容许性余代数的必要条件

范中平（浙江大学数学科学学院，浙江杭州310027）

容许性余代数的必要条件

范中平
（浙江大学数学科学学院，浙江杭州310027）

通过从余代数的角度构造Hopf代数的块系统，给出了非余半单余代数和纯非余半单余代数具有容许性的必要条件.其应用简化了45维和105维Hopf代数的分类，为有限维Hop f代数的分类提供了新的方法.

余代数；容许性；Hop f代数；分类；块系统

1　引言

本文属于有限维Hop f代数分类的研究范畴.基域k是一个特征为零的代数闭域.在下面的讨论中，如不另作说明，空间都是指k上的线性空间，映射也都是k上的线性映射.

有限维Hopf代数的分类问题由于其重要的数学意义和物理意义，一直是Hop f代数研究的中心问题之一.而作为Hop f代数的基本结构，余代数在此类问题的研究中有重要作用.考虑余根的性质，可以把Hop f代数分为三种类型：余半单的（cosem isim p le），点态的（pointed），以及非余半单非点态的（non-cosem isim p le non-pointed）.目前余半单pq2型和pqr型Hop f代数及点态pq2型Hop f代数的分类已经由Natale和Andruskiew itsch等完成［1-3］.非余半单非点态2p2型Hop f代数的分类由Hilgem ann和Ng完成［4］.

本文从余代数的角度研究Hop f代数的结构.称一个余代数C是容许的（adm issib le），如果C上存在一个代数结构，使得C成为一个Hopf代数.Kaplansky最先提出了余代数的容许性问题［5］，他猜测一个余代数具有容许性等价于其任意有限维子空间都包含于一个具有容许性的有限维余子代数.虽然Larson给出了反例证明这个猜测是错的，却由此引起了Hopf代数研究者的兴趣：究竟怎样的余代数才具有Hop f代数结构？显然研究这个问题对有限维Hop f代数的分类有极其重要的作用.

作者通过给出一系列余代数具有容许性的必要条件（定理3.1和定理3.2），部分回答了这一问题.将余代数的余根分解给出的双余模结构和余根滤链给出的分层结构结合起来，构造了余代数的树结构（定义2.1）和块系统（定义2.3），并自然的推广到Hopf代数上.通过研究非余半单Hop f代数的块系统中各个“块”之间的联系，给出了纯非余半单Hopf代数（定义3.1）的基本块和维数下界（命题4.1和命题4.2）.应用上述结果到45维（推论4.1）和105维（推论4.2）Hopf代数上，简化了此维数的Hopf代数分类情形，对非余半单非点态pq2型和pqr型Hopf代数的分类工作做出了贡献.

2　余代数的树结构和块系统

本节构造余代数的树结构和块系统，为接下来的讨论做准备.

对非余半单余代数（C，Δ，ε），由［6，Theorem5.4.2］给出的余根分解知，存在一个余理想I和一个C到其余根C0的投射π：C→C0，使得C=C0⊕I和kerπ=I.固定这个余理想I，并定义

容易验证，（C，ρL，ρR）成为一个C0-双余模.

记C的余根滤链为｛Cn｝n≥0；对n≥0，令Pn=Cn∩I.

令bC为C的单余子代数的指标集.对τ∈bC，存在正整数dτ，使得dimDτ=dτ2.方便起见，记类群元g∈G（C）生成的单余子代数为Dg，且Dg在bC中的指标就为g.对d≥1，设

Dτ有唯一的单右余模同构类Vτ和唯一的单左余模同构类V∗τ，且

已知C0-双余模范畴C0MC0是半单的.设M∈C0MC0，对τ，µ∈，记Mτ，µ为M的同构于Vτ∗⊗Vµ的单C0-双余子模的和，则有

容易验证，对n≥1，有（Pn，ρL，ρR）∈C0MC0.则

注意到Pn-1⊆Pn是一个C0-双余子模.那么存在一个Pn的C0-双余子模Qn，使得

这里注意Qn的选取不是唯一的.

有下式成立：

显然Wn为Qn的一组基.

对n=0，记C的单余子代数的标准基全体为

显然W0为C0的一组基.

记

由式（8）知，W是余代数C的一组基，并完整刻画了C的树结构.

定义2.2对余代数C，称式（15）给出的W为C的一组由W0和I诱导的树结构基.

对w∈W，如果w∈W∩Pn，n≥1，有

这里kw′，w1，w2∈k且只有(有限个非零.由式（16），定义

将树结构中有内在联系的直和项合并起来，得到以下结构.

定义2.3对n≥0，称

为余代数C的由I和Qn诱导的块.

显然C=⊕n≥0，d1，d2≥1 Bd1，d2n，并称此直和为余代数C的由I和｛Qn｝n≥1诱导的块系统.

命题2.1若存在n＞1和d1，d2≥1，使得Bd1，d2n/=0，则存在一正整数集合｛b1，···，bn-1｝使得对所有的i=1，···，n-1，有Bd1，bii/=0和Bbi，d2n-i/=0.

证对τ，µ∈bC，n≥1，每个非零Qτ，µn都对应一个非零块Bd1，d2n，这里d1=dτ，d2=dµ.容易验证，Pτ，µnPn-1等价于Qτ，µn/=0.由［7，Lemm a 3.2］，命题得证.

3　Hop f代数的块系统

本文将余代数的块系统推广到Hop f代数上，由此给出非余半单余代数具有容许性的必要条件.设（H，m，u，Δ，ε，S）是一个非余半单的Hopf代数.不妨设H=C，并继承上一节的符号.

讨论H的块之间的联系，由此来刻画H的结构.

命题3.1对任意n≥0和d1，d2≥1，有dim被dim整除.

命题3.2对任意n≥1，d≥1，有d im Bnd，1和dim Bn1，d都能被d|G（H）|整除.

引理3.1对u∈WH∩I，

（i）如果ρL（u）=1⊗u且对任意的v∈WH有u∈/R（v），那么u∗是H∗的一个左积分且存在g∈G（H）使得ρR（u）=u⊗g；

（ii）如果ρR（u）=u⊗1且对任意的v∈WH有u∈/L（v），那么u∗是H∗的一个右积分且存

在h∈G（H）使得ρL（u）=h⊗u.

证证明（ii）与证明（i）类似.所以只证明（i）.对任意的w∈WH，考虑卷积w∗∗u∗.对任意的v∈WH，由u∈/R（v）成立知，(

因此w∗∗u∗=w∗（1）u∗.由w的任意性，w∗取遍W∗H中的所有基元.对任意的f∈H∗，有f∗u∗= f（1）u∗，使得u∗是一个H∗的左积分.已知H的左积分空间是一维的.由式（10）知，存在类群元g，使得ρR（u）=u⊗g.引理得证.

对H的形如B1，1n的块，记

由以上几个命题，得到非余半单余代数具有容许性的必要条件如下：

定理3.1如果一个非余半单余代数具有容许性，那么此余代数的块系统一定满足命题2.1，命题3.1，命题3.2，命题3.3，命题3.4和命题3.5所述.

定义3.1设C是一个非余半单余代数.称C是纯非余半单的，如果C没有非退化的斜本原元.

沿用上一节的记号.设H是一个有限维非余半单Hop f代数.称H是纯非余半单Hop f代数，如果H作为余代数是纯非余半单的.容易验证，H是纯非余半单Hop f代数等价于dim B1，11=0.

一般地，非余半单Hop f代数的结构分成点态部分和非点态部分来考虑.点态部分由Andruskiew itsch的提升方法可以较清楚的了解其结构.本文更关心的是非点态的部分.

讨论纯非余半单Hopf代数有非常重要的意义.由［3，Proposition 1.8］知，H是纯非余半单Hop f代数的等价条件是H的点态Hop f子代数都包含于G（H）.这就是说其点态部分的结构是平凡的，由此可以更直接的研究其非点态的部分.

注3.1在一些特定维数下，非余半单Hop f代数如果存在，则都是纯非余半单Hopf代数.由［9，Lemma 2.8］知，如果（|G（H）|，dim H/|G（H）|）=1成立，那么H是纯非余半单Hop f代数.更近一步，对任意的g∈G（H），如果ord（g）的平方不能整除dim H，则H是纯非余半单Hopf代数.举例来说，维数中没有平方因子的非余半单Hop f代数都是纯非余半单Hopf代数.

命题3.7设H是一个纯非余半单Hop f代数.如果mH＜mH，那么存在b1，b2＞1和l＞m H＞1，使得Bb1，1l/=0和B 1，b2l/=0.

证由于H没有非退化的斜本原元，有B1，11=0且mH＞1.

总结纯非余半单余代数具有容许性的必要条件如下：

定理3.2如果一个纯非余半单余代数有Hop f代数结构，那么此余代数的块系统一定满足定理3.1，命题3.6和命题3.7.

4　容许性必要条件的应用

应用容许性的必要条件，得到了纯非余半单Hop f代数的维数下界，给出了45维和105维Hop f代数的简化分类结果.

命题4.1如果H是纯非余半单Hop f代数，设|G（H）|=r，那么有

证由命题3.6知，存在d＞1和k＞1，使得H的块系统中一定有以下6个非零块：

已知

则dim H≥（2d+2）r+2lcm（d2，r）.命题得证.

为方便起见，对d＞1，r≥1，记η（r，d）=（2d+2）r+2lcm（d2，r）.

命题4.2设H是纯非余半单Hop f代数，|G（H）|=r.如果mH＜mH，那么有

证由命题3.6和命题3.7知，存在b1，b2＞1和l＞mH＞1，k＞1，使得H的块系统中一定有以下10个非零块：

与命题4.1的证明类似，有dim H≥（2b1+1）r+lcm（b1b2，r）+η（r，b2）.命题得证.

从［10，Theorem 2］的证明可知，如果H是一个奇数维的Hop f代数，则有|G（H）|＞1或

推论4.1设A是一个45维Hop f代数，如果A是非余半单非点态的，且|G（A）|＞1，那么有

（i）|G（A）|=3；

（ii）存在Hopf子代数T⊂A，使得T～=T3，这里T3是32维的Taft代数；

（iii）A的多维单余子代数有相同维数d2，并且d=2或3.

证可以证明A一定不是纯非余半单Hopf代数.假设A是纯非余半单Hop f代数.如果|G（A）|=5，9，15，由命题4.1知，dim A＞45，矛盾.如果|G（H）|=3，容易验证mA＜mA，由命题4.2知，dim A＞45，矛盾.所以A一定不是纯非余半单Hopf代数.

已知A包含非退化的斜本原元，由［3，Proposition 1.8］知，这些非退化的斜本原元生成一个pq2型的A的点态Hop f子代数T.由Nichols-Zoeller定理知，dim T整除45.则dim T=32. Andruskiew itsch和Schneider在［11］证明了p2型的非余半单Hop f代数都是Taft代数.所以有T～= T3.（ii）得证.

推论4.2设A是一个105维Hopf代数，且|G（A）|＞1.如果|G（A）|/=3，那么A是余半单的.

证假设A是非余半单的，则|G（A）|/=105.由注3.1知，A是纯非余半单Hop f代数.由命题4.1给出的维数下界知，|G（A）|/=15，21，35.如果|G（A）|/=5，7，容易验证mA＜mA，由命题4.2知，d im A＞105，矛盾.则只有|G（A）|=3，与题设矛盾.所以A是余半单的.

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M R Su b jec t C lassifica tion:16T 05；16T 15

N ecessary cond itions for coalgeb ras being adm issib le

FAN Zhong-ping
（School of Math.Sci.，Zhejiang Univ.，Hangzhou 310027，China）

In this paper，necessary conditions are given for non-cosem isim ple and pure noncosem isim p le coalgeb ras being adm issible，using b lock system s built for Hop f algeb ras through their coalgebra structure.The im plications sim plify the classification for Hopf algebras of dimension 45 and 105 and p rovide a new m ethod for the finite d im ensional Hop f algeb ras classification problem.

coalgebra；adm issibility；Hopf algebra；classification；block system

O 153

1000-4424（2016）02-0225-08

2016-03-17

国家自然科学基金（11271319）