改进全变分的图像去噪

何 坤，郑秀清，琚生根，张永来

（1. 四川大学计算机学院 成都 610065；2. 四川师范大学信息技术学院 成都 618300）

改进全变分的图像去噪

何 坤1，郑秀清2，琚生根1，张永来2

（1. 四川大学计算机学院 成都 610065；2. 四川师范大学信息技术学院 成都 618300）

为了弥补各向同性扩散去噪的非保边性、异性扩散的耗时性，分析了各向同性和异性扩散的机理，根据噪声对像素变化的影响，设计了新的扩散函数，理论上分析了该函数的扩散性能：对平滑区各向同性扩散，边缘区实现各向异性扩散。在传统全变分去噪的基础上，提出了改进全变分的图像去噪模型，运用固定点代算法设计了相应的离散迭代函数。实验结果表明，该算法在图像平滑区进行各向同性扩散，继承了各向同性的优点，降低了传统全变分的运行时间；在边缘区实现了各向异性扩散保护了图像边缘，提高了图像的峰值信噪比和视觉效果。

各向异性； 扩散函数； 图像去噪； 各向同性； 全变分

人眼对图像简化、提取其结构信息，实现对图像的认知和理解。但图像在获取、保存及传输过程中不可避免地受到噪声污染。噪声和结构信息均属于高频信息［1］，降低了视觉对图像简化的质量，影响了其分析理解［2］。为了提高机器视觉对图像分析理解的准确性，需对图像进行保结构信息的去噪预处理［3］。

最简单的图像去噪处理是根据噪声和图像的主要内容属于不同频段，对图像进行滤波（如高斯平滑）处理。该类算法实质上是对图像中任意像素进行各向（切向和法向）同性扩散［4］，切、法向等速扩散使得系统运行速度较快，对图像平滑区去噪效果较好［5］，但法向扩散导致图像结构信息模糊［6］。

为了保护结构信息，传统全变分（TV）算法［7］从像素角度出发，分析了噪声对像素的影响——加速像素变化。根据此性质以像素变化的1e-范数建立了图像去噪模型［8］。该算法是对任意像素仅沿切线方向扩散［9］，保护了边缘信息，但平滑区的单向扩散使得系统运行效率较低［10］。

为了实现快速地图像保边去噪，本文分析了各向同性和异性扩散［11］的机理，将两种扩散方式有机结合，继承各自优点弥补其不足，从像素变化角度出发，以梯度为变量设计了新的扩散函数。理论上分析了该扩散函数的局部扩散性能：图像平滑区沿切、法线方向以不同的速度同时扩散，提高了该区域的平滑速度，弥补了传统TV单向扩散［12］的不足；图像边缘和纹理区域沿切线方向扩散保护了边缘。在此基础上，本文结合传统全变分图像去噪模型，提出了改进的全变分图像去噪：首先根据图像边缘形成的光学原理分析图像梯度；其次根据梯度幅度将图像分为平滑区和边缘纹理区，建立相应的偏微分方程；最后运用固定点迭代算法分析偏微分方程，设计了离散迭代函数。实验结果表明，本文扩散函数在图像边缘纹理区各向异性扩散，继承了传统全变分的优点，保护了边缘；在图像平滑区进行各向同性扩散，降低了系统运行时间，提高了图像峰值信噪比（PSNR）和视觉效果。

1 扩散函数

从信号的频率来看，图像结构信息和高斯噪声表现为相同的特性——高频信号，但结构信息是分析理解图像的基层信息。为了抑制噪声提高分析理解的准确性，在图像去噪过程中应保护其结构信息。假设原始图像u（x， y）被零均值方差为σ2的高斯噪声n（x， y）污染的图像为：

噪声分量 n（x，y）加剧图像像素变化，使 I（x，y）的整体梯度比原始图像大。因此，为了消除噪声保护结构信息，利用梯度幅度函数［13］建立的目标函数为：

运用变分法得到式（2）的欧拉-拉格朗日方程：

为了在去噪过程中保护结构信息提高运行效率，扩散函数应满足两个条件：1） 为了减少系统运行时间，平滑区应各向同性扩散，扩散函数的变化速度接近于2） 为了保护结构信息，边缘和纹理区域应各向异性处理。本文继承传统各向同性和异性扩散的优点，以梯度幅度为变量设计了新的扩散函数：

图1 不同扩散函数

该函数在切、法向扩散速度分别为：

切、法向扩散速度之比值k 为：

为了继承各向同性和异性处理的优点，本文利用梯度幅度将图像分为平滑区和边缘纹理区，如果梯度小于阈值T时，该像素位于平滑区应各向同性处理，此时当像素梯度大于阈值T时，该像素应各向异性处理，此时不同区域相应的欧拉方程为：

2 离散迭代

当像素 u（i， j）位于平滑区域，本文假设其四邻域也位于平滑区域，其邻域的扩散权重为：

当像素 u（i， j）位于边缘纹理区域，其四邻域也位于该区域，对应像素的扩散权重为：

不同区域的扩散系数如图2所示。

为了在图像去噪的过程中保护边缘纹理信息，式（8）运用了噪声图像信息。当位于平滑区，邻域像素梯度较小，对应的扩散系数ω（p）远大于权重λ，去噪后 u（i，j）主要由其邻域像素加权决定；若像素（i，j）位于边缘纹理处，对应的梯度较大，相应的扩散系数ω（p）趋于0，去噪后 u（i，j）主要由图像 I（i，j）决定。

图2 不同区域的扩散系数

为了得到式（2）的最优解，该文将式（8）进行迭代运算，第n步迭代表达式为：

噪声图像 I（i，j）中包含了原始图像边缘纹理信息，每步迭代都运用了噪声图像的相关信息，使边缘纹理信息不会随着迭代次数增加而模糊。当满足下式停止迭代，有：

3 实验结果分析

为了快速地实现图像保边去噪，本文将各向同性和异性扩散有机结合，设计了新的图像保边去噪扩散函数。该扩散函数对图像平滑区沿切法向同时扩散，减少了该区域的运行时间；对边缘纹理区域法向扩散速度几乎为0，保护了图像的边缘纹理。根据图像边缘纹理形成的光学机理，边缘纹理区像素变化幅度比平滑区大，本文运用梯度固定阈值T法，将图像分为平滑和边缘纹理两个区域，如果阈值T取值较大，图像中像素变化较慢形成的弱边缘纹理误作为平滑区，去噪后图像的弱边缘纹理进行各向同性扩散，该信息保护较差；反之，将平滑区的噪声误判为边缘纹理，对该区域的噪声进行保护，残余噪声较大。

对含有加性高斯噪声的peppers图像运用不同阈值的部分去噪结果如图3所示。当阈值0.2T=时，去噪后图像的整体质量PSNR为15.13 dB，由于阈值较小，图像边缘纹理保护较好，但是图像平滑区的强噪声（幅度较大）被作为边缘纹理而得以保护，所以去噪后残余噪声较大；增大阈值使T=0.5，平滑区残余噪声较小，边缘纹理得以较好的保护，去噪后图像PSNR为21.3 dB；若继续增大阈值，导致将纹理作为平滑区进行各向同性扩散，导致纹理损失而过度平滑，甚至出现虚假边缘，去噪后PSNR下降，但保护图像强边缘。当T=1.1时，虽然图像中各个目标轮廓清晰（强边缘），但由于纹理损失较大，图像PSNR为12.91 dB。为了保护图像边缘纹理信息，同时残余噪声较小，本文阈值T取为0.5。

图3 不同阈值T的去噪结果

噪声图像包含了边缘纹理信息，为了保护图像边缘纹理，在扩散处理中依权重λ考虑噪声图像的相关信息。权重λ大小在一定程度上决定了边缘纹理的保护能力，当λ相对于邻域权重较小时，去噪后残余噪声较小，但边缘纹理模糊严重；反之，保边性较好，残余噪声较大。对含有高斯噪声的Lena图像运用不同λ处理的结果如图4所示，当1.0λ=时，PSNR为19.14 dB，图像的强边缘保护较好，但纹理区存在一定程度的模糊，平滑区存在过度平滑，伪边缘严重；增大λ，平滑区的伪边缘减少，图像的整体质量提高；当λ=2.0时，PSNR为27.67 dB；如继续增大λ，图像边缘保护较好，但平滑区残余噪声增大使得PSNR降低，当λ=3.0时，PSNR为19.16 dB。为了保护图像边缘纹理信息，本文权重λ取为2.0。

图4 不同λ的去噪结果

在处理器为Intel-Core i5CPU @3.40 GHz，RAM为4 GB，VC6.0的环境下，本文算法对图3a的噪声图像迭代40次收敛，CPU的运行时间为1.52 s。其迭代次数与图像PSNR之间的关系如图5a所示，前20次迭代图像的PSNR提高较快，将PSNR从12.03 dB提高到20.15 dB；随迭代次数增加，图像质量改善速度下降，后20次仅仅提高了1.15 dB。传统TV［14］（λ=3.0）需迭代445次收敛，CPU的运行时间为12.8 s，其迭代次数与PSNR之间的关系如图5b所示。

为了验证算法的有效性，对叠加不同高斯噪声的图像分别运用本文算法、高斯平滑（为了提高去噪效果，不同含噪图像高斯核参数σ不同：Lena图像σ=0.8；peppers图像σ=1.4；baboon图像σ=2.0）、和传统TV［14］（λ=3.0）进行去噪处理，其部分结果如图6所示，去噪后图像的PSNR和SSIM［15］如表1所示。从PSNR的角度看，该算法比高斯平滑去噪效果好，比传统全变分去噪质量略高。从视觉效果上看，该算法的保边性与传统全变分相当，两者SSIM差异不大。不同算法CPU的运行时间如表2所示。从表2可见，高斯平滑的系统运行时间最少，该算法对平滑区域进行各向同性扩散，其运行时间比传统TV短。同时随着噪声图像的质量下降（PSNR变小），该算法的去噪时间变长。

图5 迭代次数与PSNR之间的关系

图6 不同算法比较

表1 不同去噪算法的质量评价

表2 不同去噪算法的CPU时间 单位：s

4 结 束 语

为了实现快速地保边去噪，本文将各向同性和异性扩散方式有机结合，从噪声对像素变化的影响出发设计了新的扩散函数，结合传统全变分图像去噪模型，提出了改进的全变分图像去噪。以梯度幅度将图像分为平滑区和边缘纹理区，对不同区域建立相应的偏微分方程，利用固定点迭代算法设计了相应的离散迭代函数。实验结果表明，该扩散函数在边缘纹理区各向同异扩散，保护了图像边缘；在平滑区各向同性扩散，降低了系统运行时间，弥补传统全变分去噪算法单向扩散的不足。

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编 辑 黄 莘

Image Denoising on Improved Total Variation

HE Kun1， ZHENG Xiu-qing2， JU Sheng-gen1， and ZHANG Yong-lai2
（1. School of Computer Science， Sichuan University Chengdu 610065；2. College of Information and Technology， Sichuan Normal University Chengdu 618300）

By analyzing the mechanism of isotropic and anisotropic diffusion in image denoising， a new diffusion function based on the effect of noise on the image pixel variation is designed in this paper. The diffusion performance of this function is isotropic diffusion in the smoothing sub-region and anisotropic diffusion on the edge. Then， an improved total variation denoising model is proposed based on the traditional total variation （TV），and the corresponding discrete iterative function is designed by using the fixed point iteration algorithm. The algorithm uses isotropic diffusion on the smooth region， inheriting the advantages of the isotropic diffusion，reducing the running time of the traditional TV， and protecting the edge by using anisotropic diffusion. Experimental results show that this algorithm can improve image peak signal to noise ratio （PSNR） and visual effects.

anisotropic； diffusion function； image denoising； isotropic； total variation

TP394.1

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2016.02.026

2014 - 07 - 16；

2016 - 01 - 19

四川省科技支撑计划（2013SZ0157）

何坤（1972 - ），男，博士，副教授，主要从事图像处理、模式识别等方面的研究.