三羧酸循环Petri网模型的改进与状态输出算法

王 龙，李孝忠，李 勇，刘晓琴，赵 朋

（天津科技大学计算机科学与信息工程学院，天津 300222）

三羧酸循环Petri网模型的改进与状态输出算法

王 龙，李孝忠，李 勇，刘晓琴，赵 朋

（天津科技大学计算机科学与信息工程学院，天津 300222）

针对已建立的三羧酸循环混合Petri网模型无法获取循环反应过程中各个阶段模型状态的缺陷，使用混合函数Petri网对原混合Petri网模型进行改进，根据改进后的模型提出状态算法，并采用简化模型验证了模型和算法的有效性.结果表明：使用该算法能够依顺序获取反应循环过程的前K个阶段各个库所中物质（即反应物）的量，对监控、研究三羧酸循环等生化循环的反应过程提供了极大便利.

混合函数Petri网；三羧酸循环；状态输出算法

生物体内所有的化学反应总称为代谢.代谢反应进而形成生物的代谢网络，它起到为生物体提供能量、调控、构建等诸多重要的作用.因此，生物代谢的研究一直是生命科学研究的基础领域［1］.三羧酸循环是生物代谢过程中十分重要的一环，是三种重要生物大分子物质代谢的最终共同途径，也是这几种营养物质在体内相互联系的枢纽.对其进行建模分析能够为生物体内大分子物质的代谢循环的研究提供极大便利.

Hofestädt［2］和Reddy等［3］最早提出使用Petri网进行生物网络的建模.Hofestädt的研究主要侧重于用基本Petri网描述代谢过程，并对Petri网（Petri net，PN）的活性、可达性、P不变量、T不变量等结构特性进行了生物解释，这为后续研究奠定了基础. Reddy等则侧重于分析，提出了对P不变量、T不变量、有界性等的定性分析.Matsuno等［4］介绍了一种扩展的基本Petri网——混合函数Petri网（hybrid functional Petri net，HFPN），以糖酵解过程为例进行HFPN建模.该模型的特性十分适于生物过程建模. Hardy等［5］提出了使用连续Petri网（continuous Petri net，CPN）对代谢过程进行建模的方法，使用不变量分析对由CPN模型模拟所获取的数据进行分析，连续Petri网的连续概念同混合Petri网中离散元与连续元的应用有共通处.

文献［6］用混合Petri网（hybrid Petri net，HPN）对三羧酸循环过程进行了建模，通过仿真能够获取反应过程的相关数据.但是，该建模仿真方法存在无法获取反应过程中各个时间点（或者说反应阶段）的反应物状态的缺点.而按需要提取各个阶段反应物的消耗量、剩余量等信息，对代谢反应的研究有着重要的意义.为了弥补这一缺陷，本文在混合Petri网模型的离散变迁中加入两个函数，将模型改进为混合函数Petri网模型.并根据循环过程中各个反应状态的数据需求，提出一种优化的状态输出算法.

1 建模背景及改进

1.1 三羧酸循环

三羧酸循环是需氧生物体内普遍存在的代谢途径，又称为柠檬酸循环.三羧酸循环是生物代谢中一项十分重要的过程，它是三种重要生物大分子物质代谢的最终共同途径，也是这几种营养物质在体内相互联系的枢纽［1］.它的发现是代谢化学最重要的成就之一，然而，代谢网络相关研究大多集中在糖酵解和尿素循环等过程中，与它们拥有同等重要性的三羧酸循环的建模研究相对较少.因此，本文以三羧酸循环为对象进行建模.

1.2 三羧酸循环HPN模型改进

从HPN定义Σ=（P，T，Pre，Post，h，M0）［7］可知，混合Petri网由库所、变迁、入射弧、出射弧、混合函数及初始标识六个元组成.仅靠这六元必然无法实现对三羧酸循环分阶段输出各个时间点反应物状态的要求.

针对获取代谢循环系统各状态实时数据的需求，可以对该六元组进行相应改进.首先，为了输出各阶段状态，就需要一个元组来保存各个阶段的状态值，添加库所状态集M，存储待输出的反应物状态.其次，由于是输出的状态以时间点进行划分，故添加时间元tP（Petri time）［8］，表示一个基本时间单位，该时间单位的具体值可根据实际需要赋值；有了基本的时间单位之后，还需要添加抽样间隔IS（interval of sampling），表示抽样输出的间隔所包含的时间单位的个数，该值同样可按实验需求自行设定；为了将反应过程分段，加入延迟元D，记录每个变迁的发生延迟.除此之外，还要为每个变迁加入两个函数：vI和vD［9］，分别表示该变迁如果发生将会使得相连的库所中物质增加和减少的量，该函数还用于判断变迁发生的可能性.在添加了增量、减量函数以及延迟元之后，需要一个集合保存每个变迁的发生条件，因此加入发生条件元C，由布尔函数来区分两种发生条件.

使用混合函数Petri网［10］，依照上述对HPN的改进，就形成了三羧酸循环的混合函数Petri网模型.

2 混合函数Petri网

2.1 定义

为实现算法，经过改进，将HPN扩展成为十三元组混合函数Petri网，定义为

其中：

P为库所的非空有限集合，P=｛P1，P2，…，Pn｝；

T为变迁的非空有限集合，T=｛T1，T2，…，Tm｝；

Pre为输入关联映射，代表PN图中由库所指向变迁的有向弧的集合；

Post为输出关联映射，代表PN图中由变迁指向库所的有向弧的集合；

h为混合函数，表示系统中结点是离散的（D）还是连续的（C），系统中包含离散变迁T，D、连续变迁T，C、离散库所PD、连续库所PC；

M为模型的状态集合，M=｛M1，M2，…，Mi｝，其中每个元素Mi表示在阶段i时，系统中每个库所的标识或者物质量，Mi=（m1（i），m2（i），…，mn（i））；

M0为系统初始状态，表示系统初始状态下各个库所的值；

D为变迁延迟的有限集合，D=｛d1，d2，…，dm｝，表示相应的变迁在发生前必须等待的延迟时间，只有在延迟为零时，变迁才有可能发生；

C为变迁发生条件的有限集合，C=｛c1，c2，…，cm｝，由布尔函数给出值cm=｛0，1｝，该元控制相应变迁的发生条件，控制机制在后文介绍；

tP为系统的基本时间单元，由于生化反应极其迅速，常规的时间单位表述太过繁冗，故在系统中统一使用tP，表示一个基本时间单元；

IS为取样间隔，表示两步计算步骤的时间间隔，由tP的个数表示.当取样间隔最小时，IS=tP；

vD为消耗速率的有限非负实数集合，vD=｛f1，f2，…，fx｝，其中x=（Pβ，tj），β=1，2，…，n，j=1，2，…，m，x是由库所Pβ指向变迁tj的弧，vD表示当变迁tj发生时，库所Pβ中消耗的物质的量；

vI为生成速率的有限非负实数集合，vI=｛g1，g2，…，gy｝，其中y=（tj，Pβ），j=1，2，…，m，β=1，2，…，n，y是由变迁tj指向库所Pβ的弧，vI表示当变迁tj发生时，库所Pβ中因生成而增加的物质的量.

2.2 变迁发生的控制机制

生化反应归根结底是变化的发生，体现在PN系统中就是变迁，因此变迁是非常重要的一环.在以上HFPN系统十三元中，T、Pre、Post、D、C、vD、vI七个元均与变迁有关，其中T、Pre、Post控制变迁在系统中的位置、结构，D、C控制变迁发生的条件，vD、vI控制变迁发生后对系统的改变.为了便于之后运用算法输出HFPN系统各个阶段的状态，在这里先对变迁发生的控制机制进行讨论.

从HFPN定义可以看出，延迟D及发生条件C对变迁的发生进行控制，根据两者不同的值，系统中变迁的状态可分为3种，在此引入函数lj代表变迁的状态值.

（1）当dj＞0或cj=0时，lj=0.此时相应变迁等待延迟归零或发生条件为真；

（2）当dj=0且cj=1时，lj=1.此时相应变迁立即发生；

（3）当dj＞0且cj=1时，lj=2.此时相应变迁已可以发生，只需等待延迟归零.

2.3 系统模型改进

根据HFPN系统的定义，对原有的三羧酸循环HPN系统进行相应改进，系统模型如图1所示.

图1 三羧酸循环HFPN模型Fig. 1 The HFPN model of TCA cycle

3 HFPN系统状态输出算法

为了实现对循环系统状态的监控，并实时获取各阶段的反应数据，在已建立的三羧酸循环HFPN模型的基础上，提出如下混合函数Petri网系统状态输出的优化算法，使用本算法能够获取PN系统前K个状态中各个库所包含的物质量（即反应参与物的剩余量）.

3.1 算法

1. 声明数组T′［z］，赋初值p=0，q=0

3.2 算法内容

该状态输出算法可分为三部分.首先对整个模型初始化，为后续计算做准备.由于模型中拥有离散和连续两种变迁，而这两种变迁在计算中算法并不相同，故首先对模型的变迁遍历，将离散变迁与连续变迁区分开并按顺序放入新的数组T′中.这一操作使变迁编号发生改变，所以还应对入射弧集合Pre和出射弧集合Post进行相应的调整.然后将变迁函数lj初始化.

为了获取模型前K个阶段的状态M，接下来对1至K进行for循环计算.mβ（i+1）∶=mβ（i）表示由于还未进行新的点火（fire），每次循环开始各库所的状态值应与上一个阶段相同.第一部分中已将变迁进行整合排序，这里根据变迁种类将整个循环分为两个次级for循环.在已建立的三羧酸循环系统中，规定连续变迁不消耗库所中的托肯值.因此对连续库所进行for循环，令其状态值恒等于初始状态.

接着对离散变迁计算.循环开始讨论发生条件cj（i）的值：如果与变迁j相连的前集库所中物质量大于该变迁将要消耗的值（即fj），则cj（i）=1，反之cj（i）=0.这一操作避免了状态值出现负数的情况，因为这在生化反应中是不可能发生的.若此时变迁状态函数lj（i）为零且cj（i）=1，表明变迁的延迟dj仍大于零，变迁需持续等待.已知第i阶段变迁延迟dj（M［i］）（其中M［i］表示系统在i阶段的状态集合）和采样间隔IS，可知延迟过后系统处于第i+｛dj（M［i］）/IS｝-1阶段，这样便可根据发生条件cj（i）的值，对该阶段的lj函数赋值（cj=1，lj=1；cj=0，lj= 0）.而在等待延迟过程中各阶段（i到i+｛dj（M［i］）/IS｝-2）的lj值应为2.另一方面，如果第i阶段lj的值为1，说明此时延迟已归零，变迁tj已经能够发生，检查发生条件是否为真，若cj（i）=1，则变迁发生.变迁tj发生自然对与其相连的库所的状态值产生增减变化，为了输出正确的状态值，算法接着对M［i+1］进行相应更改.依据定义中变迁tj的消耗速率集vD中的数据fx，将tj的前驱库所的状态值减去fx，即mβ（i+1）=mβ（i+1）-fx（M［i］）.同样，依照变迁tj的生成速率集vI中的数值gy，将tj的后驱库所的状态值增加gy，即mβ（i+1）=mβ（i+1）+ gy（M［i］）.至此，算法核心部分，即计算第i阶段各库所的状态值已经完成.为了对第i+1阶段循环继续进行计算，还需要根据i阶段系统的发生对模型状态的改变，对变迁状态函数lj（i+1）赋值：若此时延迟dj不为零，则lj（i+1）=0，反之lj（i+1）=1.

在主体for循环的最后将每阶段的计算结果，即第i阶段过后所有库所的状态值M［i+1］输出，表示为M［i+1］=（m1（i+1），…，mn（i+1））.同时该数据也作为初始状态进入下一轮循环.

4 算法应用

为便于检验算法的正确性，根据三羧酸循环HFPN模型，取其中核心的八步循环反应构建如图2所示简化模型.其中

图2 三羧酸循环简化模型Fig. 2 Simplified model of Krebs cycle

由于三羧酸循环涉及的反应物量的准确数据缺乏，且这里仅为验证算法，故将反应参与物的量设定为易于计算的整数.

由算法可知，离散库所中物质的量不会因离散变迁的发生而改变，因此仅取模型中连续库所与连续变迁部分进行算法的检验.模型中混合函数h皆为C.

此外，为节约计算时间，将采样区间设为最小，即IS=tP；将所有变迁的发生条件C的初值都设为1，这样可使系统尽快进入计算阶段.

将该模型数据带入状态输出算法，经过计算，输出的模型前8个阶段状态如下：

5 结 语

前期工作中针对生物代谢网络的特性提出了新生物代谢网络建模步骤，并据此对三羧酸循环建立了混合Petri网模型.为了实现对代谢循环反应过程的监控，获取生化反应各个阶段中各个反应参与物的状态，本文针对这一需求，对原HPN模型进行了改进，添加数个函数及元，将原有的六元HPN扩展称为十三元混合函数Petri网模型，并提出相应的HFPN系统状态输出算法.代入简化模型可知算法是可行的，通过生化反应方程式的计算验证了算法的正确性，实现了输出反应各阶段物质状态的目标.

获取代谢循环反应过程中各阶段的反应物状态数据，能够为生化反应的实时监控、反应调控、结果预测等提供极大便利.同时，使用计算机对循环反应过程进行建模以及仿真分析，相对于传统生物实验对于实验环境、实验器材、实验时长的严格要求，节省了大量的物质成本，而且计算机对反应的快速仿真与计算也节约了可观的时间成本.

文中的HFPN系统状态输出算法虽然是基于三羧酸循环模型提出的，但由于生化反应方程的相似性，该算法在其他生物反应网络、生物代谢循环的建模分析中同样可以发挥作用，但也存在连续性数据输出表述方面的不足，以后可在此方面进一步研究.

［1］ 查锡良. 生物化学［M］. 2版. 上海：复旦大学出版社，2011：109-217.

［2］ Hofestädt R A. Petri net application to model metabolic processes［J］. Systems Analysis Modeling Simulation，1994，16（2）：113-122.

［3］ Reddy V N，Liebman M N，Mavrovouniotis M L. Qualitative analysis of biochemical reaction systems［J］. Computers in Biology and Medicine，1996，26（1）：9-24.

［4］ Matsuno H，Fujita S，Doi A，et al. Towards biopathway modeling and simulation［J］. Lecture Notes in Computer Science，2003，2679：3-22.

［5］ Hardy S，Robillard P N. Petri net-based method for the analysis of the dynamics of signal propagation in signaling pathways［J］. Bioinformatics，2008，24（2）：209-217.

［6］ Li X Z，Wang L，Liu Y，et al. The modeling of the Krebs cycle based on hybrid Petri net［C］//Fang X W. Proceeding of the 11th International Conference on Natu-ral Computation（ICNC'15）. Changsha：University of Hunan Press，2015：1187-1191.

［7］ 吴哲辉. Petri网导论［M］. 北京：机械工业出版社，2006：181-209.

［8］ Castellini A，Franco G，Manca V. Hybrid functional Petri nets as MP systems［J］. Natural Computing，2010，9（1）：61-81.

［9］ 丁德武，李文泽. 代谢网络结构与功能的Petri网分析［J］. 计算机工程与应用，2012，48（28）：42-46.

［10］ Baldan P，Cocco N，Marin A，et al. Petri nets for modeling metabolic pathways：A survey［J］. Natural Computing，2010，9（4）：955-989.

责任编辑：常涛

State Algorithm and Improvement of the Petri Net Model of the Krebs Cycle

WANG Long，LI Xiaozhong，LI Yong，LIU Xiaoqin，ZHAO Peng
（College of Computer Science and Information Engineering，Tianjin University of Science & Technology，Tianjin 300222，China）

The established hybrid Petri net model of Krebs cycle in our preliminary work has a defect，so it is unable to get the model state of each period in the cyclic process.Aiming at remedying it，the original model has been improved with the hybrid functional Petri net.According to the improved model，a state algorithm is put forward and verified by a simplified model.Thus，the capacity of each place，i.e the quality of the reactants，in the first K phases of the cyclic reaction can be obtained and put out in sequence，which helps a lot in monitoring and studying the course of reaction of the Krebs cycle.

hybrid functional Petri net；the Krebs cycle；state algorithm

TP399

A

1672-6510（2016）05-0063-06

10.13364/j.issn.1672-6510.20150210

2015-11-16；

2016-02-04

国家自然科学基金资助项目（61070021，11301382）

王 龙（1990-），男，河南郑州人，硕士研究生；通信作者：李孝忠，教授，lixz@tust.edu.cn.

数字出版日期：2016-07-11；数字出版网址：http://www.cnki.net/kcms/detail/12.1355.N.20160711.1612.008.html.