）与旧的知识（一次函数和反比例函数）的学习具有相同的方法，这种系统的认识才能真正形成. 笔者在教学中，采用类比的方法实施教学，取得了较好的效果.

以二次函数的图像教学为例，一般二次函数的图像当然是可作的，让学生用描点法作图即可. 应当说这一教学思路是正确的，但却也是相对孤独的. 笔者设计用描点法作图为第一步，此时如果不出意外，学生会感觉到一丝厌烦，因为思路机械且所描的点不少. 而在笔者的教学中，这样的厌烦心理恰恰是可以利用的学习因素. 因为教育中有“不愤不启，不悱不发”之说，厌烦心理正是愤与悱的体现. 在学生有了这一心理之后，笔者将这样的心理点出来，以获得所有学生的认同. 然后在此基础之上设计第二步教学：先让学生作出y=ax2的图像，有了前面的复杂描点，此时的描点倒变得非常简单，学生很快就能作出来；然后再引导学生思考“能不能由y=ax2的图像得出y=ax2+bx+c的图像？”这是一个具有一定挑战性的问题，但由于有前面一次函数学习的经验（系统性的体现），学生自然会想到平移，显然将其上、下平移，即可以让函数中多出常量c. 那么，又是如何获得一次项的呢？有学生自然会想到左、右平移，等到在y=ax2的图像（此时借助几何画板）上进行左、右平移时，学生发现可以获得y=a（x+m）2的图像. 自然，如果同时左、右平移及上、下平移，那么就可以获得y=a（x+h）2+k的图像.

这样的变换看起来复杂，但在新授课的过程中如果能够花时间强调，那学生所建立的关于二次函数的图像就是立体的，就是有根基的，从而完成了新旧知识的联系，实现了知识系统的构建.

二次函数教学的新评价

评价在教学中的作用实际上非常重要，但往往又会为教师所忽视. 课堂教学中教师随口的一句评价，往往对学生的学习有着很大的影响. 此处，笔者关注的是评价对学生构建数学知识的影响.

事实证明，二次函数知识的构建中，要想让学生真正认识到函数的工具性，要想让学生在二次函数学习中真正生成系统性，教师在学生学习过程中的介入式评价非常重要. 比如说，在学生习得了二次函数的解析式之后，教师就应当如此评价：同学们很好地总结出了上述三个例子的共性，并且能够像学习一次函数一样寻找到了二次函数的解析式，这说明同学们有很好的分析与综合能力. 这样的评价直接指向分析与综合这样的思维方法，可以对数学方法的生成产生一种潜移默化的策动作用；又如在平移得到二次函数图像的过程中，三次平移（上下、左右、上下且左右）中每一次平移所得到的结果，都应当给予积极评价，这样才能让学生能够在长时间中保持注意力，才能真正促进二次函数图像（包括后面的性质等）系统生成.