“函数的零点”教材分析与教学建议

陆建根

(江苏省镇江中学，212017)



○教学研究○

“函数的零点”教材分析与教学建议

陆建根

(江苏省镇江中学，212017)

在“江苏省第十一届中学数学教学高级论坛”上,笔者观摩了几位老师以“函数的零点”为课题的公开课.他们的教学设计合理、精巧,注重引导学生从特殊到一般自己去总结“零点存在性定理”,教学中也都注重数学思想方法的渗透．通过观摩学习,让我对“函数的零点”这部分内容有了更深的理解,也让我对相关教学内容进行了更加深入的思考．

一、“函数的零点”内容陈述

关于“函数的零点”,课本是这样陈述的:

一般地,我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点．

因此,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根．从图象上看,函数y=f(x)的零点,就是它的图象与x轴交点的横坐标．

一般地,若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点．

二、“函数的零点”教材分析

使函数y=f(x)的值为0的实数x的值、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,这三个不同的概念用“零点”来统一,简洁又合理．三者的统一还有利于学生体会函数与方程之间的联系,感受函数问题与方程问题之间的相互转化,从而进一步加深对函数与方程思想、数形结合思想的理解．

研究方程时,我们关心的是求出方程的解；而当方程无法求出精确的解时,我们关注的是方程有没有实数解；如果方程有解而无法求解时,我们会退而求其次,关注的是方程的解大概在什么范围内．同样,在研究函数时,函数的零点是我们在画函数图象时需要确定的一个重要信息．所以,“函数的零点”是函数性质的一个延续,其本身也是函数的一个重要性质．“零点存在性定理”是为后续学习内容“用二分法求方程的近似解”服务的,教材安排“用二分法求方程的近似解”这个内容是为反映方程与函数的联系,体现函数的应用．

“函数的零点”也是为后续知识——“导数”的学习服务的．学习了“导数”的有关知识后,我们可以研究的函数类型大大拓宽了.而研究函数不外乎研究函数的图象与性质,其中单调性是函数最重要的性质之一.函数单调性的转折点与原函数的导函数的零点有十分密切的关系．导函数的零点本身是函数的重要性质,同时也是研究函数的单调性不得不研究的性质．所以“函数的零点”的概念是学习“导数”的一个基础,是为学习“导数”作准备的．

数学科《2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)说明》将“函数与方程”考点从A级要求提升为B级要求,“函数与方程”涉及的最主要内容就是函数的零点．实际上,函数的零点与导数结合早已是高考命题的一个方向．处理函数零点问题时,不但需要掌握零点存在性定理,还要灵活运用等价转化、函数与方程、数形结合等数学思想方法,才能迅速有效地找到解题的突破口．

三、“函数的零点”教学建议

1.让学生认识到学习“函数的零点”的必要性

方程根存在的本质原因是相应函数的零点存在．我所观摩的几节课,几位老师都是利用一个一元二次方程来引入课题,围绕怎样判断所给方程是否有实数根提出问题的．比如方程x2-2x-3=0是否有实数根?而实际上学生对一元二次方程根的存在问题比较熟悉,都会很自然地用判别式来判断一元二次方程根的情况．这样的问题对启发学生的思维作用不大,这样的安排会让学生对学习“函数的零点”概念的必要性缺乏必要的认识．所以,建议教师所选择的引例,最好是学生用已学方法不能求解的方程,这样才能激发学生的学习新概念的积极性,并让其认识到学习“函数的零点”的必要性．例如,我们可以列举下面的例子,让学生思考:

方程ln x+x-2=0是否有实数根?为什么?

在学生对上述问题一筹莫展时,再回到学生熟悉的一元二次方程上来,引导学生利用函数的图象与性质来研究方程的根．

这样的设计能让学生体会到,虽然我们可以用判别式来判断一元二次方程根的存在情况,但其根存在的实质是相应的函数图象和x轴有交点,故对于无法用判别式解决的其他方程就可以根据相应的函数的图象来判断了．这样的安排能让学生体会到判别式法的局限性,更能让学生感受到利用函数的图象与性质来判断方程根的情况这一方法的普遍适用性．

2.借助二次函数图象得到“零点存在性定理”后,要让学生能摆脱函数图象进行思维

首先,在研究一元二次方程与其相应函数图象的关系时,要引导学生以函数图象为工具,建立一元二次方程的根与相应函数零点之间的关系,让学生理解方程根存在的本质,掌握判断方程根存在的一般方法．接着,让学生思考:

函数f(x)的图象穿过x轴,这是几何现象,那么如何用代数形式来描述呢?

然后列举一些特殊的函数,让学生通过观察具体函数f(x)的图象在给定的区间(a,b)内是否与x轴有交点,来认识函数f(x)在(a,b)内是否有零点．这是一个直观认识的过程,对学生来说并不困难．再让学生总结出一般规律：如果函数f(x)满足f(a)·f(b)<0,则函数f(x)的图象在区间(a,b)内与x轴有交点．这个过程看似简单,却是一个由直观到抽象的飞跃,对学生来说是有困难的．教学的关键在于,如何引导学生由函数f(x)的图象在区间(a,b)内穿过x轴的特征,联想到f(a)·f(b)<0．

在具体应用“零点存在性定理”解决问题时,则要逐步让学生摆脱对二次函数图象的依赖,要能直接进行代数论证．函数图象是工具,是桥梁,是帮助我们思考的直观形象,但是我们的思维必须上升到抽象的代数推理的高度，只有这样,才能将所得到的判断方程根存在的方法推广到一般情形,并使学生对方程根存在的认识不仅仅停留在判别式或函数图象上,帮助学生进一步深刻认识引入“函数的零点”概念的必要性．

3.讲清“函数的零点”定义的合理性

函数的零点具有“形”和“数”两方面的含义,这就要求我们从“形”和“数”两个不同的角度来思考,把两个方面联系起来进行认识．

从几何的角度来说,由于知道零点一定在x轴上(纵坐标为0),我们只要再知道横坐标c就可以确定它的位置,所以我们关注的只是零点的横坐标c这个数；从方程的角度来说,由于函数y=f(x)的零点的横坐标c满足f(c)=0,即c是方程f(x)=0的根,解方程就是求出c的值,所以我们关注的仍是零点的横坐标c．

从数学本质上看,因为数轴上的点与实数具有一一对应关系,而直角坐标系中x轴就是一条数轴,所以“零点是点”和“零点是实数”并不矛盾,它们分别是从“形”和“数”两个不同角度对零点概念的刻画,两者是和谐统一的．

所以，我们在教学中,没有必要过度强调“函数的零点不是点而是数”,而应把教学的重点放在函数与方程的联系上．实际上,这样的例子后面还有,比如，“直线与方程”的概念.对于“y=2x-1”,根据需要,我们可以说是“方程y=2x-1”,也可以说是“直线y=2x-1”，更具一般性的“曲线与方程”的概念也是如此．再比如，在导数中的“极值点”.研究极值点的关键是寻找函数取得极值的点的横坐标,所以极值点直接定义为取得极值的点的横坐标,这与函数零点定义的思维方式是完全一致的．

4.全面理解“零点存在性定理”

零点存在性定理是判定函数存在零点的判定定理．一个定理的教学必须经历“特例体验、感知定理——一般抽象、概括定理——直观感知、理解定理——反例辨析、深化定理”的过程．我们在具体的教学中要注意做到以下几点:

(1)“零点存在性定理”的两个条件缺一不可.

教学中通过列举一系列的特例,总结出函数存在零点的共同特征后,归纳出“零点存在性定理”．教学中必须强调两点,一是“函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线”,二是“f(a)·f(b)<0”,两者缺一不可．我们可以利用反例来加深学生的认识,比如:

(2) 函数在区间(a,b)内存在零点不一定要满足f(a)·f(b)<0，即f(a)·f(b)<0是函数f在区间(a,b)内存在零点的充分条件.

逆向思维是一种发散性思维,也是一种创造性思维．学生的逆向思维能力是要在平时的教学中培养的,而数学的定理、概念的教学是培养学生逆向思维很好的素材．

如果函数满足零点存在性定理的两个条件,那么函数一定存在零点；反之不一定成立，即函数在区间(a,b)上连续且存在零点,则它在区间(a,b)端点的函数值不一定要满足条件f(a)·f(b)<0．我们也可以利用反例来说明,比如,图1中的函数在区间(0,3)内有零点,而显然f(0)·f(3)>0．

(3)函数满足零点存在性定理时,零点不一定唯一.

当函数满足零点存在性定理的条件时,函数的零点不一定只有一个,零点可以是两个、三个,甚至可以是任意多个．我们可以举例说明,比如,如图2所示的函数在区间(a,b)上有3个零点．

通过一系列具体的特例,我们可以进一步让学生认识到,如果函数满足零点存在性定理的条件,而且要求函数在所给的区间(a,b)上只有一个零点,则需要附加条件.比如,函数在区间(a,b)上是单调函数．

5.灵活运用零点存在性定理

(1)定理的标准型

形如f(x)=0型的方程,常见的处理方法有两种,一是直接利用零点存在性定理求解；二是根据f(x)的结构特征,将f(x)拆成两个函数,变形为g(x)=h(x)的形式求解．拆分的基本原则是,拆分后两边的函数是比较熟悉的便于得到具体性质的函数．

(2)定理的非标准型

形如f(x)=g(x)型的方程,一般有两种求解方式：一是直接将原方程变形为方程f(x)-g(x)=0,通过构造新函数h(x)=

f(x)-g(x)求解；二是根据原方程f(x)=g(x)两边的结构特征,对原方程进行变形,变形为方程F(x)=G(x),然后构造新函数H(x)=F(x)-G(x)来求解,或者利用函数y=F(x),y=G(x)的图象求解.这种变形、构造的技巧性很强,一个基本的要求是变形为比较熟悉的函数．如果变形不当,对有些复杂的问题构造的新的方程或者构造的新函数会无法求解．

取值范围为(-∞,1]．

有没有更简捷的做法呢?