微积分在高中物理教学及高考中的应用

杨洪伟

（山东省平阴县第一中学）

微积分在高中物理教学及高考中的应用

杨洪伟

（山东省平阴县第一中学）

微积分作为一种重要的数学方法，不只在大学物理中的应用十分广泛，在高中物理中微积分思想也有很多应用，并且在高考试题中也时有出现。

一、高中物理教学中常见的微积分应用

1.微元法定义瞬时速度

在高中物理学习之初瞬时速度的定义中就涉及微积分思想，求物体在某处的瞬时速度，可在该点附近取一段位移除以对应的时间即可得到该段位移的平均速度，所取的位移越小，其对应的时间越小，所得到的平均速度越接近所求点的瞬时速度，当所取位移近似为零时，所得到的平均速度即可认为是所求点的瞬时速度，在该部分内容中采用了微元并取极限的方法，其实就是微积分中最基本的微元思想。

2.微分与斜率

3.积分与面积

在匀变速直线运动位移的推导中，由于速度是变化的，采用微元法取非常短的时间，将变化的速度转化为不变的速度，然后用相加的方法，得出v-t图像所围的面积表示位移，即借助积分思想来完成。该思想在计算变力做功中同样加以应用，通过微元法取一小段位移，将变力做功转化为恒力做功，并将各段做功相加的方法，得出F-S图像所围的面积代表力做功。

可见，微积分思想在高中物理中出现的并不少，主要采用无限接近思想解决瞬时值问题，通过化变量为恒量的方法来解决变量问题。因此高中阶段的瞬时值问题、斜率问题、极值问题、面积问题大多由微积分思想得出。

二、高考中常见微积分思想应用实例分析

高中物理教学中常见的微积分思想在高考试题中也有所体现。

例1.（2014年山东理综19题）如图，半径为R的均匀带正电薄球壳，其上有一小孔A。已知壳内的场强处处为零；壳外空间的电场与将球壳上的全部电荷集中于球心O时在壳外产生的电场一样。一带正电的试探电荷（不计重力）从球心以初动能Ek0沿OA方向射出。下列关于试探电荷的动能Ek与离开球心的距离r的关系图像，可能正确的是

A

B

C

D

分析：本题主要考查动能的改变即动能定理，在本题中试探电荷在球壳内不受力，动能不变，为平行r轴的直线。在球壳外，试探电荷只受电场力，电场力做功等于其动能的改变，但由于电场力为变力，可在试探电荷运动的轨迹上取一小段微元Δr，将变力做功转化为恒力做功，即ΔEk=qEΔr，其斜率K==qE，q不变，随r增大E减小，得出斜率减小。

答案：A。

例2.（2013年上海物理32题）半径为R，均匀带正电荷的球体在空间产生球对称的电场；场强大小沿半径分布如图所示，图中E0已知，E-r曲线下O-R部分的面积等于R-2R部分的面积。

（1）写出E-r曲线下面积的单位；

（2）已知带电球在r≥R处的场强E=kQ/r2，式中k为静电力常量，该均匀带电球所带的电荷量Q为多大？

（3）求球心与球表面间的电势差△U；

答案：（1）V（伏特）

分析：本题主要考查E与U的关系U=Ed，但该公式只适用于强电场，针对该题的电场变化，采用微元法，取很小的位移将变化的电场转化为不变的电场，求出电压后求和的方式解决，则要采用化变量为恒量并累加的积分思想解决。

总之，高中物理教学不只是知识的传授，同时还有思想方法的引导和渗透。微积分是物理学的基本思想方法，是将复杂问题转化为简单问题的基本方式，在高中物理教学中加以渗透，既有利于学生提高成绩，也有利于学生长远发展。

［1］林祥允.微积分思想在高中物理教学中的几点应用［J］.新教育，2012.

［1］张振.在高中物理中应用微积分的研究［J］.物理教师，2010.

·编辑张慧