基于非对称Copula函数度量影子银行对A股市场的尾部影响性

李锦成

(中国社会科学院数量经济与技术经济研究所，北京　100732)



基于非对称Copula函数度量影子银行对A股市场的尾部影响性

李锦成

(中国社会科学院数量经济与技术经济研究所，北京100732)

线性相关性无法捕捉变量间非正态分布图中上下尾相关性结构，即当影子银行作为一个变量取较大值或者较小值时，对上证指数作为一个变量的取值是否有影响。而Copula函数可以有效刻画各种变量间的尾部相关性，对于各种非线性相关性有很好的度量。金融时间序列通常呈现尖峰厚尾的形态，本文基于极值理论测算影子银行与A股市场的尾部相关性，对二元数据联合分布和边缘分布的关系，采用Gumbel-copula和Clayton-copula函数进行验证，从而检验中国影子银行对A股市场的尾部影响性。

Copula函数；影子银行；A股市场；尾部相关性

1.理论基础

刘晓星和王金定(2010)指出许多金融资产的收益具有明显的尖峰厚尾性，与正态分布假设相差较大。市场波动较大时，线性相关系数无法反映出资产收益曲线的尾部相关特征，copula函数可以克服上述不足，提高模型预测的准确性。谢中华(2010)指出二元正太copula函数、t-copula函数和Frank-copula函数具有对称的尾部，无法捕捉到随机变量之间的非对称的尾部相关关系，而二元Gumbel-copula函数和二元Clayton函数具有不对称的尾部，能有效捕捉随机变量几件的非对称尾部相关关系。本文利用这种方法结合影子银行、上证指数和上证成交量月度对数收益率来检验影子银行对A股市场的影响性。

1.1 确定边缘分布

首先，需要通过参数法或者非参数法来确定随机变量的边缘分布情况，参数法通过JB检测函数、KS检测函数和Lillie检测函数的参数h值和p值来看序列是否符合正态分布形态，如果h值大于显著性水平0.05下拒绝原假设，则认为序列不服从正态分布。同时，要求p值在区间范围内。分别表达为：

其中，n为样本容量，s为偏度，k为峰度。

KS=max(|Fn(x)-G(x)|)

其中，Fn(x)为经验分布函数，G(x)为指定的分布函数。

KS=max|SCDF(x)-CDF(x)|

其中，SCDF(x)为经验分布函数，CDF(x)为指定分布的分布函数。

在任意点x处的总体密度函数f(x)的核密度估计表达式为：

1.2 确定联合分布Copula函数类型

在确定了随机变量的边缘分布以后，需要进一步通过Copula函数确定联合分布。Copula函数分为正太分布的函数类型和非对称的函数类型。金融事件学列的条件分布多呈现时变、偏斜、尖峰拖尾的特性，所以排除了正太Copula函数，利用阿基米德Copula函数中的非对称Gumbel和Clayton函数来进行拟合相关性参数。阿基米德分布函数表达式为：

其中，φ(u)是C(u1,u2，…,un)的生成元，满足：φ(1)=0，对u∈[0,1]，有。φ′(u)<0,φ″(u)>0。

Copula函数通过把随机向量X1，X2，…，Xn的联合分布函数F(x1,x2,…,Xn)与其单独的边缘分布函数Fx1(x1),…,Fxn(xn)连接后的连接函数，即函数C(μ1,μ2,…,μN)，使

F(x1,x2,…,xn)=C[Fx1(x1),Fx2(x2),…,Fxn(xn]

Gumbel-copula函数表达式为：

假设φ为连续递减的凸函数φ[0,1]→[0,+∞]，其中φ(1)=0，φ(u)+φ(v)≤φ(0)。定义一个copula函数，函数φ有：

C(u,v)=φ-1[φ(u)+φ(v)]u,v∈[0,1]

如果φ(t)=(-logt)ϑ，ϑ∈[1,+∞]，则：

1.3 尾部相关分析与Copula函数的相关性分析

谢中华(2010)指出通过二元Copula函数检验尾部相关性，即满足定义域为[0,1]×[0,1]，零基面且二维递增、对于任何u,v∈[0,1]满足C(u,1)=u,C(1,v)=v的函数C(u,v)，假设F(x)与G(y)为连续一元函数，令U=F(x)，V=G(y)，即U，V均服从[0,1]上的均匀分布，则C(u,v)为边缘分布均为[0,1]上均匀分布的二元联合分布函数，即定义域上的任何一个点(u,v)，有0≤C(u,v)≤1。

通常在研究随机变量相关性分析时，多使用Kendall秩相关系数、Spearman秩相关系数和Pearson线性相关系数。公式定义为：

设定F(x),F(y)分别为随机变量X，Y的边缘分布，则X和Y的上尾、下尾的相关系数分别为：

其中：F-1(s)=inf{x|X>s},G-1(s)=inf{y|Y>s}。

如果：λup/λlo存在λup∈(0,1]，或：λlo∈(0,1]，则随机变量X和Y存在渐进上尾/下尾相关性。如果：λup≡0/λlo≡0，则二者间相互独立。设随机向量(X,Y)的边缘分布分别为F(X)与G(Y)，则Copula函数为C(u,v)，则其与Kendall秩相关系数τ、Speraman秩相关系数ρ、尾部相关系数λ的关系表达式为：

其中，U=F(x)～U(0,1),V=G(y)～U(0,1)

C(1-u,1-v)=P(U>u,V>v)=1-u-v+C(u,v)

则对于二元非正太copula函数有：

λlo(Gumbel-copula)=0，λup(Gumbel-copula)=2-21/α

λlo(Clayton-copula)=2-1/α，λup(Clayton-copula)=0

1.4 模型检验与评价

最后，利用平方欧式距离检验copula函数的的拟合优度，值越小拟合程度也越好，平方欧式距离表达式为：

2.实证研究

首先，对三个变量的时间序列进行对数收益率处理后确定边缘分布，用参数法，为了确定变量的分部类型，对中国影子银行规模、上证指数、上证成交量月对数收益率分别设定为X、Y、Z，并作出频率直方图，如下图1：

上图1可以显著看出，三个变量的分布均不对称。然后，对变量进行正态性检验，如下表1，三个变量的偏度均偏离0，峰度均大于3，影子银行和上证指数呈左偏拖尾现象，上证成交量呈现右偏拖尾现象，即三者都为尖峰厚尾的特点。而正态分布是薄尾分布，初步断定X、Y和Z不服从正态分布。然后，利于jbtest、kstest和lillietest函数对X、Y和Z进行正态性检验发现：三种检验H值均为1，p值处kstest外，多数小于0.01，而上证指数和上证成交量的K-S的P值和Lillie的P值又大于0.01，但极小。说明三者基本不服从正态分布。

表1　统计值检验

继续利用非参数法确定X、Y和Z的分布。通过经验累积分布(ECDF)函数求样本的经验分布函数，作为总体分布函数的近似，并利用核光滑密度(ksdensity)函数估计总体的分布。如下图2，经验分布函数图和核分布估计图几乎重合。

图2　中国影子银行、上证指数、上证成交量月收益率的经验分布函数图和核分布估计图

通过确定影子银行与上证指数的边缘分布U=F(x)、V=G(x)，可以通过(Ui,Vi)(i=1,2,…n)二元直方图的形状确定copula函数。频率直方图可以作为(U,V)的联合密度函数的估计。如下图所示：频率直方图的尾部并不对称，即(U,V)的copula密度函数不具有对称的尾部。所以用非对称Gumbel-copula或者Clayton-copula将更符合分布要求。

由于随机变量边缘分布中通常会存在未知参数，即copula函数中也存在未知参数，所以，通过最大似然估计来进行参数估计。利用copulafit函数估计Gumbel-copula函数中的影子银行与上证指数线性相关参数为：

α=1.0028

将α代入二元Gumbel-copula函数：

C(u1,u2,…,un)=exp[-((-lnu)(1.0028)+

二元Clayton中的线性相关参数α和自由度k的估计值为：

α=-0.0241

利用copulafit函数估计Gumbel-copula函数中的影子银行与月度上证成交量线性相关参数为：

α=1.0021

将α代入二元Gumbel-copula函数：

二元Clayton中的线性相关参数α和自由度k的估计值为：

α=1.0011

以上估计了Gumbel-copula和Clayton-copula函数的参数，然后利用copulapdf函数和copulacdf函数分别制作Copula密度函数和分布函数图：

图5　影子银行与上证指数二元Gumbel-copula密度函数和分布函数图

图6　影子银行与上证指数二元Clayton-copula密度函数和分布函数图

通过上图中影子银行与上证指数的密度函数图可以看出，基于Gumbel的Copula函数的下尾有显著性，而Clayton的Copula函数并没有显示出显著的尾部相关性。正如谢中华(2010)指出的二元Gumbel Copula函数与二元Clayton Copula函数都可以描述随机变量之间的非对称的尾部相关性。如上图所示，Gumbel Copula函数的密度函数呈现“J”字形，但本案例中“J”字形没有十分显著，也说明影子银行对上证指数的尾部相关性并不是很强，但仍然捕捉到了二者间上尾高和下尾低的敏感性变化，即上尾部具有相对下尾较强的相关性，而分布的下尾部变量间逐渐独立。

图8　影子银行与上证成交量二元Clayton-copula密度函数和分布函数图

通过上图中影子银行与上证成交量的密度函数图可以看出，基于Clayton的Copula函数的下尾有显著性，而Gumbel的Copula函数并没有显示出显著的尾部相关性。如图所示，Clayton Copula的密度函数呈现“L”形，即下尾高和上尾低的形态，这说明了影子银行与上证成交量的变化由Clayton Copula函数描述和捕捉到的下尾关系更好。同样，Clayton Copula中下尾部有较强的相关性，而上尾部变量间是逐渐独立的。这说明产生正向收益率情况下，影子银行与A股市场具有更高的相关性，也凸显了影子银行作为宏观经济流动性渠道会分流证券市场的流动性。影子银行对上证指数尾部相关性和对上证成交量尾部相关性分别为：

λup(Gumbel-copula)=2-21/α≈0.0039

λlo(Clayton-copula)=2-1/α=2-1/1.0011≈0.5004

有此参数可知，影子银行对上证指数更适用于Gumbel Copula函数，即上尾部的影响性。参数值说明当影子银行快速上升，上证指数发生相应反馈的的概率为0.3%，影响性较小。比如央行突然收紧商业银行信贷，导致影子银行信贷规模短期快速增长，这种影子银行快速增长的情况导致上证指数快速下跌的概率为0.3%，不是很显著。同样，影子银行对上证成交量更适用于Clayton Copula函数，即下尾部的影响性。当影子银行快速下降，A股市场上海交易所上证成交量产生相应反馈的概率为50%，其较为显著。这也说明了：影子银行是金融市场流动性的一个重要组成部分，对证券市场尤其是股市的存量资金或者增量交易资金有显著影响性。

通过估计了Copula中的参数之后，继续利用copulastat函数估计Kendall秩相关系数和Spearman秩相关系数。

表2　各项相关系数值

将以上求出的Kendall-Gumbel秩相关系数和Spearson-Gumbel秩相关系数与corr-Kendall和corr-Spearson对比发现，说明了线性相关参数为α=-0.0241和α=-0.0332的Clayton-Copula函数较好的反映了影子银行与上证指数、上证成交量月度对数收益率的秩相关关系。

表3　欧式平方距离检测表

3.结论

通过利用非对称Copula函数实证检验中国影子银行对A股市场的尾部相关性，可以看出，Copula函数可以有效检验单个金融资产经常出现的厚尾情况下的结构性相关性，而这种尾部风险有必要被长期跟踪，原因是中国的股票市场波动性较大，而货币超发情况也极为显著。金融资产间存在的非线性关系通过Copula函数有效检验，可以使我们有效观察特殊情况下影子银行与A股市场的尾部结构相关关系。尾部风险是不可能独立存在的，其互相影响程度是可被捕捉到的，非对称的Gumbel-copula和Clayton-copula显然提高了尾部风险影响性的精度，二者在密度函数图中各呈现“L”形和“J”形形态分布。影子银行对上证指数的尾部相关性在利用Gumbel Copula函数时更有意义，但尾部相关性只有0.3%，说明影子银行短期快速增长时，对上证指数的影响性较小。影子银行对上证成交量的尾部相关性在利用Clayton Copula函数时更有意义，且尾部相关性高达50%，说明影子银行短期快速下跌时，对A股市场上证成交量的影响性较大。

同时，经过matlab制作的资产边缘分布的概率二元直方图和概率密度图可以看出：二元copula函数中基于正态分布条件的椭圆copula函数(包括Guassian-copula和t-copula)显然不适于本文的度量方法，而基于非正态性阿基米德copula中的Gumbel-copula函数较适合描述本文研究的影子银行和股市。

[1]何德旭，李锦成.中国影子银行与A股市场的相关性分析[J].上海金融，2015，04：77-82.

[2]李锦成.对1996—2015年中国影子银行月度规模数据的测算[J].中国市场，2016，24：71-80.

[3]刘晓星，王金定.我国商业银行流动性风险研究——基于Copula和高阶ES测度的分析[J].广东商学院学报，2010，05：26-33.

[4]谢中华.MATLAB统计分析与应用：40个案例分析[M].北京：北京航空航天大学出版社，2010.6.