引例浅谈导数应用中的转化策略

孔向英

【摘要】导数是高中阶段现行数学知识体系中的重要组成内容，导数知识及其计算分析处理技巧，在解决函数章节相关问题过程中的应用，有效提升了高中学生解决数学问题的总体效率。而转化思想在导数问题中的应用，大幅改善了相关问题的求解难度，本文结合具体例题对导数问题求解中转化策略展开了简要阐述。

【关键词】引例浅谈 导数运用 转化 策略

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）08-0146-02

在高中数学学科知识体系下，为有效研究初等函数的增减性质问题，专门引入了导数运算处理工具，伴随着导数工具在解决高中数学函数章节问题过程中应用价值的逐步彰显，转化数学思想在导数应用过程中的显著作用，逐步引起了我国一线高中数学教师的密切关注。

一、导数应用中的转化思想

在数学科学的构造体系中，独立数学对象的内部组分之间，以及不同的数学对象之间，客观上总是会存在一定形态的形式性，或者是逻辑性相互联系特征，而构筑事物之间相互联系的基础是相似性，在存在相似性的事物之间，必然能够找到某种可行性的处理路径，促使彼此之间实现顺畅有序的相互转化。在面对和解决具体数学问题过程中，通过针对具体数学问题的条件、求解结论，以及问题的内在结构实施转化，能够有效降低具体数学问题在分析求解过程中的整体难度水平，促进有关数学问题能够快速得到充分解决。

在具体应用导数解决高中数学函数及其相关章节问题过程中，针对应用常规数学手段难以获得预期解决效果的数学问题，可以基于转化或者是化归数学思想，在借助观察、分析、类比，以及联想等数学学科思维过程的基础上，借助适当数学处理手段，对数学问题的外在表现形式展开变换处理，将原本相对复杂的数学问题逐步转化为便于解决的数学问题形式，从这一角度分析，实际可以纳入到导数应用化归思想处理视野之下的问题主要包含如下三个具体类型：

第一，不等式恒成立问题。

第二，不等式证明问题。

第三，方程求解问题。

在应用导数转化思想解决上述的问题过程中，最基本的处理步骤是基于原始问题形式，构筑恰当的函数表达式，并在构筑形成的函数表达式基础上，运用导数章节的基本理论知识和数学运算技巧完成具体数学问题的计算、分析，以及求解过程。

二、构造函数的基本技巧

在分离参数基础上构造函数

例1：已知函数f（x）=lnx，对于任意的常数a（-1≤a<0），假若不等式f（x）< ax2+2x+b在（0

解：通过对题干已知信息的阅读分析，不难发现该题属于不等式恒成立问题。

由于f（x）< ax2+2x+b，经不等式分离常数变形计算可知b>lnx- ax2-2x，因该不等式对于任意的常数a（-1≤a<0）恒成立，可知b>（lnx- ax2-2x）max，依据解决函数问题过程中的主次元互换数学处理思想，可以构造函数φ（a）=- x2a-2x+lnx，观察可知函数φ（a）在a（-1≤a<0）条件下，是单调递减函数，由此可得φ（a）max=φ（-1）= x2-2x+lnx，于是原问题被转化为证明不等式b> x2-2x+lnx在x（0 。

三、二次构造函数的转化思想在函数应用求解问题中的具体应用

在基于求导运算开展函数性质研究问题，或者是不定式和方程问题的计算、证明以及求解分析过程中，经常会遭遇在导函数取值大于0，或者是小于0的计算条件下，自变量x的取值范围无法明确界定的数学情境，而在这种数学问题求解条件下，往往需要基于已经构造形成的函数或者是导函数的解析表达式，再次实施函数构造，从而实施二次求导。

例5：已知f（x）=ax2-x（a≠0），g（x）=lnx，假若函数f（x）与函数g（x）的图像有且只有两个不同交点，求解实数a的取值范围。

解：由题意可知，在函数f（x）与函数g（x）的图像相交时，有f（x）=g（x）成立，在实数a≠0条件下，该问题可以等价为方程a= 有两个根，设r（x）= ，则r'（x） ，设h（x）=1-x-lnx，则必有h'（x）=- <0，也就是说函数h（x）在x>0条件下是单调减函数，同时由于h（1）=0，于是可以得到如下结论：在r（x）>0条件下，有x<1；在r'（x）<0条件下有x>1，即函数r（x）在01条件下是单调减函数r（x），因此有rmax（x）=r（1）=1。在此基础上。由于在x→0条件下，函数r（x）趋于无穷小，在x趋于无穷大条件下，函数r（x）的取值趋于0。因此想要促使函数f（x）和g（x）有两个彼此不同的焦点，只需保证0

四、结语

针对导数应用中的转化策略问题，本文在简要分析导数运用中的转化思想基础基础上，结合具体数学问题详细分析了导数问题计算求解过程中的转化策略，旨意为相关领域的研究人员提供参考。

参考文献：

[1]郭培俊，张焱群.“问题转化”解题策略探析[J].浙江工贸职业技术学院学报，2011（02）.