概率难点 轻松突破

金杨建　浦叙德

事件发生的可能性有大有小.概率是度量事件发生可能性大小的一个量，在实际生活中有着广泛的应用，概率也是初中数学较为重要的一个知识点.初中教材中与概率相关的内容共出现了三次：第一次是在八年级下册《认识概率》，从中我们知道了概率的定义，并知道可以用频率的稳定值估计概率；第二次就是本章《等可能条件下的概率》，从中我们又知道了等可能性的概念，并会通过合适的方法求等可能条件下的概率；最后一次出现在九年级下册《概率的简单应用》，顾名思义，就是运用概率进行估计、判断、决策……帮助我们解决一些实际问题.可见，本章在整个初中阶段概率内容的学习中起到承上启下的作用.

一、紧扣概念，精准判定

教材中等可能性概念是“一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性.”

我们可以把这个概念浓缩成2句话：①试验结果有多个，但每次有且只有一个结果出现；②结果出现是随机的，但每个结果出现机会均等.

结合这2句话，我们就可以判断某试验的结果是否具有等可能性，并可以求出某种结果发生的概率.

例1 （2016·江苏淮安）一个不透明的袋子中装有3个黄球和4个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是黄球的概率是 .

【分析】本题摸到的球有7种不同的结果：黄1，黄2，黄3，蓝1，蓝2，蓝3，蓝4，并不是只有黄球或蓝球这两种可能，即摸到黄球和篮球不是等可能的，故摸到黄球的概率不是[12].

【解答】因为一个不透明的袋子中装有3个黄球和4个蓝球，而摸出每个球是等可能的，即所有等可能的结果数为7，而摸到黄球的结果数为3，所以摸出的球是黄球的概率是[37].

二、有无“放回”，谨慎判断

一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么事件A发生的概率P（A）=[mn]，其中m为事件A发生可能出现的结果数，n为所有等可能出现的结果数.对于试验过程并不复杂的问题，如上例，只要能紧扣概念，便不会出现问题.而对于试验步骤较复杂的问题，则需要谨慎地判断试验中前一个步骤与后一个步骤有无区别，即要考虑“摸球有无放回”.

例2 （2016·江苏盐城）一个不透明的袋子中有大小、质地完全相同的4只小球，小球上分别标有1、2、3、4四个数字.

（1）从袋中随机摸出一只小球，求小球上所标数字为奇数的概率；

（2）从袋中随机摸出一只小球，再从剩下的小球中随机摸出一只小球，求两次摸出的小球上所标数字之和为5的概率.

【分析】第（2）问说明试验有两步，第1步是从4只小球中随机摸1只，而第2步是从剩下的小球，也就是3只小球中随机摸1只，是“无放回的摸球游戏”.所以在解答时要谨慎对待.

【解答】（1）[12]；（2）方法一（列表法）

共有12种等可能的结果，其中两次摸出的小球上所标数字之和为5的可能性有4种，所以P（两次摸出的小球数字之和为5）=[412]=[13].

方法二（树状图）

共有12种等可能的结果，其中两次摸出的小球上所标数字之和为5的可能性有4种，所以P（两次摸出的小球数字之和为5）=[412]=[13].

三、图表有别，合理选择

从例2中，我们可以看出，对于步骤为两次的试验，可以通过列表法或树状图的方法找出所有的等可能结果数以及事件发生可能出现的结果数.但对于不同情形的问题，是不是都适合用这两种方法呢？

例3 （2016·兰州）小明和小军两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，…，8中任意选择一个数字，然后两人各转动一次如图所示的转盘（转盘被分为面积相等的四个扇形），两人转出的数字之和等于谁事先选择的数，谁就获胜；若两人转出的数字之和不等于他们各自选择的数，就再做一次上述游戏，直至决出胜负.若小军事先选择的数是5，用列表或画树状图的方法求他获胜的概率.

【分析】本题是可以用树状图或列表法进行研究的，但是因为试验有两个步骤，且每个步骤均有4种等可能的结果，如果用树状图，则答题时会因为“树枝”较多，导致答题区域过大，甚至会出现杂乱无章的可能，因此，建议对于试验步骤是两次，且每个步骤有3个（或以上）结果时用列表法（试题有明确要求的除外）.

解答：列表如下：

所有等可能的情况有16种，其中两次指针所指数字的和为5的情况有4种，所以小军获胜的概率=[416]=[14].

例4 （2009·江苏）一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个婴儿中，出现1个男婴、2个女婴的概率是多少？

【分析】列表法的优点在于处理试验步骤仅有2个，且当每个步骤可能的结果数较多时，能够清楚、简洁地刻画所有等可能的结果数以及事件发生可能出现的结果数，但对于步骤超过2的试验，则无能为力.3个婴儿的性别，相当于试验步骤有三次，因此，只能用树状图来研究.

【解答】用树状图分析如下：

因此共有8种等可能的结果，其中1个男婴、2个女婴的结果数为3，所以P （1个男婴，2个女婴） =[38].

答：出现1个男婴、2个女婴的概率是 [38].

四、枚举之法，不可忽略

平时在上课时，可能老师对列表法或树状图法强调过多，同学们往往形成了思维定式，而忽略了使用这两种方法的目的：找出试验所有的等可能结果数以及事件发生可能出现的结果数.就如乘船过河，列表法或树状图只是解题（过河）的工具（船），没有“船”，难道我们过不了“河”吗？

例5 （2016·江苏南京）某景区7月1日-7月7日一周天气预报如图，小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游，求下列事件的概率：

（1）随机选择一天，恰好天气预报是晴；

（2）随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴.

【分析】因为（2）中是选择连续的两天，故可以用枚举法将所有等可能的结果列出来解答.

【解答】（1）[47]；（2）∵随机选择连续的两天等可能的结果有：晴晴，晴雨，雨阴，阴晴，晴晴，晴阴，∴随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴的概率为[26]=[13].

（作者单位：江苏省无锡市天一实验学校、江苏省无锡市新城中学）