高速列车一系垂向悬挂系统最佳阻尼比的解析计算

周长城，于曰伟，赵雷雷

(山东理工大学 交通与车辆工程学院，山东 淄博 255049)



高速列车一系垂向悬挂系统最佳阻尼比的解析计算

周长城，于曰伟，赵雷雷

(山东理工大学 交通与车辆工程学院，山东 淄博 255049)

针对高速列车一系垂向悬挂系统中存在的阻尼匹配问题，通过国内外各种典型轨道谱分析，利用曲线拟合方法，建立能够有效反映实际轨道路况且满足车辆运行安全性理论分析计算的轨道高低不平顺输入模型；根据1/4车体4自由度垂向振动模型，以车辆运行安全性最佳为目标，利用随机振动理论和留数定理，建立高速列车一系垂向悬挂系统最佳阻尼比解析计算数学模型。通过实例计算及仿真验证可知：一系垂向悬挂系统最佳阻尼比的解析设计值与仿真验证值的最大相对偏差仅为2.37%,表明所建立的高速列车一系垂向悬挂系统最佳阻尼比的解析计算方法是正确的，该研究为高速列车一系垂向悬挂系统阻尼比的初始设计提供了理论指导。

高速列车；一系垂向悬挂系统；最佳阻尼比；解析计算；留数定理

一系垂向悬挂系统作为高速列车悬挂系统的重要组成部分，其阻尼匹配对高速列车的运行安全性具有重要影响[1-3]。然而，由于受轨道车辆悬挂系统最优阻尼匹配理论的制约，目前，国内外对于高速列车一系垂向悬挂系统最佳阻尼比一直没有给出可靠的解析计算方法[4-6]。许多国内外学者对轨道车辆一系垂向悬挂系统进行了大量研究，但这些研究主要针对减振器阻尼系数进行，主要采用的方法有控制设计理论法、智能优化设计法和建模仿真优化法。例如，Sugahara等[7-8]分别利用H∞和LOG控制算法对轨道车辆的一系悬挂系统进行研究，给出了基于控制设计理论的一系悬挂系统减振器的最佳阻尼系数优化设计值；Mousavi等[9-14]分别利用遗传算法，神经网络算法，稳健性设计，多目标优化方法等给出了基于智能优化方法的一系悬挂系统减振器的最佳阻尼系数优化设计值；Zhang等[15-16]分别利用ANSYS软件和MATLAB软件给出了基于建模仿真的一系悬挂系统减振器的最佳阻尼系数优化设计值。虽然这些研究能够给出一系悬挂系统减振器的最佳阻尼系数设计值，但主要是对给定车辆参数的轨道车辆减振器的阻尼系数在给定范围内进行优化设计，未曾给出具有指导意义的一系垂向悬挂系统最佳阻尼比的解析计算方法。尽管Mastinu等[17-18]对轨道车辆1/4车体2自由度垂向振动模型进行理论分析，给出了车体振动加速度及一系悬挂垂向行程的响应均方根值数学表达式，然而未曾给出一系垂向悬挂系统最佳阻尼比的设计数学模型，并且所建立的振动模型中未考虑减振器端部连接结构的弹性作用。本文通过国内外各种典型轨道谱分析，对适用于车辆运行安全性分析的轨道高低不平顺输入模型进行研究；根据1/4车体4自由度垂向振动模型，通过高速列车运行安全性分析，对一系垂向悬挂系统的最佳阻尼比进行研究，并结合实例，对一系垂向悬挂系统最佳阻尼比进行解析计算和仿真验证。

1　垂向振动模型及振动响应特性

1.11/4车体4自由度垂向振动模型

轨道车辆动力学模型是进行悬挂系统性能分析和设计的基础。本文采用文献[17～18]所提供的1/4车体2自由度垂向振动模型，在此基础上，考虑减振器端部连接结构弹性作用的影响，建立1/4车体4自由度垂向振动模型对高速列车一系垂向悬挂系统阻尼比进行研究，如图1所示。其中，坐标原点位于各自静平衡位置处。

图1　1/4车体4自由度垂向振动模型Fig.1 1/4 body four-degree-of-freedom vertical vibration model

图中：m1为单个转向架构架质量的一半；m2为单节车体满载质量的1/4；K1和K2分别为每台转向架单侧一系和二系垂向悬挂弹簧的等效刚度；C1和C2分别为每台转向架单侧一系和二系垂向减振器的等效阻尼系数；Kd1和Kd2分别为每台转向架单侧一系和二系垂向减振器的端部连接等效刚度；zd1和zd2分别为一系和二系垂向减振器的活塞杆垂向位移；z1和z2分别为转向架构架和车体的垂向位移；zv为轨道高低不平顺随机输入。

1.2振动微分方程

根据1/4车体4自由度垂向振动模型，在不计轨道耦合振动作用的影响及减振器质量情况下，利用牛顿第二定律，建立1/4车体4自由度垂向振动模型的振动微分方程，即

(1)

1.3转向架构架垂向振动响应传递特性

对式(1)进行傅里叶变换，可得：

(2)

根据式(2)，可得转向架构架垂向振动位移z1对轨道高低不平顺随机输入zv的频率响应函数为：

(3)

式中：N=N0ω4-N1jω3-N2ω2+N3jω+N4，D=-D0ω6+D1jω5+D2ω4-D3jω3-D4ω2+D5jω+D6；其中，N0=C1C2m2(K1+Kd1)，N1=C1Kd2m2(K1+Kd1)+C2K1Kd1m2，N2=C1C2(K1+Kd1)(K2+Kd2)+K1Kd1Kd2m2，N3=K2Kd2C1(K1+Kd1)+K1Kd1C2(K2+Kd2)，N4=K1K2Kd1Kd2；D0=C1C2m1m2，D1=(C1Kd2+C2Kd1)m1m2，D2=Kd1Kd2m1m2+C1C2(K1m2+K2m1+K2m2+Kd1m2+Kd2m1+Kd2m2)，D3=C2K1Kd1m2+(C2Kd1K2+C1K2Kd2+C2Kd1Kd2)(m1+m2)+C1Kd2m2(K1+Kd1)，D4=K1Kd1Kd2m2+Kd1Kd2K2(m1+m2)+C1C2(K2Kd1+K1K2+Kd1Kd2+K1Kd2)，D5=C2K1Kd1(K2+Kd2)+C1K2Kd2(K1+Kd1)，D6=K1K2Kd1Kd2。

(4)

2　轨道高低不平顺输入模型

由于当前国内外各种典型轨道谱的拟合解析表达式形式非常复杂[19]，导致无法对车辆行驶振动系统的响应进行解析计算。因此，为了便于对车辆系统进行动力学特性分析，需构建一种行之有效的，既能够有效反映实际轨道路况，又能够进行理论分析计算的轨道高低不平顺输入模型。

通过分析国内外典型轨道谱[19]，其中，功率谱密度曲线如图2所示，可以看出，实际的轨道高低不平顺功率谱密度曲线可以看作是由若干段斜率不连续的直线组成的。因此，利用曲线拟合方法，可将实际的轨道高低不平顺激扰用一个通用的谱密度函数来近似表达。

(5)

式中：Sv(Ω)为空间频率下的轨道高低不平顺功率谱密度，m2/(rad/m)；Ω为轨道不平顺的空间频率，rad/m；Ωd为双对数坐标下谱密度曲线转折点处的空间频率，rad/m；G为表征轨道不平顺的幅值参数，m3/rad；指数p表示双对数坐标下谱密度曲线的斜率，其中，当p的取值一定时，可通过调节轨道不平顺幅值参数G使所构建高低不平顺功率谱密度函数逼近实际轨道功率谱密度曲线。

图2　国内外典型高低不平顺轨道谱Fig.2 Domestic and foreign typical track vertical profile irregularity spectrum

由式(5)可知，当空间频率Ω趋向0时，所表达的轨道高低不平顺输入的振幅将趋向于无穷大，而实际轨道面并非如此，因此，引入空间下截止频率Ω0，以保证当频率低于Ω0时，功率谱密度幅值保持恒定。此时，实际的轨道高低不平顺谱密度函数可写成如下形式。

(6)

通过对实际轨道高低不平顺功率谱密度曲线(如图2所示)进行分析，可以将实际轨道高低不平顺功率谱密度曲线视为是由2段斜率不同的直线段组成的，且转折点处的空间频率Ωd=1 (rad/m)。因此，根据Ω=ω/v，ω=2πf，及式(6)，利用能量守恒原理，即Sv(Ω)dΩ=Sv(f)df，可以得到时间频率所表示的高低不平顺轨道谱的解析表达式：

(7)

式中：Sv(f)为时间频率下的轨道高低不平顺功率谱密度m2·s；v≤2.5为车辆运行速度，m/s；G为表征轨道不平顺的幅值参数m3；f为轨道不平顺的时间频率，Hz。

分析实际轨道高低不平顺功率谱密度曲线(如图2所示)，可知，p的取值范围通常为2～4。为了能够对车辆行驶振动响应均方值进行解析求解，p的取值应为2或4。此外，由于轨道车辆转向架构架的运行平稳性主要受轨道中高频不平顺激扰影响，可以忽略低频不平顺激扰的影响，因此，取p=4，从而根据式(7)可得适用于转向架构架振动理论分析的轨道高低不平顺输入的时域解析表达式

(8)

其中，轨道高低不平顺功率谱密度随频率变化曲线，如图3所示。

图3　轨道高低不平顺功率谱密度随频率变化Fig.3 Changes of track vertical irregularity power spectrum density along with frequency

根据式(8)，可得到以圆频率ω(单位为rad/s)表示的轨道高低不平顺输入模型为：

(9)

由图3亦可以看出，在中高频范围内，与p=2时相比，p=4时的轨道高低不平顺输入与国内外典型高低不平顺实际轨道谱更具有良好的一致性，能够真实反映实际轨道路况，满足车辆行驶动力学特性分析的要求。因此，可以将式(9)作为轨道高低不平顺输入，对轨道车辆转向架构架的振动特性进行分析。

3　一系垂向悬挂系统最佳阻尼比

根据式(4)及式(9)，利用随机振动理论，可得转向架构架垂向振动加速度的响应均方值为：

(10)

式中：H(jω)z1～zv为转向架构架垂向振动位移响应量z1对轨道高低不平顺输入zv的频响函数。

(11)

式中：B=(D0D3D4D5D6+D0D1D5D62-D0D2D52D6-D0D32D62)b1+(D0D1D4D5D6-D02D32D6+D0D1D3D62)b2+(D0D1D2D3D6-D02D3D5D6-D0D12D62)b3+(D02D1D5D6+D0D1D2D4D6+D02D32D6+D0D22D4D6)b4+(D0D12D4D6+ 2D02D1D4D6+D02D2D3D5-D0D1D2D3D4-D03D52-D02D1D3D5-D02D32D4-D0D12D42-D0D1D22D5)b5，

A=D02D53D6+D0D1D4D5D62-2D0D1D3D52D6+D0D1D3D52D6-D0D33D62-D0D32D4D5D6+D13D63- 3D12D3D5D62+D12D3D4D62+D12D42D5D6+D1D22D52D6+D1D3D52D62-D1D2D3D4D5D6；

其中：

D0=C1C2m1m2，D1=(C1Kd2+C2Kd1)m1m2，D2=Kd1Kd2m1m2+C1C2(K1m2+K2m1+K2m2+Kd1m2+Kd2m1+Kd2m2)，D3=C2K1Kd1m2+(C2Kd1K2+C1K2Kd2+C2Kd1Kd2)(m1+m2)+C1Kd2m2(K1+Kd1)，D4=K1Kd1Kd2m2+Kd1Kd2K2(m1+m2)+C1C2(K2Kd1+K1K2+Kd1Kd2+K1Kd2)，D5=C2K1Kd1(K2+Kd2)+C1K2Kd2(K1+Kd1)，D6=K1K2Kd1Kd2；b1=[C1C2m2(K1+Kd1)]2，b2=(C1K1Kd2m2+C1Kd1Kd2m2+C2K1Kd1m2)2- 2C1C2m2[(C1K1+C1Kd1)(C2K2+C2Kd2)+K1Kd1Kd2m2)](K1+Kd1)，b3=[(C1K1+C1Kd1)(C2K2+C2Kd2)+K1Kd1Kd2m2)]2- 2[C1K2Kd2(K1+Kd1)+C2K1Kd1(K2+Kd2)][C1Kd2m2(K1+Kd1)+C2K1Kd1m2]+ 2C1C2K1K2Kd1Kd2m2(K1+Kd1)，b4=[C1K2Kd2(K1+Kd1)+C2K1Kd1(K2+Kd2)]2- 2K1K2Kd1Kd2[C1C2(K1+Kd1)(K2+Kd2)+K1Kd1Kd2m2]，b5= (K1K2Kd1Kd2)2。

(12)

其中：ξ为一系垂向悬挂系统阻尼比；G为表征轨道不平顺的幅值参数；v为车辆运行速度。

(13)

式中：E0，E1，…，E8分别为以车辆参数表示的高速列车一系垂向悬挂系统最佳阻尼比解析计算数学模型的各项系数。

根据车辆参数，利用Matlab求解高速列车一系垂向悬挂系统最佳阻尼比解析计算数学模型(13)的正实数根，便可得到高速列车一系垂向悬挂系统的最佳阻尼比ξos。

4　计算实例

某高速列车的运行速度v=300 km/h，1/4单节车体满载质量m2=14 398 kg，单个转向架构架质量的一半m1=1 379 kg，每台转向架单侧一系垂向悬挂弹簧的等效刚度K1=3.57×106N/m，每台转向架单侧二系垂向悬挂弹簧的刚度K2=5.68×105N/m，每台转向架单侧二系垂向减振器的阻尼系数C2=43.42 kN·s/m，每台转向架单侧一系垂向减振器的端部连接等效刚度Kd1=40×106N/m，每台转向架单侧二系垂向减振器的端部连接等效刚度Kd2=20×106N/m，每台转向架单侧一系垂向减振器的阻尼系数为C1，对该高速列车的一系垂向悬挂系统最佳阻尼比进行计算。

根据某高速列车的车辆参数，利用上述所建立的一系垂向悬挂系统最佳阻尼比解析计算方法，可计算得到该车辆一系垂向悬挂系统的最佳阻尼比ξos=0.216，由于文献[4]中没有给出解析计算解，只给出了一个范围ξ∈(0.15, 0.30)，可以看出，根据式(13)求得的数值在以上给出的范围之内，表明一系垂向悬挂系统最佳阻尼比的解析计算值是可靠的。

图4　/(Gv3)随一系垂向悬挂系统阻尼比ξ的变化Fig.4 Changes of /(Gv3) along with primary vertical suspension damping ratio ξ

由图4可知，在ξos=0.216时，转向架构架的垂向振动加速度值达到最小；当ξ<ξos时，随着阻尼比ξ的减小，转向架构架的垂向振动加速度迅速增加，即运行安全性变差；当阻尼比ξ>ξos时，随着阻尼比ξ的增加，转向架构架的垂向振动加速度逐渐增加，运行安全性也随之变差。由于一系垂向悬挂系统最佳阻尼比的选取是为了抑制中高频段范围内轨道车辆转向架构架的振动，由图5可知，在阻尼比ξ∈(0.15, 0.30)范围内，当ξos=0.216时，能够有效抑制转向架构架共振区的共振峰，表明最佳阻尼比的解析计算值是可靠的。

图5　轨道输入zv与构架加速度1输出的幅频特性曲线Fig.5 Amplitude-frequency characteristic curve of track input zv and bogie vibration acceleration output 1

图6　轨道输入zv与悬挂动作用力2)输出的幅频特性曲线Fig.6 Amplitude-frequency characteristic curve of track input zv suspension dynamic force output 2)

由图6可知，在阻尼比ξ∈(0.15, 0.30)范围内，当ξos=0.216时，能够有效抑制轮对所受悬挂垂向动作用力共振区的共振峰，表明最佳阻尼比的解析计算值是可靠的。

由图7可知，在中低频段范围内，一系垂向悬挂系统阻尼比对车体垂向振动加速度影响较小；在中高频段范围内，当ξos=0.216时，能够有效抑制转向架构架共振区的车体垂向振动加速度幅值，表明所建立的高速列车一系垂向悬挂系统最佳阻尼比的解析计算方法是合理的。

图7　轨道输入zv与车体加速度2输出的幅频特性曲线Fig.7 Amplitude-frequency characteristic curve of track input zv and vehicle body vibration acceleration output 2

5　仿真验证

可知，利用一系垂向悬挂系统最佳阻尼比计算方法所得到的该高速列车一系垂向悬挂系统的最佳阻尼比ξos=0.216，与利用Matlab/Simulink优化设计所得到的最佳阻尼比ξos=0.211相吻合，两者偏差仅为0.005，相对偏差仅为2.37%。结果表明，所建立的高速列车一系垂向悬挂系统最佳阻尼比的解析计算方法是正确的。

图8　一系垂向悬挂系统最佳阻尼比优化设计仿真模型Fig.8 Optimal design simulation model for damping ratio of primary vertical suspension system

图9　德国低干扰高低不平顺轨道随机输入激励zvFig.9 German track vertical irregularity random input zv

6　结论

1)利用曲线拟合方法，可建立能够有效反映实际轨道路况并且满足车辆运行安全性理论分析计算的轨道高低不平顺输入模型。

2)根据轨道车辆1/4车体4自由度垂向振动模型，利用行驶振动理论及留数定理，可建立高速列车一系垂向悬挂系统最佳阻尼比解析计算数学模型。

3)高速列车一系垂向悬挂系统最佳阻尼比的实例解析设计值与Simulink仿真验证值相吻合，相对偏差仅为2.37%，表明所建立的高速列车一系垂向悬挂系统最佳阻尼比的解析计算方法是正确的，该研究为高速列车一系垂向悬挂系统阻尼比的初始设计提供了理论指导，为基于1/4车辆模型的高速列车一系垂向悬挂系统阻尼比的解析设计提供了一种行之有效的计算方法。

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Analytical calculation of the optimal damping ratio of primary vertical suspension system for high-speed train

ZHOU Changcheng, YU Yuewei, ZHAO Leilei

(School of Transportation and Vehicle Engineering, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

This paper aims to solve the problem of the optimal matching of high-speed traim primary vertical suspension. With the analysis of the typical track spectrum and curve fitting method, the track vertical profile irregularity model which can effectively reflect the actual track traffic conditions and meet the theoretical analysis of vehicle running safety was established; According to the 1/4 vehicle body four-degree-of-freedom vertical vibration model of high-speed train, optimal running safety, and the theory of random vibration and residue theorem, the analytical calculation mathematical model of optimal damping ratio of high-speed train primary vertical suspension was built. With a practical example of high-speed train, the optimal damping ratio of primary vertical suspension was calculated and validated by simulation, and the maximum relative deviation is only 2.37%. The results show that the analytical calculation mathematical method of optimal damping ratio of high-speed train primary vertical suspension is correct. This research provides important theoretical basis for the initial design of the damping ratio of the primary vertical suspension system of high-speed train.

high-speed train; primary vertical suspension system;optimal damping ratio; analytical calculation; residue theorem

2015-12-27

国家自然科学基金资助项目(51575325)；山东省自然科学基金资助项目(ZR2013EEM007)；山东省重点研发计划项目(2015GGX105006)

周长城(1962-)，男，山东泰安人，教授，博士，从事汽车及轨道车辆悬架系统设计；E-mail：greatwall@sdut.edu.cn

U270.2

A

1672-7029(2016)10-1891-08