浅谈高中排列与组合的有效教学

吴婉铭

摘 要：排列组合是组合论最初步的知识，广泛应用于工程技术以及许多自然科学中，我们熟悉的概率论、计算机科学、图论等都用到组合论的方法结果.本文通过对排列组合这部分内容的知识要点、高考要求以及学生情况进行简要分析，主要结论有：（1）有效教学必须有正确的数学思想做指导.（2）创设合理有序的问题情境十分必要.（3）教学时要勤于总结，善于鼓励学生.（4）学习兴趣能保证课堂有效教学顺利开展.（5）针对排列组合的不同问题，必须灵活选择教学策略.本论文为实现排列组合课堂有效教学提出了一些思考与建议，从而为教师实际教学提供了参考依据.

关键词：排列组合；数学课堂；有效教学

1 高中教材中对排列组合内容的学习要求

計数问题是数学中重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，他们为解决很多实际问题提供了思想和工具. [1]在本模块中，学生将学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用等相关知识，了解计数与现实生活的联系，学会解决简单的计数问题.

2 高考排列组合内容小结

近年来，高考对于传统知识的排列、组合应用问题的考查，往往以填空、选择题为主，具有一定的灵活性、综合性、实用性，难度中档.

大题中通常是排列、组合跟概率、集合、不等式等其他相关的数学知识进行搭配考察学生的数学综合能力. [2]此类试题在灵活性、综合性等方面都有加强，难度中上，对相应数学知识点的概念要有清晰的把握.

3 高中排列组合的有效教学

所谓有效数学教学，它是相对于一定的教学目标而言的，是指通过数学教师有效的教学手段使学生获得包括数学事实性知识、一般能力和特殊能力（包括创新和实践能力）、思维和智力、情感、态度和价值观等全方位的最优化发展. [3]如何避免数学课堂无效教学现象的出现，实现有效教学，让学生乐学、好学，并且真正学有所用？首先，我们必须运用正确的数学思想来指导教学，渗透于教学中.

3.1 排列组合中常见的数学思想

数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识，能否有意识地运用数学思想方法解答数学问题，是衡量数学素养和数学能力的重要标志.排列组合中常见的数学思想有分类讨论思想、化归转化思想、方程思想、集合思想、整体思想、对称思想.[4]

3.2 课堂教学注意事项

教师除了要教会学生正确运用数学思想解决实际问题以外，在课堂教学中还必须灵活恰当地运用一些教学策略，以提高教学效率、实现有效教学，以下几点是需要注意的：

3.2.1 在讲解新授课时，创设合理有序的问题情境

《课程标准》要求：要促进学生在知识技能、数学思考、解决问题及情感态度等方面全面发展.排列组合这部分内容对学生逻辑思维能力的要求相对比较高.因此，在做教学设计时，必须预先设计好课堂的良性互动，而创设合理有序的问题情境就显得理所当然了..那么，如何去创设有效的问题情境呢？创设有效的问题应注意什么呢？

首先，构建的问题情境应该是真实的，并且紧扣有关的数学学习内容.其次，它能为学生提供适当的思考空间，让学生的思维经受来自问题的挑战.最后，尽量生动有趣.

教材中排列组合的例子大多都是学生熟悉的，很容易设计一些生动有趣的问题提高学生的学习兴趣.若是教师能结合课堂采用生动幽默的教学风格，课堂的有效性肯定能有很大的提高. [5]

例如新课的课堂导入可以选择一个学生熟识的问题情境：从本校出发到某个具体地点的办法有哪些？教师引导学生在路线选择和交通工具上进行讨论后，经整理便可讲清分类计数原理和分步计数原理的联系与区别，然后给出两个基本计数原理的定义，再提问学生用到这两个原理的例子还有哪些.这个问题情境创设的作用在于激发学生的学习兴趣，吸引学生参与课堂活动.同时，熟悉的生活情境与数学知识的融合能让学生更加容易接受新知识.再例如在讲解组合这部分内容时，教师必须让学生弄明白其与排列的区别，给出几个问题情境。

3.2.2善于总结，适当鼓励学生

教师在教学过程中除了要充分备好新课，还要善于总结.由于排列组合知识来源于间接经验，要在课后适时进行总结.总结主要是本章节中几个概念的巩固、他们之间的联系区别以及结合经典实例的讲解.

“激励是有效课堂教学管理的核心”，适当地鼓励学生能增强他们的自信心、树立良好的学习心态.

3.2.3针对排列组合的不同问题，灵活选择教学策略

排列组合的题目类型及变式繁多，解题方法也是层出不穷。教师必须充分做好备课工作，根据课堂教学内容的要求，精选例题，可以根据例题的难度、结构特征、思维方法等各个角度进行全面剖析，不片面追求例题的数量，而要重视例题的质量.如在讲解排列与组合的区别时，应该关键注意 “顺序”这个词语的含义，再结合例题进行分析.在排列组合的综合应用方面，我们可以进行分类讨论，对于无限制的简单排列组合问题，我们可以直接用公式进行求解；对于有限制的排列组合问题，可以根据具体的限制条件，用“直接法”或“间接法”进行求解.

排列组合问题的考查方式很多，具体有以下几种题型：排列应用题、组合应用题、排列与组合应用题、分组问题、全能与专项问题、几何问题.对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想，将其化归为简单的、具体的问题来进行求解.在解题时，解答过程可以由教师完完整整写出，也可部分写出，或者请学生写出.关键是讲解例题的时候，要能让学生也参与进来，而不是由教师一个人承包，对学生进行满堂灌.在教学方面，教师则应该以学生的知识需要根本出发点，深入剖析排列组合的指导思想以及解题技巧.在课堂教学时，教师应该起着指引作用，与学生进行互动式教学，学生也应该做到积极配合，从而达到教学双赢的教学效果.在共同探讨解题方法的同时引导学生因地制宜，根据不同类型的题目灵活采取解题策略，并且教师可以腾出时间，让学生做练习或思考教师提出的问题，或解答学生的提问，以进一步强化本堂课的教学内容.如果条件允许的话，可以鼓励学生进实践工作，验证排列组合问题在生活中的运用以及体现方式，从而培养自己运用排列组合知识解决生活实际问题的能力，达到了升华排列组合知识的目的. [6]

4 结语

这里总结一下本人对排列组合课堂有效教学的一些建议：（1）重视基础知识的教学，课堂教学一定要讲清概念，特别是两大基本计数原理，让学生弄懂弄通什么叫“完成了一件事”，什么情况下要分步，什么情况下要分类.（2）注重数学思想方法的运用，把握好数学思想是解题的关键，教学过程中要不断向学生渗透数学思想.（3）开拓解题思路，鼓励学生一题多解，全面提高学生综合分析解题能力.（4）注意归纳，及时总结.要引导学生在学习过程中勤于思考，善于归纳知识点，整理所做习题，找到失误原因，及时进行总结，形成自己的知识体系. 本论文着重于研究排列组合知识课堂的有效教学以及高中生的基本情况分析，既给老师们如何提高自己的教学效率提供了参考意见，也做到了从学生的实际情况出发，总结出排列组合的各种题目类型、解题方法以及解题时需要注意的问题，对数学课堂教学效果的提升起着十分重要的作用，促进了排列组合知识在生活中的应用，也体现了数学知识在社会进步发展中的重要作用.

参考文献

[1] 人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书·数学 第二册（下B）[M].北京：人民教育出版社，2006.6.

[2]冯光庭.高中数学新课程高效创新教学法[M].武汉：武汉大学出版社，2008.4.

[3]孙名符.数学教育学原理[M].北京：科学出版社，1996.

[4]许娟.《高中排列组合的教学研究与实践》.[D].西北师范大学.2006年.

[5]席明闰.排列组合问题的类型及解答策略[J].内江科技，2010（2）：200-201.

[6]冯立梅.初学排列组合两个基本原理时的两类易错问题[J].教育园地.2010（8）：82.