势能及相关概念

蒋 平

（复旦大学物理系，上海 200433）

势能及相关概念

蒋 平

（复旦大学物理系，上海 200433）

合理处理高中与大学物理教学的关系，使二者无障碍衔接是当前高校基础物理教学普遍关心的问题.本文以势能概念作为载体，试图从势与势能、势能与保守力以及与势能相关的能量转换这3个方面说明如何在现有中学物理教学的基础上使学生在大学阶段能正确、深入地理解、掌握基础物理的基本概念和基本规律.重点强调势能并非单个物体的性质，而是反映物体间相互作用的体系的性质.并具体以势能为态函数为例反映物理学各个分支间的有机联系，说明表观上不同的物理现象可以用相同或相近的概念或规律描述.

势能；相互作用；保守力；态函数

翻开高中和大学基础物理教材，如果单看目录，其中各章节的标题几乎如出一辙，没有多大区别.因而在教学实践中如何处理中学与高校物理教学的衔接、理清彼此间的关系自然就成为许多高校基础物理教师共同关注的问题.有人说大学基础物理相比于中学物理课就是多了微积分.这种说法有一定的道理，因为高校基础物理使用的数学工具更多的是高等数学.然而，这种说法又是片面的，因为中学物理课和大学基础物理课的差别不止是否应用微积分，甚至主要不在于这数学工具.笔者以为这个差别主要在于“理”上.俗话说物理物理，讲的就是这个适用于万物的普遍的“理”.如果做一个不太严谨的区分，中学物理课程主要讲的是“物”，就是说对于物理概念和物理规律的介绍基本处在现象的描述和归纳的表观层次上；而高校基础物理更多地关注“理”，就是要透过表观的现象，深入分析、研究概念和规律的内在本质.另一方面，在中学阶段，除了力学知识有较多的应用外物理学的各个分支基本上是彼此独立的.但实际上物理科学是一个整体，其各个分支学科之间存在着密切的、有机的联系.揭示这种联系也是大学基础物理教学的题中之义.本文拟就势能这一涉及力学、电学和热力学几个分支学科的概念探讨如何体现不同分支学科之间的联系.

1 势能和势

中学物理教学中势能是一个难点，不容易讲清楚.因此，必须在高校基础物理教学序列里明确澄清势能的概念.在中学和大学基础物理教材中提到的势能基本不外乎重力（或引力）势能、弹性势能和静电势能；而在教学过程中涉及最多的当数重力势能和静电势能.静电势能常与静电势密切联系在一起；重力势能也与重力势（如取地面为地球重力势的零点，则在地面附近重力势即为gh，g为重力加速度，h为距地面的高度）相联系，尽管通常并不提及.常常可在教材的静电学部分看到这样的论述:一电量为q的点电荷在电场中电势为V处的电势能为q V.这一说法虽然普遍却并不严谨.事实上凡势能必涉及相互作用，例如至少两个质点或两个点电荷之间的相互作用；因此说某个电荷的电势能并不恰当.我们具体以两个点电荷Q和q为例.设这里产生电场的为场源电荷Q，所谓“q在Q电场中的电势能”其实是q与Q之间静电相互作用的势能.同样，q也产生电场，这一电势能也可表达为Q在q的电场中的电势能.就是说对两个点电荷组成的体系，电势能属于这两个电荷所共有，是体系的性质，而非哪个单一电荷的性质.而对由多个点电荷组成的体系而言，电势能是体系中各个点电荷之间的静电（库仑）相互作用势能的总和.如果非要说某个电荷的电势能不可，也应理解为该电荷与所有其他电荷静电相互作用势能的总和.可见，说单个电荷的电势能既在原理上不甚恰当，也不能充分表达电势能所蕴含的物理意义.这其实也是势能和动能的不同之处，众所周知，即使对单个物体当然可以谈论其动能.再回到上述两个电荷的情形.虽然这里电势能可以表达成qV的形式，V为场源电荷Q在q所在处的电势，电势V却是单个点电荷Q的性质.电势的意义在于以标量形式描述电场.总之，可以谈论单个点电荷的电势及其在空间的分布，而不宜说单个点电荷的电势能.这是电势与电势能的关键性区别.类似地，通常所说在重力场中某个重物的势能也完全可以说是地球在该重物引力场中的势能，因为重力势能必然是指重物与地球之间引力相互作用的能量，同样是重物和地球组成的体系的性质.就是说，机械势能也必是相互作用的能量，决非单个物体或质点所独有.同样，与重力势能不同，重力势却非重物和地球体系的性质，而纯属地球自身的力学性质，这与电势可以是单个点电荷电场的性质是完全相似的.

不过势与势能有一点相同，都是差值才具有明确的物理意义，而具体数值都依赖于原点的选取，实际上便是对零值的差.这里讨论两个具体的典型例子.

首先是最常见的重物和地球.重物处于某处时这一体系的引力势能可写为地球在该处的引力势VG与重物质量m的乘积m VG.VG决定于该处相对地球中心的位置以及地球的质量分布.习惯上常将地球抽象为一质量极大的理想刚性球，其中心位置及质量分布都不会因为重物的存在和运动而改变；因而空间任何一点的引力势均为一不变常数，均可取为重力势的参考点，即认为该点的重力势为零.这样，相应地，当重物处任意位置时其与地球组成的体系的势能都可取为重力势能的零值.即不论重物置地面还是塔顶抑或井底都可取体系的势能为零.重物处地面附近的情形最为常见，因此很多时候特别是中学教学里都取重物处地面时其与地球组成体系的势能为势能的零值.由此，通常所说重物处于某处的重力势能其实就是重物处于该处和其处地面时与地球之间的引力势能之差.

其次是电势.这与地球的引力势有所不同.以一组点电荷为例，其电场在任意点P的电势与各个电荷的位置有关，位置变化电势就变化.因此，除非各点电荷固定在空间不动，P点的电势不具备参考点的功效.就是说电势的零点不能任意选取.如电荷分布在有限空间通常取无穷远处为电势零点，因为有限空间电荷的变化和运动并不会对无穷远处产生影响.相应地，电势能的零点也不能任意选取.对于给定电荷和场源电荷之间的相互作用静电势能，如果场源电荷处在空间的有限范围，常将给定电荷处于无限远处时其与场源电荷间的电势能作为静电势能的零点.习惯上还有一种电势零点的选择，就是将地球电势取为零（以不考虑地球本身携带的负电荷为前提，而将地球视为一硕大的中性导体球）.这是因为地球电容很大，有限的电量增减并不能使其电势产生明显变化.这两种电势零点选取的兼容性笔者曾与同事有专文探讨［1］.

2 势能与保守力

众所周知，保守力做功导致势能变化，而势能的负梯度就是保守力.例如重力势能的负梯度就是地球引力，具体计算则为对重物位置求导数.问题在于重物对地球也有引力；因此，严格说来在惯性参照系（例如取重物与地球的质心为参照系）里当重物位置变化时地球的位置也要变化，这也会导致重力势能的变化.换言之，重力势能不仅仅单是重物位置的函数.这当然是因为势能是反映体系相互作用的能量这一性质.不过，实际上由于地球质量远远大于重物的质量，地球位置的变化实际上可略去，这才使我们可以只关心重物的位置.于是便得到惯常使用的重力和重力势能的关系.但如果组成体系的物体彼此的质量可以比拟，在讨论保守力和体系势能的关系时原则上应考虑每个物体位置的变化.下面以两个点电荷q1和q2组成的体系为例具体讨论这一问题.略去万有引力作用，体系的势能即静电势能（以二者相距无穷远时电势能为零）可表示为

其中r1和r2分别为q1和q2的位矢.所谓点电荷，可视为荷电的质点.由于库仑相互作用，一个点电荷q1的位置r1变化时另一点电荷q2的位置r2也要变化，但静电势能只决定于彼此间的相对位置，即距离|r1-r2|.将式（1）简化为

其中

q1受到的库仑力为

式（4）中，

式（4）的分量形式是

注意

可得

（r1-r2）0为从q2指向q1的单位矢量.

如q1与q2同号，则K＞0，q1受力方向为由q2指向q1，即为斥力.如q1与q2异号，则K＜0，q 1受力方向为由q1指向q2，即为引力.

同理可得q2受到的库仑力为

上面的讨论完全适用于分别位于r1和r2、质量分别为m1和m2的两个质点之间的万有引力.此时（取m1和m2相距无穷远时为势能零点）

式中G为引力常数.由于K′恒小于零，与引力相应.

如果体系中包含两个以上的点电荷，分别用q1，q2，…，qn表示；各个点电荷的位置为r1，r2，…，rn，体系的静电相互作用能即势能可表示为

容易得到第i个电荷qi所受的库仑力

3 与势能相关的能量守恒定律

习惯上在力学范围内认为在保守力作用下机械能守恒，典型的例子是在重力作用下重物的机械能守恒.重力这一保守力对重物做功导致重力势能下降，转化为重物动能的增量，于是重物的机械能守恒.其实，重力对重物做功转化为重物的动能只是动能定理对重物的应用，因为如前所述机械能中的势能属于重物和地球组成的体系，并非重物独有.比动能定理更为普遍的功能原理在这里表现为引力保守力对重物和地球二者做功导致体系重力势能下降，转化为重物和地球二者动能的增量.只是由于地球质量远大于重物，引力对地球做的功和地球的动能可以忽略，势能下降在实际上便全归结为重力对重物所做的功.如果体系中物体的质量可以比较，则保守力的功应为其对所有受保守力作用的物体所做功的总和，并转化为所有物体动能的增加；这样才可完整地体现出只有保守力做功的孤立体系的功能原理，且这里功能原理具体表现为机械能守恒，即体系势能的变化转化为体系动能的增量.这一功能原理对静电势能同样适用.下面讨论两个质量m1和m2可以比拟的点电荷q1与q2组成的体系.设初始状态为二者被束缚静止于水平面上x轴原点两边的x10和x20处，x10＞0，x20＜0.为简单计，将原点置于体系的质心上，即取质心系.因此有

假设q1和q2异号，则当束缚松开后两电荷便在库仑引力作用下沿x轴相向加速运动.我们讨论二者在原点相遇前的运动过程.为简单计，略去摩擦损耗.从两点电荷的牛顿方程开始.

对q1，库仑力为

利用式（3）可将上式简化为

此处

由于取质心系，m1x1+m2x2=0，式（14）化为

其中

于是可写出q1的牛顿方程

v1为q1的速度.代入式（16）可化为

积分得

同理，对q2可得

其中

式（18）左边表示库仑保守力对q1做的功；而式（19）左边则表示静电力对q2做的功.将此二式相加，并注意m1x10+m2x20=m1x1+m2x2=0，可得

式（20）左边表示保守力做的总功；而第一项正是初始状态体系的静电势能Ep0，第二项则为终态体系势能Ep，上式即为

这正是这一孤立体系的功能原理.保守力库仑力做功，导致体系势能下降，转化为两个质点m1与m2动能的增量.式（21）中的0表示初态体系动能.注意式（18）和式（19）分别为两个质点的动能定理，表示保守力做功的一部分转化为一个质点动能的增加；另一部分转化为另一个质点动能的增加.而式（20）的左边则表示保守力做的总功，即对所有受保守力作用物体所做的功的总和，以体系势能下降为代价.式（20）也可视为机械能守恒的推广，因为静电势能和机械势能具有同样的能量转化功效.

我们还可以注意到在一定程度上式（4）和式（17）是等价的，实际上可视为互为逆运算.式（17）表示在给定参照系里只有质点本身有位移外力才能做功.例如这里的情形，如果q1的位置不变，d x1=0，即使q2位置变化使作用在q1上的库仑力改变，库仑力也不会对q1做功.

然而，由式（20）也使我们看到保守力做的总功只取决于物体间相对位置x1-x2的变化，从而不依赖于参照系的选择.因此，通常在计算重力或静电力做的总功时可以取某个物体或电荷静止的参照系（包括非惯性参照系）而使计算简单［2］.不过，这样做并不意味着势能这样的体系性质可以简化为类似于动能那样的单个物体的性质.而且，在非惯性系里虽然保守力的总功仍可正确计算，但必须计及惯性力才能应用基于牛顿定律的动能定理等其他规律.我们仍以两个质量分别为m1和m2的质点的力学体系为例.设保守力为fc.在质心系里，设二质点的位矢为r1和r2.m1的动能定理为

而m2的动能定理为

保守力的功能原理为

其中应用了质心系条件m1v1+m2v2=0.d Wc为保守力对m1和m2所做的元功总和.注意d r1-d r2=d（r1-r2），而（r1-r2）为m2静止的非惯性系中m1的位矢，d（r1-r2）则为在该非惯性系中m1的元位移.因此在m2静止的非惯性系中保守力的功仍为d Wc.这里比式（20）更清楚地表明保守力的总功不依赖于参照系的选择.

在m2静止的非惯性系中，m1的动能增量为由于在该参照系中保守力的元功仍为d Wc，显然，d Ek≠d Wc.这一差别可归结为惯性力做功.作用在m1上的惯性力为，因而惯性力做的元功d Wi应为

代入fi的表达式，并注意可得

比较以上各式可知d Ek=d Wc+d Wi.

如果m2≫m1，便约化到通常重物和地球的情形.

对由若干个荷电导体组成的体系而言，电荷间相互作用势能还有一层意义.静电场的能量就是组成这一体系的所有电荷元之间相互作用势能的总和［3］.而对重物和地球体系而言，当讨论引力做功导致体系势能变化时引力为保守内力；体系势能降低（增加）转化为动能增加（降低），从而使体系的机械能保持不变，适用功能原理.而单对重物而言，地球引力为外力.如重物下降，外力做正功使重物动能增加，适用动能定理.对单个重物谈论势能或机械能守恒原则上并无意义.当然，无论动能定理还是功能原理都是普遍的能量守恒原理的具体表现.

4 势能与态函数

在日常教学实践中，除去气体压强和膨胀做功而外热学和力学、电学少有联系.其实，热力学中态函数的概念却将力学、电学和热学这几个分支学科紧密联系在一起.这个联系点就是势能.势能具有态函数所有的诸多性质.以两个点电荷组成体系的静电势能为例，如将彼此相隔距离r作为一种状态，那么静电势能就是态函数，因为只要彼此相距r，两电荷间的静电势能就完全确定，而和如何达到此距离的历史或过程无关.在零值选定之后，态函数就唯一地由状态参量的值决定.这里电荷间的距离r就是状态参量.由此可见势能这一概念将力学、静电学和热力学通过态函数紧密地联系在一起，成为物理学是一有机整体的典型例证.这种联系的一个重要表现就是看似不同的物理现象可用相同或相近的概念或规律描述［4］.这在物理学中屡见不鲜.教师掌握这类联系无疑有助于提升教学质量.

本文涉及的关于势能的所有内容并非全能见诸大学基础物理的常规教材，也并非必须全在课堂上讲授.然而，笔者认为教师掌握相关内容则是完全必要的.这也是本文的目的所在.

［1］冀敏，蒋平.浅谈两种常用静电势零点选择的兼容性［J］.物理与工程，2016，26（1）；

［2］梁励芬，蒋平.大学物理简明教程［M］.3版.上海:复旦大学出版社，2011:95.

［3］冀敏，蒋平.带电导体系的电场能量［J］.物理与工程，2015，25（3）:34-37.

［4］Crawford Jr.Waves:Berkeley physics course［M］.Volume 3. New Delhi:Tata McGraw Hill Education Private Limited. 2011:Preface to VolumeⅢ.

POTENTIAL ENERGY AND RELATED CONCEPTS

Jiang Ping
（Physics Department，Fudan University，Shanghai 200433）

Currently how to treat reasonably the relationship between physics teaching in high schools and that in universities and colleges，making smooth link between them is a generally concerned problem.Taking potential energy as a concrete example the author tries to answer this problem.Basically the paper consists of three parts:the difference between potential and potential energy，the conservative force and potential energy，and the energy changes that potential energy is involved in.Besides，the potential energy is considered as a state function to show the organic connections between different branches of physics，i.e.，many different and apparently unrelated physical phenomena can be described in terms of common or similar concepts.

potential energy；interaction；conservative force；state function

2016-05-13

蒋平，男，教授，长期从事固体物理的教学和理论研究，复旦大学物理学系课堂教学督导组组长.pjiang@fudan.edu.cn

蒋平.势能及相关概念［J］.物理与工程，2016，26（4）:40-44.