函数单调性在解不等式问题中的应用

◇　甘肃　杨红霞

(作者单位：甘肃省庆阳市华池县第一中学)



函数单调性在解不等式问题中的应用

◇甘肃杨红霞

某些命题中并没有给出函数的单调性,需要我们来判断．常用的方法有如下几种:

1) 利用基本初等函数的单调性,如指数函数y=ax(a>0,a≠1),当01时,函数在定义域范围内单调递增等．

2) 利用函数的四则运算或复合运算来判断函数的单调性，如增函数-减函数为增函数，减函数-增函数为减函数.复合函数的单调性“同增异减”等．

3) 结合函数奇偶性判定,如奇函数在对称区间内的单调性相同,偶函数在对称区间内的单调性相异．

4) 利用导数法判断函数的单调性．

下面就解不等式问题中单调性的应用进行探究．

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1　正用

msinθ>m-1．

①

当θ=π/2时,sinθ=1,不等式①恒成立．

2　逆用

(1) 求a的取值范围;

(2) 设x1、x2是f(x)的2个零点,证x1+x2<2.

(2) 不妨设x1f(2-x2),即f(2-x2)<0．

由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,而

f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0,

所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2．

设g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,则g′(x)=(x-1)(e2-x-ex)．所以当x>1时,g′(x)<0.而g(1)=0,故当x>1时,g(x)<0．从而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2．

3　变形用

(作者单位：甘肃省庆阳市华池县第一中学)